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区间估计的基本概念

时间:2021-08-23 百科知识 版权反馈
【摘要】:,Xn来自总体X~N的一个样本,其中σ2已知,μ为未知参数,求μ的置信度为1-α的置信区间.

参数的点估计值给出了一个具体的数值,便于计算和使用,但点估计值本身只是未知参数的一个近似值.人们在测量或计算时,常不以得到近似值为满足,还需估计误差,即要求知道近似值的精确程度.因此,对于未知参数θ,除了求出它的点估计θ^外,我们还希望估计出一个范围,并希望知道这个范围包含参数θ真值的可信程度.

设θ^为未知参数θ的估计量,其误差小于某个正数ε的概率为1-α(0<α<1),即

这表明,随机区间包含参数θ真值的概率(可信程度)为1-α,则这个区间就称为置信区间,1-α称为置信水平

定义7.3.1 设总体X的分布中含有一个未知参数θ.若对于给定的概率1-α(0<α<1),存在两个统计量使得

则随机区间称为参数θ的置信水平为1-α的置信区间,称为置信下限,称为置信上限,1-α称为置信水平或置信度

注7.3.1 (1)置信区间的含义若反复抽样多次(各次的样本容量相等,均为n),每一组样本值确定一个区间每个这样的区间要么包含θ的真值,要么不包含θ的真值.按伯努利大数定理,在这么多的区间中,包含θ真值的约占100(1-α)%,不包含θ真值的约仅占100α%.例如:若α=0.01,反复抽样1000次,则得到的1000个区间中,不包含θ真值的约为10个.

(2)置信区间的长度表示估计结果的精确性,而置信水平表示估计结果的可靠性.对于置信水平为1-α的置信区间一方面置信水平1-α越大,估计的可靠性越高;另一方面区间的长度(2ε)越小,估计的精确性越好.我们自然希望反映可信程度越大越好,反映精确程度的区间长度越小越好.但在实际问题,二者常常不能兼顾,提高可靠性通常会使精确性下降(区间长度变大),而提高精确性通常会使可靠性下降(1-α变小),所以要找两方面的平衡点.

在学习区间估计方法之前,我们先介绍标准正态分布的上α分位点概念.

设X~N(0,1),若zα满足条件P{X>zα}=α,0<α<1,则称点zα为标准正态分布的上α分位点.例如求z0.01.按照α分位点定义,我们有P{X>z0.01}=0.01,则P{X≤z0.01}=0.99,即∅(z0.01)=0.99.查表可得z0.01=2.327.

例7.3.1 设X1,X2,…,Xn来自总体X~N(μ,σ2)的一个样本,其中σ2已知,μ为未知参数,求μ的置信度为1-α的置信区间(这里α=0.05).

解 由第六章我们知道,X是μ的无偏估计,且有

据标准正态分布的α分位点的定义有:

由α=0.05,查表得:zα2=z0.025=1.96.

又若σ=1,n=16,x=5.4则得到一个置信度为0.95的置信区间为:

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