关于数学方法

一、数学方法的含义和特征

数学是一门研究客观物质世界的数量关系和空间形式的基础科学。随着科学技术的迅速发展，数学作为科学技术研究的一种有效方法和理论思维的一种重要形式，正向各门科学渗透。数学方法作为研究问题的有力工具，越来越受到人们的重视。研究和掌握数学方法，在认识世界和改造世界的活动中具有重要意义。

一般来说，数学方法包括两个方面：一是数学本身的发现、发明、论证和发展的方法；二是数学作为一门工具性很强的学科在各门自然科学、社会科学、技术科学、思维科学等领域中的应用。在这里，我们主要对后一方面加以阐述。所谓数学方法，是指从量的方面揭示研究对象规律性的一种科学方法。它只抽取出各种量、量的变化和各量之间的关系，而撇开研究对象的其他特性，以形成对研究对象的数学解释和预测。科学思维的最后产物往往是数学形式体系。

要想充分了解数学方法，需要先了解数学的研究对象。对于这一点，恩格斯曾指出：纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。这一提法曾被苏联和我国学术界广泛接受。它对19世纪中叶以前的数学是相当好的概括，但对于现代数学的概括就有所欠缺了。20世纪30年代以来，法国布尔巴基学派提出了他们关于数学的独特见解，认为：数学，至少是纯粹数学，是研究抽象结构的理论。他们把数学结构分为三大类：一是代数结构，有离散性对象加运算构成的系统，如群、环、域等；二是序结构，如半序集、全序集、良序集等；三是拓扑结构，如拓扑空间、连通集、连续性等。这三种基本的结构被称为母结构，由此可派生出众多的子结构、分支结构。对于以上两种见解，苏联哲学家H.茹科夫则认为：恩格斯关于 “数学是研究现实世界的数量关系和空间形式”的提法与布尔巴基学派的结构观点是不矛盾的，前者反映了数学的来源，后者反映了现代的数学水平，现代数学是一座由一系列抽象结构建成的大厦。随着现代数学的不断发展，近年来，美国数学家S.马克朗则提出了一种富有启发性的见解，他认为：数学在于对形式结构的不断发现，而形式结构则反映了客观世界和人类在这个世界里的实践活动，强调的是那些具有广泛性并能深刻反映现实世界某一方面的结构。数学家利用经验和直觉的洞察力去发现合适的形式结构，对这些结构进行演绎分析，并建立这些结构之间的形式关系。S.马克朗关于数学本质和对象的这种说明，显然比布尔巴基学派的提法前进了一步，“形式结构”似乎比 “抽象结构”具有更大的概括力，它是 “抽象结构”的更高层次。

一方面，从数学的研究对象是 “形式结构”的观点来看，把数学划归为自然科学显然是不合适的。因为社会科学和思维科学等领域中也可以通过抽象思维舍弃其具体的性质，从而提炼出相应的形式结构。另一方面，由于承认数学知识具有普遍性而把它同哲学知识混同起来也是不对的，因为数学强调的是形式结构的普遍性，而哲学则强调概念、范畴和规律内容的普遍性。因此，数学既不同于自然科学 （物理学、化学、生物学、地理学等），也不同于社会科学、思维科学和哲学等学科，数学有它特有的研究对象和性质。

正是由于数学专门研究 “形式结构”的特殊性，也就决定了数学方法的特点：

第二，严密的逻辑性和结论的确定性。数学中的概念、推导、运算法则必须经过严格定义，以使论证的前提明确、无可置疑；数学推理过程必须严格遵守逻辑法则，以使论据充分且必要，从而使数学结论具有逻辑上的必然性和量的确定性。因此，数学体系内部不允许出现逻辑矛盾，如果出现了逻辑矛盾 （即悖论），那么相互矛盾的数学命题都不能成立。然而，数学基础的发展过程却向我们展示了这样一件事实，即：数学悖论是存在的，正是这些悖论的产生和解决，推动了数学的发展。任何一个悖论总是相对于某一理论体系而言的，相对于某个特定数学理论的悖论出现，标志着这个理论的应用达到了一个界限。超过这个界限，必定出现悖论。而当我们扩大理论的逻辑基础，就有可能消除这个悖论，形成一个新的、范围更广的理论。这个理论隐含并在发展着又会显示出新的悖论，从而推动数学理论的进一步发展。

