定量决策方法简介

第四节　定量决策方法简介

除了主观决策法，绝大部分客观决策法都是定量性的。事实上，主观决策法往往只能提供一种定性的、大致的模糊判断，只能用在投资项目初期的评价与决策中。

要对拟投资的项目作出科学正确的决策与价值评估，就必须进行客观的、定量性的研究，也就是必须使用定量性决策方法。

一、确定型决策方法

常用的确定型决策方法有线性规划和量本利分析法等。

（一）线性规划法

线性规划法是在一些线性等式或不等式的约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值的方法。运用线性规划建立数学模型的步骤是：首先，确定影响目标大小的变量；其次，列出目标函数方程；再次，找出实现目标的约束条件；最后，找出使目标函数达到最优的可行解，即为该线性规划的最优解。

这是一种最常见的数学模型决策方法。该模型中所有表达式均为线性方程（即一次方程），它主要解决的问题是如何最大限度地利用企业现有资源（人、财、物力）取得最大效益。许多有效的决策方法（如投入产出法，整数规划法，多目标规划法等）都以线性规划为基础。

1.线性规划的模型

目标函数：maxZ=c₁x₁+c₂x₂+…+c_kx_k

使目标函数达到最大值，则：

约束条件的含义为变量的特定线性组合不得超过有限的资源条件。

线性规划的模型可以理解为：在一定的资源限制条件下，如何选择各变量（x_i）的数量搭配，使目标函数（利润、产出、工效等）达到最大。

2.线性规划实例

例1：某厂生产甲、乙、丙三种产品，单位利润分别是30元、50元、40元；生产中所需的三种原材料总供应量为：A料8000千克，B料10000千克，C料15000千克；各产品对原料的消耗见表5-1。

表5－1　单位产品原材料消耗表　单位：千克／件

由上述资料，设产品产量安排为甲x₁，乙x₂，丙x₃，就有，

目标函数：maxZ=30x₁+50x₂+40x₃

例2：现有A1、A2、A3三个煤矿，所产原煤分送B₁、B₂、B₃、B₄四个选煤厂入洗，对应的单位运费、原煤产量、入洗量见表5-2：

表5－2　单位运费、原煤产量、入洗量表　单位：元／吨

设各矿对各厂的原煤运输量分别为：

可以简写为：x_ij（i：矿，j：厂）

目标函数：

minZ=3x₁₁+2x₁₂+1x₁₃+7.5x₁₄+4x₂₁+3x₂₂+5x₂₃+2x₂₄+2x₃₁+6x₃₂+2x₃₃+3x₃₄

该目标函数是求极小值，但经适当数学转换，可变为求极大值。

3.求解方法

线性规划问题经过数学家研究后，有两个重要的结论：

（1）线性规划可行解的集合是一个凸集。

（2）最优解在可行解域的顶点或边缘上。由此，线性规划的解法，实质上是从一个顶点向另一个顶点迭代，以找到目标函数最大值。从最初的顶点（即所有的x_i均取零），逐步向其他顶点迭代，最终达到最佳方案。

这一解题的方法叫做“单纯形法”（又叫匈牙利解法）。读者可参阅线性规划教材，不难掌握。

4.几点说明

（1）线性规划的解法冗长而繁重，稍有差错最优结论就解不出来，当求解的变量较多、约束条件较多时，应编成合适的程序，由电子计算机来求解，只要程序编制无误，最优解不难得到。

