希腊化时期的三位数学家

欧几里得生活于希腊化时代早期，与他大致同时代的还有两位空前绝后的大数学家，阿基米得和阿波罗尼奥斯。

阿基米得除了在力学上的工作之外，在数学上也有许多成就，如他创造大数计法描述非常庞大的数，计算椭球体和抛物线体的体积，用穷竭法把π精确到3.14等，他还使用了某些堪称微积分先驱的方法。但阿基米德的著作在古代世界影响较小，其抄本非常偶然地被保存下来，到文艺复兴时期才重新受到重视。还有一部重要的作品直到1906年才重见天日，它曾经被抄写在一卷羊皮书上，然后被擦除，重新抄写了一本祈祷书，20世纪的学者重新复原了其中幸亏并未被擦干净的字迹，复原出的作品中包含了两篇早已失传的文章。

阿波罗尼奥斯是本轮—均轮模型的创造者，他的《圆锥曲线论》更是影响巨大，他同时为托勒密和开普勒提供了数学模型。

他还有许多著作已经佚失了。《几何原本》和《圆锥曲线论》反映了希腊时期几何学的最高成就，以至于它们之前的许多著作都失传了。

阿波罗尼奥斯达到了解析几何之前研究圆锥曲线的最高成就，在某种意义上他是解析几何的先驱，但实质上还相差甚远，他在研究圆锥曲线时经常使用某些参照线，它们的功能有些类似于坐标轴，但这些参照线更多地仍然是根据具体情况在图形上作出的辅助线，而不是先于具体图形就被设立的坐标系。^[3]

阿波罗尼奥斯到托勒密之间，在三角学方面有许多发展，我们略过不讲，重点讲希腊化晚期的丢番图（约公元246年—330年）。

丢番图被称作代数学之父，他与传统的希腊数学风格迥异，不再基于几何学，而是用一系列缩写形式来描述方程与不定方程。

他也开始处理高次幂，4次方被称作平方平方，5次方是平方立方，都有某些缩写的表达方式。比如 2x4+3x34x2+5x6这个式子可以表达为形如：相当于 x3·8x2·16=x3。

SS2 C3 x5 M S4 u6

这样的形式，其中S、C、x、M和u分别代表平方、立方、未知数、减和单元。^[4]这里是用拉丁字母替换了丢番图的记号，他自己的写法看起来是下面这样：

图11.5.1　丢番图符号

图11.5.2　丢番图著作的拉丁文译本（1621年）

但丢番图没有把他的研究定位于某种一般性的代数法则的研究，他的著作更多地是一部难题集，回答的都是有明确实例的问题，在方程有多个解时，往往只取其中的一个，甚至对那些无穷多解的不定方程，往往也只给出一个解就完了，当然负根和无理数都不被接受。

丢番图在古代数学史中显得独树一帜，当然这也可能是因为在他之前之后的数学著作都失传了。在中世纪，丢番图影响不大，代数学的渊源主要来自阿拉伯数学家花拉子米，但到了文艺复兴时期，韦达重新阐释了丢番图的著作（图11.5.2），推动了现代的符号代数的兴起。

我在讲阿拉伯科学的时候提过了花拉子米，在某些方面花拉子米要比丢番图“落后”，他没有采用任何缩写形式，甚至连他本人引进的印度数字都很少使用，全文都是大量的文字叙述。他的代数方法也是基于几何学的，但如果翻译成现代符号的话，我们将发现他关注的问题更接近于现代的代数学。