控制方程组的推导

时间：2022-02-12 理论教育版权反馈

【摘要】：在Δt时间内，上述各项分别为v2／2为单位质量燃气定向运动的动能。根据装药几何燃烧定律，通道截面积随时间的变化可以用燃烧表面母线的移动距离来表示。令γ＝cp／c V为比热容比，则有综上所述，式（5-1）、式（5-2）、式（5-5）～式（5-7）即为含质量添加的理想气体一维非定常流动的控制方程组，可用来描述固体火箭发动机燃烧室装药通道中的燃气流动过程。

设燃气流动的主流沿正x方向。在装药燃烧通道中，取长度为Δx的微元控制体，它由进出口两截面Ap（x，t）、Ap（x＋Δx，t）和装药的微元燃烧表面（Ab／x）Δx所围成，如图5-1所示，其中，Ap为装药通道截面积，Ab为装药燃烧表面的面积。燃气的流动参数分别用压强p、密度ρ、温度T和流速v表示，其中v的方向与x轴一致。流动参数在控制体进出口截面上的分布如下：

Ap（x，t）截面：p，ρ，T，v；

Ap（x＋Δx，t）截面：p＋（p／x）Δx，ρ＋（ρ／x）Δx，T＋（T／x）Δx，v＋（v／x）Δx。对微元控制体分别应用质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律（热力学第一定律）可以得到燃气在燃烧室内流动的连续方程、动量方程和能量方程。

图5－1 燃气通道中微元控制体

1. 连续方程

应用质量守恒定律得到的方程称为连续方程。在Δt时间内，微元控制体内的质量守恒定律可以叙述成

控制体内质量增量＝流入质量-流出质量＋燃烧生成质量

上述各项分别为

（1）微元控制体内的质量增量：

（2）通过截面Ap（x，t）流入的质量：ApρvΔt；

（3）通过截面Ap（x＋Δx，t）流出的质量：

（4）装药微元燃烧表面（Ab／x）Δx上由燃烧生成的燃气质量：其中，ρp为推进剂密度，为推进剂燃速。

于是，由质量守恒定律可得连续方程，即

化简，并忽略二阶以上高阶小量，有

2. 动量方程

动量方程是应用动量守恒定律得到的，这里只考虑x方向。在Δt时间内，微元控制体内燃气的动量守恒定律可以叙述成

控制体内动量增量＝流入动量-流出动量＋外力合力的冲量＋燃烧生成质量携带的x方向动量

在Δt时间内，上述各项分别为

（1）控制体内的动量增量：

（2）通过截面Ap（x，t）流入的动量：ApρvΔt v。

（3）通过截面Ap（x＋Δx，t）流出的动量：

（4）外力合力的冲量：作用在控制体上的外力就是作用在控制体进出口截面和内侧表面上的燃气压强，其中侧表面上的压强取进出口两截面压强的平均值，于是，外力合力的冲量为

作用在进出口两截面上的压强冲量之和：

作用在控制体内侧表面上的压强冲量在x方向的分量：

（5）燃烧生成燃气携带的动量在x方向的分量：对侧面燃烧装药，通道截面积变化不大，该动量基本垂直于燃烧表面，在x方向的分量很小，可以忽略。

于是，将上述各项代入动量守恒定律，化简并忽略二阶以上高阶小量，可得燃气的动量方程：

3. 能量方程

能量守恒定律即为热力学第一定律。在Δt时间内，微元控制体内的能量守恒定律可以叙述成

控制体内储能增量＝流入储能-流出储能＋外力合力的功＋燃烧生成质量所携带的总焓其中，储能就是燃气的总能量，由内能u和动能组成。在Δt时间内，上述各项分别为v2／2为单位质量燃气定向运动的动能。

（1）控制体内的储能增量：其中， u为单位质量燃气的内能，

（2）通过截面Ap（x，t）流入的储能：

（3）通过截面Ap（x＋Δx，t）流出的储能：

（4）作用在Ap（x，t）和Ap（x＋Δx，t）两截面上的压强所做的功：

截面Ap（x，t）：压强推动燃气做的功p ApvΔt；

截面Ap（x＋Δx，t）：压强阻止燃气做的功

（5）燃烧生成燃气所携带的总焓：其中，h0表示单位质量推进剂燃烧生成的燃气所具有的总焓，它近似等于单位质量推进剂具有的能量，即推进剂的总焓。关于总焓的概念将在后面定义。

于是，将上述各项代入能量守恒定律可得能量方程。化简并忽略二阶以上小量，有

在气体动力学中，内能u与压强势能p／ρ之和定义为焓，即

因此，还可以将式（5-3）改写成如下形式：

4. 几何燃烧方程

在燃气流动过程中，装药通道截面积随时间的变化是由侧表面燃烧造成的，于是可以建立通道截面积变化与燃烧表面积变化之间的关系，称为几何燃烧方程。

如图５-２所示，在Δｘ微元长度内的燃烧表面积为（Ａｂ／ｘ）Δｘ。若通道截面积为Ａｐ，则在Δｔ时间内由于燃烧而增大的通道截面积为（Ａｐ／ｔ）Δｔ。根据装药几何燃烧定律，通道截面积随时间的变化可以用燃烧表面母线的移动距离来表示。由图可知，母线ａｂ在Δｔ时间内向装药内部移动的距离为·Δｔ，并到达ｄｃ位置。与此同时，微元控制体进出口截面上的ａ、ｂ两点则分别移动到ｄ′和ｃ′。根据平行四边形abc′d′和矩形abcd面积相等的几何关系，有