（2）线性规划目标较单纯，不是求利润的极大化，就是求成本、费用的最小值。当实际问题的决策目标较多时，线性规划则无法解决。

（3）在基础线性规划之上，运用对偶规则、影子价格、灵敏度分析等手段进行扩展，可以扩大线性规划的应用领域。

（4）线性规划的内容还很多，有兴趣的读者可参阅有关书籍。

（5）当现象面临的变量仅仅两个时（只生产甲、乙两种产品），线性规划可以采用“图解法”求最优解，如图5-3所示。

在图5-3中，阴影部分为可行解区，有若干个顶点。顶点的坐标不难找到，都可以作为可行解代入目标函数，最优解也在其中。

例如：

约束条件：

图5.3　线性规划图解图

目标：

maxZ=x₁+x₂

求解：

第一步：先找出可行解域四个顶点的坐标：O（0，0），A（3，0），B（12／7，12／7），C（0，3）。

第二步：将4个顶点带入目标函数有：

其中Z_B最大。因此，最优解为：x₁=12／7，x₂=12／7。

（二）量本利分析法

该模型适用于产（销）量、成本和利润之间的规划问题，简单易行，特别适用于单一产品生产的企业。

1.模型的建立

产品生产中所支出的生产费用可以按照与产量的关系划分为固定费用、变动费用两部分。

固定费用是指费用支出额与产量无关系，不随产量增长而变化的费用，如企业管理费，按时间提的折旧费用等。

变动费用是指由于产品生产而直接支出的费用，其支出总额随产量的增长而成正比例上升。

对此，可以做如下一系列的假设：

用a表示一定时期内的固定费用总额，b表示单位产品的变动费用，P表示产品价格，r%表示销售税率。

设x为一定时期内的产品产量，则有：总成本为：a+bx；

总收入为：P（1-r%）·x；

若只求盈亏平衡，则：P（1-r%）·x=a+bx；

若还订立盈利目标“F”，则有：P（1-r%）·x=a+bx+F

2.求解

量本利分析模型可以用来求解保本销售量和销售额及目标盈利下销售量和销售额。

求保本销售量、销售额：

保本销售量=

保本销售量=

其中：b／P叫做变动成本率；“1-r%-b／P”叫做边际贡献率。

求目标利润下的销售量、销售额：

目标销售量=

目标销售量=

多品种的量本利分析模型：

产品品种较多时，可以利用“平均边际贡献率”来求解。

量本利分析模型可用图5-4表示。

图5.4　量、本、利分析模型图

3.实例

某项目未来生产甲、乙、丙三种产品，单价分别为：900元，800元，600元；税率10%，单位变动成本分别为：500元、400元、300元；全年固定成本总额50000元，三种产品上期销售量为：40台、40台、50台。依据上述资料，可计算出各产品边际贡献率及销售比重如下：

（1）边际贡献率：

（2）销售比重为：某产品销售收入／总销售收入

（3）平均边际贡献率为：

34.44%×36.73+40%×32.65%+40%×30.62%=37.96%

（4）保本销售额为：

（5）若盈利目标40000元，则必须完成的目标销售额为：

还可以按品种的构成，将销售额分摊在甲、乙、丙三种产品上：

甲销售额：237091.68×36.73%=87083.77（元）

乙销售额：237091.68×32.65%=77410.43（元）

丙销售额：237091.68×30.62%=72597.47（元）

量本利分析法又称保本分析法或盈亏平衡分析法，是通过分析投资项目未来经营的产量（或销售量）、成本和利润的关系以及盈亏变化的规律来为决策提供依据的方法。

量本利分析法的关键是找出投资项目不盈不亏时的产量（称为保本产量或盈亏平衡产量；此时企业的总收入等于总成本）。只有投资项目生产能力高于这一所谓的保本产量，项目投资才是合理的。

