总体平均数区间估计

进行总体平均数区间估计之前，一般要理解以下三个概念：

①显著性水平，估计某一区间不能包括总体参数的概率，用α表示。

②置信水平，也叫可靠程度，估计某一区间能包括总体参数的概率，用1－α表示（图5－1），通常是先给定。

③置信区间是指由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。在统计学中，置信区间是对某个总体参数的区间估计。置信区间展现的是该区间以1－α的可能性包括总体某个参数的真实值。

5.1.2.1 用CONFIDENCE．NORM（）函数对总体均值进行区间估计

图5－1 显著性水平与置信水平

对于正态分布的总体、方差已知的样本，可以用CONFIDENCE.NORM（）函数来计算总体均值的置信区间半径。

对于正态总体，无论样本容量多少，样本平均数分布都服从～N（μ，σ2/N），可用式（5－3）和式（5－4）计算置信区间的上限与下限：

置信区间上限　＋Zα/2×　（5－3）

置信区间下限　－Zα/2×　（5－4）

例5.1 祥隆机械厂生产一种零件，其长度服从正态分布，现从一批产品中随机抽取9件，测得其平均长度为21.5mm。已知总体标准差为0.16mm，要求按置信水平95％建立该批产品平均长度的置信区间。

（1）插入函数CONFIDENCE.NORM（），进入图5－2所示对话框

图5－2 CONFIDENCE．NORM（）函数

（2）输入参数，计算区间半径

Alpha为显著性水平，本例中显著性水平为1－95％＝0.05；

Standard＿dev为总体标准差，本例中为0.16；

Size为样本容量，本例中为9，单击【确定】按钮，则得0.10。

（3）根据区间，半径计算区间的上限、下限

区间上限为21.5＋0.10＝21.6（mm），区间下限为21.5－0.10＝21.4（mm），即这批零件的平均长度在［21.4，21.6］之间的可能性为95％。

对于来自非正态总体，方差已知、样本容量大于30的样本，也可以用CONFIDENCE． NORM（）函数对总体均值进行区间估计；若方差未知，可以用样本方差代替总体方差。

例5.2 光华学院从学生中随机抽取120人进行调查，得知他们每天参加体育锻炼的平均时间为30min。设已知总体方差为36min，要求以95％的可靠程度估计全校学生平均每天参加体育锻炼的时间。

由于样本容量为120人，为大样本，根据中心极限定理，可以运用CONFIDENCE．NORM（）函数进行区间估计。单击一空白单元格，输入“＝CONFIDENCE（0.5，6，120）”，按Enter键，得0.369 433，则其置信区间为［29.63，30.37］。

5.1.2.2 用t分布对总体均值进行区间估计

对于来自正态总体，方差未知，样本容量小于30，可用样本方差代替总体方差，用式（5－5）和式（5－6）计算置信区间的上、下限：

置信区间上限　＋tα/2×　（5－5）

置信区间下限　－tα/2×　（5－6）

其中，s为样本标准差；α为显著性水平；tα/2根据T～t（n－1）计算得出；n为样本容量。

例5.3 为研究一种汽车轮胎的磨损情况，研究人员随机选取16只轮胎，每只轮胎行驶到磨坏为止，记录所行驶的里程（以km计）如下：

41250 40187 43175 41010 39265 41872 42654 41287

38970 40200 42550 41095 40680 43500 39775 40400

假设汽车轮胎的行驶里程服从正态分布，均值、方差未知。试求总体均值的置信度为0.95的置信区间。

（1）插入函数T．INV（），进入如图5－3所示对话框

图5－3 T．INV（）函数

Probability为双尾概率，在本例中为1－95％＝0.05。

Deg＿freedom为自由度，在本例中为16－1＝15。

（2）计算tα/2

输入参数后，按Enter键，则显示tα/22＝2.13145。

（3）计算样本标准差

用STDEV（）函数计算出样本标准差为1346.8428，用AVERAGE（）计算出样本平均数为41116.88。

（4）计算区间半径

tα/2×＝2.13145×1346.8428÷4＝717.682021515（km），则置信区间上、下限分别为41116.88±717.682，即［40399.198，41834.562］。

例5.3对来自方差未知但服从正态分布的总体，在样本平均数服从T＝μn～t（n－1）的情况下，可以用CONFIDENC.T（）函数来计算总体均值的置信区间半径。