数学逻辑思维方法

第二节　数学逻辑思维方法

一、数学逻辑思维方法

数学中的逻辑思维方法是按逻辑规则对概念、判断、推理等言语信息进行加工，并得出新的数学判断和概念的思维方法。这里所说的逻辑，指的是形式逻辑和辩证逻辑。

在形式逻辑方面，要求思维主体理解概念的内涵和外延、概念间的关系、各种判断或命题的结构，掌握基本的逻辑运算、推理规则和形式逻辑的基本规律（同一律、矛盾律、排中律、充足理由律），也即是说，在推理论证过程中，概念和判断必须保持一致性，判断不自相矛盾，不模棱两可，要有充分的根据。

在辩证逻辑方面，要求主体运用辩证法的基本观点去处理所面临的问题。例如：客观事物是不断地运动、变化、发展着的。事物的发展变化遵循着对立统一规律、质量互变规律和否定之否定规律，等等。

数学逻辑思维方法具有概念性、抽象性和逻辑性的特征。

二、数学逻辑思维方法的形式

数学逻辑思维方法的形式可分为两大类。

一类是形式逻辑思维方法，它主要包括分析、综合、抽象、概括、比较、分类、归纳、演绎、系统化、证明和反驳，等等。

另一类是辩证逻辑思维方法，它是逻辑思维过程中的辩证法。它反映了客观事物相互联系、相互对立、相互转化的关系，其关键是把握对立面的联系与转化。反映在数学思维中，就是抓住数学中各式各样的矛盾（如已知和未知、常量与变量、有限与无限、一般与特殊、直与曲，等等）进行分析转化。在数学中，常用的辩证逻辑思维方法有：化陌生为熟悉、化繁为简、正难则反、顺推与逆推之结合、动与静之转化、数形结合、一般与特殊之互化，此处仅讨论前面五种方法。

1.化陌生为熟悉

人们在学习数学时，总是借助于过去已有的知识和经验去理解新的数学概念和数学命题，新知识能否习得主要取决于学习者认知结构中已有的相关观念。面对一个问题，有人觉得很熟悉，一看就知如何处理；有人觉得似曾相似；有人觉得很陌生。对于后两种情形，需要做的就是设法将似曾相似或陌生的问题转化为熟悉的问题，以便充分利用已有的知识经验或解题模式，从而顺利地解决原问题。

要将陌生问题转化为熟悉的问题，首先，对所学的内容要真正理解，善于将所学的知识内容有机地联系起来，形成一个个的知识组块，并将这些知识组块进行再加工，形成一个有层次有条理的知识结构网络，这样就可大大提高知识的检索与提取效率。这是化陌生为熟悉的基础。其次，要充分运用联想、类比、变更问题、换元法、消元法、参数法、放缩法、构造法等思想方法。

2.化繁为简

数学中各门学科知识都是由简单到复杂逐步演绎而得来的。从知识的发生过程来看，简单与复杂的对立性是相对的。例如，一元二次方程相对于高次方程而言，它是简单的，但相对于一元一次方程而言，它则是复杂的，从知识的内容构成上看，复杂往往由简单构成，一个复杂的问题，或者由几个简单问题组合而成，或者是将一个简单问题的条件或结论作增减变动而成。因此，当我们面临一个复杂问题时，应设法将其转化为简单问题；或从与它相关的简单问题人手。

实现化繁为简的途径多种多样，常见的有分解（即将问题分成若干个小问题，或将图形、图式分离成若干个易于讨论的简单图形、简单图式）、降维、分类、特殊化，等等。

3.正难则反

人们在解决很多数学问题时，多数情况是由已知推出结论。常此以往就形成了这种正面思考的思维定势。但有些问题，从正面人手则很困难。事实上，事物都是辩证的，大与小，多与少。简单与复杂，这些都是相辅相成的。当问题的正面限制条件弱时，其反面的限制条件反而强，当从正面去思考困难时，若能从反面人手去推演，往往就容易得多。

4.顺推与逆推之结合

面对一个数学问题，一方面，我们可以从已知条件出发，一步一步地进行推演，直接推出问题的结论；另一方面，我们也可以由结论开始，去搜寻结论成立的充分条件，直到和已知条件汇合。前者，我们称之为顺推，后者则称为逆推。但是，顺推和逆推有时并不奏效。因此，我们在探索解题思路时，最好的办法是综合使用顺推和逆推的思想方法。一方面，由结论追溯，选择结论成立的充分条件；另一方面，由条件推演，寻求其可以得出的结论。上下紧逼，前后夹攻，一到相会合拢之时，解题思路便豁然贯通。

5.动与静之转化

事物的状态可分为运动和静止两种状态。运动与静止虽然是对立的，但它们之间是有联系的。因为某一静止状态其实是它之前的某一运动状态的结果。而一个运动变化的状态最终会处于一个相对静止的状态。因此，我们在研究问题时，既可用运动的观点来处理静止的数量和形态，即以动求静，也可用相对静止的方法来处理运动变化的事物，即以静制动。

常量和变量是事物的动与静在数量方面的反映。数学公式中的字母，既可看成常量，也可看成变量，数学中的局部固定法、待定系数法、几何变换法、几何作图中的交轨法等等，都是动静转化之例证。