第三，应用的广泛性。自然界中的任何物质形态及其运用形式无不具有一定的数量关系和空间形式，这就决定了数学方法具有广泛的适应性。在某种意义上可以说，具有严密逻辑性的多层次的数学结构是包罗万象的 “小宇宙”。数学同客观世界的各个领域、各个方面都可建立某种同构或同态的关系，这是数学之所以具有广泛应用性的奥秘所在。当然，数学构拟的 “小宇宙”是无穷多可能性的世界，只是其中某些形式结构同现实客体或过程的结构相对应。

华罗庚曾说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生命之谜，日用之繁，无处不用数学。”[1]可以说，无论是自然科学、技术科学还是社会科学，为了要对所研究的对象的质获得比较深刻的认识，都需要对之作出量的方面的刻画，这就需要借助于数学方法。然而，对不同性质和不同复杂程度的事物，运用数学方法的要求和可能性是不同的。总的看，一门科学，只有当它达到能够运用数学时，才算真正成熟了。在现代科学中，运用数学的程度，已成为衡量一门科学的发展程度特别是衡量其理论成熟与否的重要标志。

二、数学方法的发展历程

古往今来，凡是对数学作出过重大贡献的数学家和哲学家，都十分关注数学的发展规律以及它的思想方法和研究方法。可以说，数学方法与数学同时产生并同步发展，因此，一部数学的发展史就是数学方法产生和演进的历史。大致来说，从人类文明起始至今，数学方法的发展依次经历了萌芽时期、常量数学时期、变量数学时期、近代和现代数学时期。

从人类文明初始到公元6世纪，是数学发展的萌芽时期，也是数学方法的产生和积累时期。在这个阶段，人类根据日常生产生活的需要，来研究土地丈量、天文计算、社会物品分配等实际问题。在解决这些问题的过程中，逐渐形成了自然数、分数、几何图形等一些数学基本概念，创立了初步的算术和几何，而且总结出一些研究数学的方法。这个时期的数学知识是零乱的，数学还没有成为一门独立的学科，人们对数学的研究仅限于解决实际问题中个别的、具体的方法。例如，在算术中，印度人发明了十进位计数法。在几何中，人们依靠不充分的观察方法和简单的逻辑推理直观地把握图形的性质，形成了简单的测量方法和实验方法。在我国战国时期的 《考工记》一书中，记载了尺、规、竿、绳一类简单量器的资料；汉代的 《周髀算经》一书中，也记载了用 “矩”测量的方法和解方程的方法等。

从公元6世纪至17世纪初期，是常量数学时期。这个时期，一方面，数学研究的对象已经从实际事物的性质中抽象出来，并理想化为数与形等纯粹的数学研究对象；另一方面，人们运用逻辑方法，把零乱的数学知识整理成了演绎体系；此外，数学还引入了自己的符号系统，数学的表述、计算、推理和证明的方法都日趋完善。这样，数学发展成为了一门独立学科，并形成了算术、几何、代数、三角等数学分支。在这个时期，随着人们对数学方法的总结和研究开始深入，出现了许多新的数学思想和数学方法。例如：古希腊思想家亚里士多德对观察、分类等方法进行了研究，在其著名的 《工具论》一书中创立了形式逻辑，并论述了归纳法和演绎法，总结了演绎推理的三段论；古希腊数学家欧几里得在他的 《几何原本》一书中创立了公理化方法；我国魏晋时期的数学家刘徽在 《九章算术注》中记述了 “割圆术”，这是极限思想的萌芽；近代英国数学家约翰·耐谱儿发明了对数方法；英国哲学家弗兰西斯·培根则在他的 《新工具》一书中系统阐述了实验方法与归纳方法及其应用，并创立了归纳逻辑等。

