区间估计的表达方式

一、区间估计

区间估计就是在一定的标准差范围内设立一个置信区间，然后联系这个区间的可信度将样本统计值推论为总体参数值。它的实质是在一定的置信度下，用样本统计值的某个范围来“框”住总体的参数值，即以两个数值之间的间距来估计参数值。区间估计通常采取如下的表达方式:“我们有95%的把握认为，今年全市职工的月平均工资收入在1 000元至5 000元之间。”这里的1 000元至5 000元之间就是一个区间，区间（即范围）的大小反映了估计的精确度问题，而95%的把握则是一个可靠性问题，它可以作这样的解释:如果从总体中重复抽样100次，约有95次所抽样本都落在这个区间内。

区间估计范围的大小，取决于我们在估计时所要求的置信度与精确度。从置信度来说，在样本大小相同的情况下，区间愈大，置信度愈高；反之愈低。但另一方面，就精确度来说，区间越大，则精确度越低；区间越小，则精确度越高。区间估计必须同时考虑这两个因素，在二者之间进行平衡与选择。在社会调查的统计分析中，常用的置信度为90%、95%、99%，相应的误差（α）为10%、5%、1%。置信度常用1－α来表示。置信度可以通过标准正态分布表查出它所对应的临界值即Z值。上述置信度的Z值分别是1.65、1.96、2.58。置信度确定之后，就可以计算区间的大小。

下面分别介绍总体均值和总体百分比的区间估计方法。

1.总体均值的区间估计

总体均值估计，有大样本估计（N＞30）和小样本估计（N＜30）之分。在社会调查中，一般都是大样本估计，所以，我们这里介绍大样本估计法:

其中:X是样本平均数；Z Q（1－α）是置信度所对应的Z值，下标（1－a）是置信度；S是样本的标准差；n是样本数。

例12　调查某市职工的工资情况，随机抽取600名职工作为样本，得到他们的平均工资为5 810元，标准差为2 870元。求置信度为95%的情况下，该市职工月平均工资的置信区间是多少。

由题得知，

＝5 810　S＝2 870　Z_{（1－0.05）}＝1.96　n＝600

代入式中得

经计算得知总体置信区间为5 580.4—6 039.6（元）。

如果我们希望提高估计的可靠性时，可以扩大置信区间，比如将置信度提高到99%，那么上例中的置信区间是多少呢？

同样利用公式计算:

查Z值表得Z_{（1－0.01）}＝2.58

故此时总体均值的置信区间为

可见随着可靠性的提高，所估计的区间扩大了。这样，估计的精确性也就相应地降低了。

2.总体百分比的估计

总体百分比估计，又称为百分率估计，其区间估计程序与总体均值的区间估计程序大体相同，只是标准误差的计算有其特定的内容和形式。

其计算公式为

其中P是样本中的百分比。

例13　要估计某校有多少学生准备报考研究生，随机抽取80名同学进行调查，得知有32.5%的同学准备报考研究生。现在据此对总体百分比，即全校有多大比例的同学准备报考研究生进行估计，确定置信度为95%。将此资料代入公式得

故总体百分比的置信区间为22.20%—42.76%。

该结果表明，该校全校学生中有22.20%—42.76%的同学准备报考研究生，这一估计的可信度是95%。