函数单调性概念

第五节　函数单调性概念^[5]——基于APOS理论的一则教学设计案例

APOS理论是由美国的杜宾斯基等人在数学教育研究实践中提出的，该理论集中于对特定学习内容——数学概念学习过程的研究，提出学生学习数学概念要经过“活动（Action）”、“过程（Process）”、“对象（Object）”和“图式（Scheme）”4个阶段，取这4个阶段英文单词的首字母，定名为APOS理论。APOS理论不仅揭示了学生建构数学概念的学习层次，而且为数学教师提供了指导学生怎样学习数学概念的理论经验和工具，教师可根据这一经验和工具制定教学目标和教学策略，安排教学活动。“函数单调性概念”教学设计则是在APOS理论指导下的一次尝试。

一、“函数单调性概念”教学4阶段的设计

（一）活动阶段

活动一：用多媒体重复演示图像动态变化过程，包括一次函数、二次函数、反比例函数（图2-5-1、图2-5-2、图2-5-3）。

图2-5-1

图2-5-2

图2-5-3

从不断的动画演示过程中，学生不难得出以下结论：图2-5-1呈逐渐上升的趋势；图2-5-2在（－∞，1）上呈逐渐上升的趋势，而在（1，＋∞）上呈逐渐下降的趋势；图2-5-3呈逐渐下降的趋势。

活动二：列举生活中用图像描述上升或下降变化规律的事件。

（二）过程阶段

活动三：函数图像“上升”与“下降”的这一特征与变量有什么对应关系？

教师可引导学生观察图像，通过具体情形的考察，例如：对于图2-5-1的描述，“当x₁＝0时，y1＝1；当x₁＝1时，y1＝2。”这样学生就不难得到以下结论：

图像呈逐渐上升趋势⇒函数值y随x的增大而增大。

图像呈逐渐下降趋势⇒函数值y随x的增大而减小。

同时教师有必要指出，函数的这种性质称之为“单调性”。把函数值y随x的增大而增大的函数称为增函数；类似地，把函数值y随x的增大而减小的函数称为减函数。

活动四：判断以上函数是增函数还是减函数。

让学生重新观察教学情境，并与刚得出的结论对照、比较、分析，尽可能由学生自己从教学情境中发现结论的漏洞：函数y＝x2在区间(－∞，0)上为单调递减函数，在区间(0，＋∞)上为单调递增函数，即函数单调性与自变量的范围有关，函数不一定在定义域内是单调函数，但可以在定义域的某个子集上是单调函数。

于是进一步完善定义：如果函数f（x）在某个区间I上满足：随自变量x的增大，y越来越大，我们就说函数f（x）在区间I上为增函数，区间I为函数f（x）的增区间；如果函数f（x）在某个区间I上满足：随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f（x）在区间I上为减函数，区间I为函数f（x）的减区间。

活动五：以下说法是否正确？

函数y＝x²（x∈R），取x＝－1，2，3，4，…，相应地y＝1，4，9，16，…，这样能不能说函数值y随x的增大而增大？能不能说函数y＝x²（x∈R）是增函数？

通过这个反例，可以让学生体会到某区间上有限对或无限对自变量的递增关系都不能反映“函数值y随x的增大而增大”的本质，必须强调x₁，x₂的任意性，才能准确表述单调递增的特征。

（三）对象阶段

活动六：怎样用数学化的语言来表述“增函数”与“减函数”？

这一问题对学生来说较为抽象，也是教学中的难点。可分成以下几步来突破：

（1）“x增大”、“y增大”、“y减小”如何用数学语言来表述。

在数学中“大小”就意味着比较，学生不难想到用不等号来表示；即x₁＜x₂；y1＜y2；y1＞y2。

（2）x与y的依赖关系“随”如何用数学语言来表述。

可以引导学生观察图像，从图像中得出：上升时x₁，x₂∈I且x₁＜x₂⇒y1＜y2；下降时x₁，x₂∈I且x₁＜x₂⇒y1＞y2。

（3）将隐含的“任意”符号化。

活动七：反思辨析，深化概念。

鉴于该函数在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是单调减的，学生往往觉得它在整个定义域上是单调减的，因而就认为该函数的单调区间是（－∞，＋∞），教师可以引导学生分别取区间（－∞，0）和区间（0，＋∞）上的特殊值来验证否定结论。

（四）图式阶段

活动八：用函数单调性的定义判断函数的单调性。

教师在引导学生用定义判断时，概括出定义证明函数单调性的一般步骤：取值→作差→变形→定号。

同时，这里可介绍函数的和、差的单调性结论：在公共区间内，若函数f（x），g（x）都有单调性，则有：

（1）若f（x）增，g（x）增，则f（x）＋g（x）增；

（2）若f（x）增，g（x）减，则f（x）－g（x）增；

（3）若f（x）减，g（x）减，则f（x）－g（x）减；

（4）若f（x）减，g（x）减，则f（x）＋g（x）减。

二、点评

本教学设计以“活动—过程—对象—图式”4个阶段展开，环环相扣，循序渐进。函数单调性概念作为主线贯穿整个教学过程，笔者将其分解成以下3个基本要素和构成：它首先揭示的是函数变量之间的相互依赖关系，而这种变化的依赖关系必须是在一定的范围内讨论的，最主要的它是通过任意两点的大小变化关系来刻画函数的整体增减趋势。