从17世纪初到19世纪20年代，是变量数学时期，这以法国数学家笛卡尔1637年出版的 《几何学》一书为起点，也是数学方法的形成时期。这个时期，数学研究对象从常量到变量、从离散量到连续量、从简单图形到复杂图形、从静态到动态的扩展，使数学发生了根本的变化。解析几何学的诞生，实现了数与形的结合，使数学由分散趋于统一。其后微积分的发展奠定了分析数学的基础，以函数为研究对象的级数、微分方程、复变函数等分析理论相继建立，微分方程、概率论等相关分支学科也应运而生。数学分析庞大的学科群不仅成为数学与自然科学的纽带，也为许多实际问题的解决提供了有效的方法。在变量数学时期，随着科学由积累材料进入整理材料阶段，许多学科纷纷建立和发展起来，各种科学方法尤其是数学方法得到了充分发展。法国数学家、方法论大师笛卡尔 《更好地指导推理和寻求真理的方法谈》的发表，标志着数学方法论的初步形成。主要表现在：

第一，坐标法和微积分的出现，实现了数学思想方法的重大突破，使辩证法进入了数学，并成为数学方法论的哲学基础。

第二，这个时期出版了许多的数学方法论专著，如笛卡尔在 《几何学》一书中创立了形数结合的思想方法，在 《方法谈》一书中论述了演绎方法，并制定了一系列方法论原则。牛顿在 《自然哲学的数学原理》中对实验、假说、归纳推理等方法进行了系统的总结和研究等。

19世纪20年代至现在，是近代和现代数学时期。这个时期，数学各个分支的发展都达到了比较完善的程度，数学研究对象发生了重大变化，向着更加一般化、抽象化和多样化的方向发展。几何学由研究现实的一维、二维和三维空间发展到高维空间和非欧空间；代数从研究数的代数运算发展到研究抽象的代数结构；分析从研究函数发展到研究函数的函数。在代数、几何、分析的基础上出现了拓扑学、泛函分析、微分几何、微分方程和逻辑代数等许多新的交叉学科。不仅如此，这个时期的数学在应用上也取得了重大进展，建立了随机过程、控制论、信息论、模糊数学、计算数学、规划论、对策论和排队论等许多应用数学的理论。

随着近代和现代数学的发展，数学方法论作为一门独立的科学已经形成并获得了一定发展。其重要标志有四个方面：

第一，出现了许多具有划时代意义的数学思想方法，促成了数学基础学科的重大变革。例如：俄国数学家罗巴切夫斯基 （1792—1856）、德国数学家黎曼 （1826—1866）从否定欧式几何第五公设出发，分别创立了 “罗氏几何”和 “黎氏几何”，使几何学发生了深刻的变革，并导致了现代公理化方法的诞生。法国数学家伽罗华从全新的观念出发引入了 “群”的概念，创立了群论的思想方法。非欧几何与群论的出现，是数学史上具有划时代意义的事件，也是数学思想方法发展到新阶段的里程碑。法国数学家柯西 （1789—1857）和德国数学家魏尔斯特拉斯 （1815—1897）运用极限的思想方法使微积分达到了严密化和标准化；德国数学家康托尔 （1845—1918）创立了集合论的理论和思想方法，为微积分奠定了稳固的理论基础。极限与集合论思想方法的出现，对于整个数学基础的研究，尤其对现代数学结构的探讨，具有重要的促进作用。

第二，数学中的各种科学认识方法和逻辑方法趋于成熟和完善。如德国数学家赫尔德 （1859—1937）在 《数理方法论》和 《几何学中的观点和思想》等著作中，对演绎法、归纳法、公理化方法和假说法等进行了深入研究，使这些方法趋于完善。

第三，许多数学家和哲学家转向对数学思想方法的研究，出现了研究方法论的学术团体和学术会议。例如，法国数学家庞加莱 （1854—1912）多年致力于数学思想和创造法则的研究，撰写了 《科学与假设》 《科学之价值》和 《科学与方法》等。德国数学家希尔伯特在第二届国际数学家代表大会上所做的 《数学问题》的著名演讲，论述了数学问题在数学发展中的巨大作用，指明了20世纪数学发展的方向。