（三）净现值法

净现值法是在考虑资金时间价值（利息率）的前提下，对各方案的最终经济效益进行计算，从中选择获利最大的方案。

计算公式如下：

净现值=贴现后的累计盈利额-考虑利息后的累计投资额

式中，P——每年投资额：

　F——每年盈利额（投产后）；

　i——平均年利息率；

　n——投产后服务年限；

　t——基本建设年限（建设周期）；

　NPV——净现值（投产初期）。

例如：某项目有两个可供选择方案，有关资料经计算测定如表5-3所示。

表5－3　各方案投资及盈利表

年利率按10%考虑，各方案净现值计算如下：

甲方案：

乙方案：

乙方案的净现值（纯盈利）大于甲方案，所以选择乙方案作为决策的结论。

（四）投资回收期法

投资回收期法的决策标准是投资回收期。回收期越短的方案，风险性越小，经济效益越好，优先入选。计算公式为：

式中，T——投资回收期；

　F——每年盈利额；

　P——投资总额。

显然在上式计算中，未考虑资金的时间价值，容易得出不符合客观实际的结论。

例如：某项目一次性投资200万元，投产后每年可盈利25万元，按上式计算，投资回收期为200／25=8年，即8年可全部收回投资。

但是，考虑资金的时间价值后，情况就完全不同了。

若年利润按10%考虑，则每年仅利息支付就达20万元，扣除利息后，每年仅盈利5万元，投资根本不可以在8年收回。若年利息率在12.5%以上，则每年仅支付利息就在25万元以上，项目的年盈利额最多只能支付贷款利息，还本绝无希望。

考虑资金时间价值的投资回收期公式可推导如下：

设年利率为i，投资回收期为T，总投资为P，年盈利额为F。当满足以下条件时，投资正好回收：

化简为：

两边取对数：

显然上式中要求F＞Pi，即每年盈利率必须大于初期投资的年利息，否则F／（F-Pi）成为零或者负数，无法计算，也就是说投资永远无法回收。

（F-Pi）的差额越小，投资回收期越长，反之，投资回收期越短。

例如，某项目初期投资为100万元，投产后年利润额为20万元。考虑资金时间价值，以年利率10%和15%计算，对应的投资回收期为：

若该项目还有另一种方案：初期投资200万元，年盈利额38万元，年利率也按10%、15%考虑，对应的投资回收期如下：

两个方案比较，还是选择投资较小方案，其投资回收期可短些。所以，选择第一种方案，即投资100万元，年盈利20万元的方案。

二、风险型决策方法

在比较和选择活动方案时，如果未来情况不止一种，管理者不知道到底哪种情况会发生，但知道每种情况发生的概率，就可以采用风险型决策方法。常用的风险型决策方法是决策树法、期望值法等。

（一）决策树法

决策树法是用树状图来描述各种方案在不同情况（或自然状态）下的收益，据此计算每种方案的期望收益从而做出决策的方法。

这种方法是将决策问题中各方案及自然状态以决策树的形式予以表达，如图5-5所示。

图5.5　决策树图

1.决策树的符号意义

决策点是表示决策对象的起始点；

方案枝表示可供选择的方案，有几个方案必须划出几个方案枝来；

结点表示方案综合状况；

概率枝表示各种自然状态，每一方案都面临相同的自然状态。

2.绘制决策图的要求

在方案枝上要以负数标明各种方案的投资；

在概率枝上要标明各自然状态出现的概率；

在概率枝上还要标明对应的损益值；

在方案枝结点上要标明各方案的损益期望值；

各方案最终的取舍结果要在图中标出，即舍去的方案要剪枝。

例如，某矿欲扩大产量，有三种方案可供选择，未来10年内煤炭市场需求也有旺、平、淡三种情况。据过去的统计资料及市场有关预测知道，这三种自然状况出现的概率为30%，50%，20%，其他资料见表5-4。

表5－4　各方案不同自然状态下年损益表　单位：万元

依上资料，可绘制决策树图5-6。

图5.6　决策树计算图

甲：［0.3×100+0.5×60+0.2×（-10）］×10=580（万元）；

乙：［0.3×80+0.5×40+0.2×0］×10=440（万元）；

丙：［0.3×60+0.5×30+0.2×10］×10=350（万元）。

各方案最终盈利期望值为：

甲：580-160=420（万元）；

乙：440-100=340（万元）；

丙：350-60=290（万元）。

相比较，甲方案盈利最大，优由于乙、丙方案，故选甲方案，10年后可望获得累计盈利420万元。以上结果都必须反映在决策树中，如图5-6所示。

（二）期望值法

期望值法又叫做期望利润最大化法。该方法针对已有的生产条件，不再增加投资，是选择现有生产条件下，最佳生产规模的简便方法。该方法的核心是计算各方案执行后的平均期望利润，然后，从中选择期望利润最大的方案。基本公式为：

