控制方程组的简化

燃气非定常流动的控制方程组需要用数值积分才能求解出来。 固体火箭发动机的点火启动与推力终止 （熄火） 是典型的瞬态过程， 必须使用这样的非定常流动控制方程组来描述。然而， 固体火箭发动机在其余的大部分工作时间内， 燃烧室内的流动参数随时间的变化是很小的， 这时可以忽略燃气流动的非定常性， 将其简化为准定常流动。 所谓准定常流动， 通常是指随时间变化不大的流动， 其本质是用一系列微小时间间隔内的定常流动代替变化较为缓慢的非定常流动， 而每一个时间间隔内的流动参数都是冻结的， 不随时间变化。 这就意味着准定常流动在不同时刻对应着含不同冻结流动参数的控制方程组， 因此在全部时间内流动参数仍然可以随时间变化。

可以证明， 将燃烧室内的一维非定常流动简化为准定常流动必须满足如下条件：

各式的物理意义分述如下：

（1） 第一式表明燃气的流速必须远小于当地声速。 这是因为在燃烧室中建立定常流动需要有一个过程， 这个过程经历的时间称为气体的体积松弛时间， 也就是气流参数发生显著变化的时间，以τ2表示，可用装药通道长度Lp与燃气沿装药通道长度的平均流速-的比值来度量， 即

另外， 燃气在燃烧室中流动时， 任何微弱扰动引起的流动参数变化都是以燃气中的声速a传播的，因此扰动在燃烧室中的传播时间τ1可以用装药通道长度Lp与沿装药通道长度的平均声速-的比值来度量，即

由此可见，v≪a的结论意味着τ2≫τ1，即要求气体流动参数发生显著变化的时间必须远大于扰动传播的时间。

（2） 第二式要求推进剂的密度ρp远大于燃气的密度ρ。通常情况下，燃气密度比推进剂密度小两个以上的数量级， 因此该条件很容易满足。

（3） 第三式要求在燃气流过装药通道长度Lp的时间间隔内，亦即在气流参数发生显著变化的时间内，通道截面积的变化量ΔAp要远小于通道截面积Ap，或者流动参数发生显著变化的时间必须远小于装药的燃烧时间tb。

以上条件在通常的固体火箭发动机中是完全可以满足的， 因此， 将一维非定常流动控制方程组式 （5-1）、 式 （5-2） 和式 （5-5） 展开， 略去对时间的偏导数， 可得燃气在燃烧室内的准定常流动控制方程组， 即

连续方程：

动量方程：

能量方程：

若将连续方程式 （5-12） 代入式 （5-14）， 则能量方程可改写成

或

由此可见， 在燃气与外界无热和功的交换时， 由燃气内能、 压强势能和宏观运动的动能组成的总能量在流动过程中保持不变， 气体动力学将这种形式的流动称为等能流。 又由于绝热假设， 所以式 （5-16） 即为绝热流动的能量方程。

将燃气在燃烧室内的一维非定常流动简化为准定常流动时， 热状态方程和量热状态方程保持不变， 仍为式 （5-7）。

由于流动定常， 几何燃烧方程不再出现。 但应注意， 式 （5-12） 和式 （5-13） 中的Ap仍需用式（5-6） 计算，这正是“准定常” 的体现，即不同时刻对应于不同的Ap，而每一时刻的流动控制方程组均由式 （5-12）、 式 （5-13）、 式 （5-15） 和式 （5-7） 组成。