第四，开始把数学方法论作为一门学科来研究。20世纪以来，随着科学技术的飞速发展，科学方法发生了重大变革，出现了系统论、信息论和控制论等新的科学方法。许多数学家开始将数学方法作为一门科学进行总结和研究，数学方法论作为一门独立学科取得了重大进展。如美国数学家克莱因（1908—1992）的 《数学，必然性的消失》和 《古今数学思想》、法国数学家阿达玛 （1865—1963）的 《数学领域中的发明心理学》、美籍匈牙利数学教育家波利亚 （1887—1985）的 《数学与猜想》《数学的发现》等。这些著作的出现，大大推动了数学方法论的研究和学科发展。

三、数学方法在科学研究中的作用

数学方法是科学研究中进行理论思维的有效手段，它已成为科学技术研究不可缺少的工具。在现代社会，数学方法已渗透到科学技术的各个研究领域和人们社会生活的各个方面，成为一种具有普遍意识的方法，各门科学技术的数学化和计量化已成为当今科学技术发展的一个重要趋势。

第一，数学方法为科学研究提供简洁精准的形式化语言。在数学中，各种数量关系、量的变化以及在数量之间进行的推导和演算等，都是以符号形式表示的，这种符号为科学研究提供了简洁精准的形式化语言，成为表述科学理论、概念的重要形式和手段。例如，用一个向量可以表示力的方向和大小，用变量和函数可以表示不同因素之间的依赖关系等。许多自然科学定律都可以表示为简明数学公式，如在电动力学中，用一组偏微分方程——麦克斯韦方程，就可以概括地描述经典电磁理论的全部基本定律。如果不用数学语言，很多简单的自然规律就难以表述清楚，更不用说去描述复杂现象的内在联系了。

第二，数学方法为科学研究提供了数量分析和计算的方法。从定性描述到定量分析和计算，是一门科学达到成熟的重要标志。在科学史上，许多重大的科学发现就是由科学理论与数学方法相结合而做出的。开普勒如果不进行准确的计算工作，就不可能发现行星运动三大定律；孟德尔、摩尔根如果不做大量的数理统计和数量分析，就不可能建立起生物遗传的基因学说。至于现代的科学研究活动，更是离不开数量分析和计算。建造原子能反应堆、高能加速器、航天技术等，如果不进行周密定量的计算，那是不可想象的。由于电子计算机的出现，数学作为有力的计算工具正在一日千里地发展，越来越显示出其巨大的作用。

第三，数学方法为科学研究提供了可靠的逻辑推理和证明工具。数学研究中处理的对象是纯粹抽象的数量关系，只有采用逻辑方法才能进行准确的研究。数学中的命题、公式，都要从逻辑上严格地加以证明后才能确立，而数学的推理又必须遵守形式逻辑的基本法则，保证从某一前提推导出的结论在逻辑上是严格精确的。所以，运用数学方法从已知的量和关系来推导未知的量和关系，就具有逻辑上的确定性。如20世纪以来关于引力场的新见解，以及研究微观粒子运动规律的量子力学等，都是在获得了非欧几何、希尔伯特空间等数学工具以后才大大发展起来的。如果不借助于现代数学的逻辑推演，要取得关于微观和宇观领域内的重大科学认识，几乎是不可能的。

第四，数学方法可以帮助人们在观察、实验的基础上，提供数学模型，并在这种模型上展开推导、演算分析，从而把握世界的规律。利用抽象的数学工具建立的数学模型，可以帮助人们进入和把握超出感性经验以外的客观世界。目前，生物学中正越来越多地利用数学模型来开展理论研究，并通过实验的不断检验，对模型加以修正，逐步对研究对象做出正确的理论概论。利用抽象的数学工具建立的数学模型，可以帮助人们进入和把握超出感性经验以外的客观世界。数学的应用，不仅在于它是计算的工具，更在于它所独具的抽象力。因此，人们常把数学称为思想工具，它越来越受到人们的重视。