期望利润=∑各自然状态下的损益值×相应的概率

例如：某煤矿按现有生产条件，月产原煤有三种方案可供选择，且煤炭市场月需求量也有对应的三种情况，月产原煤若当月卖出，吨煤可获利3元，若卖不出去，由于积压则亏损1元。各方案资料如下：月产量10万吨、12万吨、14万吨，当月卖出10吨、12万吨、14万吨，对应的概率为0.5、0.3、0.2。

依据上述资料，分别计算如下损益值：

（1）月产10万吨，无论何状态，都可全部卖出，盈利额为10×3=30（万元／月）

（2）月产12万吨时：

卖出10万吨盈利：10×3-2×1=28（万元／月）

卖出10万吨盈利：12×3=36（万元／月）

（3）月产14万吨时：

只卖出10万吨盈利：10×3-4×1=26（万元／月）

只卖出12万吨盈利：12×3-4×1=32（万元／月）

全部卖出时，盈利：14×3=42（万元／月）

根据上述结果列损益表（表5-5）。

表5－5　损益表　单位：万元

各方案的期望利润为：

（1）月产10万吨：

　　30×0.5+30×0.3+30×0.2=30（万元）

（2）月产12万吨：

　　28×0.5+36×0.3+36×0.2=32（万元）

（3）月产14万吨：

　　26×0.5+32×0.3+42×0.2=31（万元）

由计算得知，选择月产12万吨方案，可使该煤矿每月获利最大，达到32万元，故选产量12万吨的方案。

需要说明的是，在上述计算过程中，没有考虑资金的时间价值，这是为了使问题简化。但在实际中，多阶段决策通常要考虑资金的时间价值。

三、不确定型决策方法

在比较和选择活动方案时，如果管理者不知道未来情况有多少种，或虽知道有多少种，但不知道每种情况发生的概率，则须采用不确定型决策方法。常用的不确定型决策方法有小中取大法、大中取大法和最小最大后悔值法等。

不确定型决策法也面临着有限个可行方案，各方案执行结果也因存在多种自然状态而变化。该法的最大困难在于各种自然状态出现在概率是未知的，决策的风险性也就更大。这时决策的结果与决策人性格、愿望很有关系。若决策者有开拓精神，又善于冒险，则会选择有最大获利可能的方案，叫做乐观原则（大中取大）。若决策者较为稳妥，不打无把握之仗，则可能寻求最平稳的方案，以保证在最坏条件仍有较大的收获（小中取大）。此外，还有折中原则，最小后悔原则等。

（一）乐观原则（大中取大）（表5-6）

表5－6　损益表　单位：万元

乐观的人先找各方案的最好情况，然后再从最好情况中挑选出有可能获利最大的方案。上表各方案的最大获利为：甲为7万元，乙为9万元，丙为7万元，丁为8万元，列在表中最后一栏。然后，再选出可能获利最大的方案（乙方案）。

（二）悲观原则（小中取大）（表5-7）

表5－7　损益表　单位：万元

稳妥的决策者善于从最坏处着想，寻找各方案可能遇到最不景气状况，然后从中选取不景气下能够最大获利的方案。如表5-7，各方案最不景气下的盈利列在表的最后一栏，稳妥的决策人会选择相对获利最大的丙方案（小中取大）

（三）最小后悔原则（表5-8）

先从损益表中计算出各方案在不同自然状态下的后悔值（后悔值就是各方案与最优方案之间的差距）。例如，在第A种状态下，丙方案获利最大，不会后悔，而其他方案相对丙方案而言，则为少获了利而后悔，甲为2，乙为3，丙为4，丁为3；可列表5-8。

表5－8　后悔值表　单位：万元

在最后一栏列出各方案的最大后悔值，决策者为了减轻后悔的程度，必然选择后悔值最小的方案，这时甲方案可中选（大中取小）。