洛伦兹变换推导

爱因斯坦把力学相对性原理推广为狭义相对论的相对性原理，即一切物理规律在不同的惯性系中是等价的．显然伽利略变换与狭义相对论的基本原理不相容，那么什么样的变换式才能保证物理规律在不同惯性系具有相同的形式呢？这就是洛伦兹变换式．该变换式最初是由洛伦兹为弥合经典理论所暴露的缺陷而建立起来的，当时未给予正确解释．爱因斯坦根据狭义相对论的两条基本原理导出了这个变换式，但这个变换式仍以洛伦兹命名．

图13.3　洛伦兹变换式

如图13.3所示，两惯性系S（Oxyz）和S'（O'x'y'z'），S'以速度u相对于S作匀速直线运动．并假设t＝t'＝0时，S'和S的原点重合．设P点为被观察的某一事件，在S系测得P的坐标是（x，y，z），时间是t；而在S'系测得P的坐标是（x'，y'，z'），时间是t'．它们之间所遵从的洛伦兹变换关系是

从上式可解出x，y，z和t，即得洛伦兹变换的逆变换为

在洛伦兹变换中，不仅x'是x、t的函数，而且t'也是x、t的函数，并且还都与两个惯性系之间的相对速度有关．洛伦兹变换集中地反映了相对论关于时间、空间和物质运动三者紧密联系的新概念，而在经典力学中，时间、空间和物质运动三者是相互独立、彼此无关的．

例13.1　若以地球为惯性系S，观察到x＝4.0×106m处在t＝0.02s时刻发生一闪光．试求：在相对地球以匀速u＝0.5c沿x轴正向运动的飞船中（作为S'系），观察到的闪光发生的地点和时间．

解　由洛伦兹变换式

经典力学的时空观认为，在不同的惯性系中观察同一件事发生的时间应是相同的，而相对论时空观认为是不同的．

例13.2　两艘宇宙飞船在同一方向上飞行，相对速度为u＝0.98c，在前面那艘飞船上有一光脉冲从船尾传到船头，该飞船上的观察者测得船尾到船头的距离为20m，若光信号从船尾发出为A事件，到达船头为B事件，求另一艘飞船上的观察者测得的这两个事件A、B之间的空间距离为多少？

解　取前面的飞船为S'系，后面的为S系．S'系相对于S系以速度u＝0.98c沿x轴正向运动．设S'系中的观察者测得A、B两事件的时空坐标分别为，由洛伦兹变换，S系中的观察者测得A、B两事件的空间坐标分别为

则在S系中观察者测得A、B两事件的空间距离为

由题意知

所以