“活动”阶段教师创设问题情境，目的主要在于让学生理解函数单调性概念的直观背景和概念间的关系，感知函数变量之间的相互依赖关系，并不是引起学生的认知冲突。活动一通过给学生展示不同函数图像，让学生描述各个函数图像的变化趋势；接着活动二让学生挖掘生活中的数学元素。不断重复这样的操作，学生从中得到不断反思，于是就会在大脑中进行一种内部的心里建构。为了达到这种效果，所以在设置活动时应排除一切会干扰反应概念本质的因素，使学生对于感知到的对象能轻松转换。同时学习是一个连续的过程，学生在函数单调性这一概念之前，已经学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数，函数的变量定义和映射定义，以及函数的表示。对函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念，也已经形成初步认识。学生的认知基础包括生活体验和函数图像，所以在活动一中我们选取了学生熟悉的函数图像。

“活动”阶段只是激起学生思考的欲望，提供了思维的土壤，并不一定能产生数学的体验，建构起概念。所以在“活动”阶段获得了初步感觉印象的基础上，“过程”阶段需对其不断完善。问题情境的设置应该尽量体现概念的各种本质特征，而且能够引导学生对活动的自觉反省探究问题的实质。这样，学生在一系列操作中不断检验其先前经验，在操作中反思，又在思考中操作，这样多次反复对经验的提炼才会得到“函数单调性”概念的完整认识，并且进入“对象”阶段。但“过程”中所进行的分析和数学的再创造，有时是相当困难的，需要教师的鼓励和引导。如活动五，学生在理解上很难从“有限”到“无限”的顺利过渡，但这个问题设计的意义却非常重大，如果学生无法认识到任意性，函数单调性的本质也就不能揭示，学生也就无法感受到：通过用任意的点x₁和x₂的大小关系来判断f（x₁）和f（x₂）的大小关系，可以得到函数单调性的整体性质。

“对象”阶段的目标是对以上两个阶段抽象出的概念所特有的性质赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象，在以后的学习中以此为对象去进行新的活动。以上学生经历了从“函数单调性”的图像直观感知到自然语言描述，但“函数单调性”概念形式化的定义，是很难被初学者接受的，这是学生第一次碰到用静态的数学符号描述动态的数学对象，在思维能力上无疑是一个很大的挑战。

“图式”阶段即是将概念作为一个已知对象应用到它生存的土壤或背景中，并将它作为一个工具，一个新的对象来看待。虽然在历经多次的操作和思考后，概括出“函数单调性”形式化的概念，认识便进入“对象”阶段，但对“对象”的认识还是孤立的，认识必须深化进入“图式”阶段。根据函数图像判断函数的单调性、单调区间比较容易直观，但除了基本初等函数以外，很多函数的图像并不容易作出，有的甚至无法作出（如活动八），因此只有用定义来判断和证明函数的单调性。这样不仅能使学生更进一步体会到如此定义概念的必要性，而且使学生很自然地逆向思考整个过程，促进了学生概念的内化。函数的单调性作为一种重要性质，在中学数学中有广泛的应用，它的应用范围远远超过高中课本所涉及的深度、广度与难度，利用它可以解方程、解不等式、求最大（小）值、求取值范围、证明等式与不等式问题，在以后讨论指对数函数、三角函数等复合函数的单调性等内容时不断丰富“函数单调性”概念与性质，从而建立完整的心理图式。

我们的目标不仅仅要让学生理解形式化的概念，而且要让学生理解为什么要形式化和为什么要这样形式化。“活动”阶段是学生建构概念的起步，同时又为“过程”阶段提供了感性素材和可供反省的对象，为学生“过程”中的观察、联想、归纳、概括抽象提供了机会；而“过程”向“对象”的转移则为更高层次的研究开拓了现实的可能；“图式”阶段是对前面三个阶段的一个总体把握，同时又可以作为建构结果成为新知识建构的材料。

这样，APOS理论作为一种数学概念学习论，为我们提供的如此循环上升的连续性的阶段，牵引并支持着学生在自己的经验与数学的本质之间不断对话，在连续性地回顾与反思过程中提升、扩充学生的经验认识，丰富、深化对数学本质的理解。

参考文献

［1］张奠宙，李士锜，李俊．数学教育学导论［M］．北京：高等教育出版社，2003：181－182．

［2］乔连全．APOS：一种建构主义的数学学习理论［J］．全球教育展望，2001（3）：16－18．