原函数与不定积分的概念

F′（x）＝f（x），

则称F为f在区间E上的一个原函数。

定理5.1.2　设F，G是函数f（x）在区间E上的两个原函数，则它们之间最多相差一个常数，即存在常数C，使

G（x）＝F（x）＋C．

证明　因为F′（x）＝f（x）和G′（x）＝f（x），x∈E得

［G（x）－F（x）］′＝f（x）－f（x）≡0，x∈E．

所以，由推论4.1.6，G（x）－F（x）在区间E上为常数，即有

关于原函数的存在性，也即一个函数在什么条件下存在原函数，我们在下一章中将可以得到这样一个充分条件：如果某函数在区间E上连续，则其原函数一定存在。

例5.1.3　某物体在离地面高度为h米处由静止状态自由下落，已知由重力产生的加速度为g米／秒²，试分别求物体在空中下落时，速度和离地面高度关于时间的函数表达式。

解　设物体离地面高度函数为s（t），速度函数为υ（t），则有

υ′（t）＝－g．

显然，－gt满足上式，由定理5.1.2得

υ（t）＝－gt＋C₁，

其中C₁为常数。因υ（0）＝0，有C₁＝0，所以物体速度关于时间的函数表达式为

υ（t）＝－gt．

又因为s′（t）＝υ（t）＝－gt，同理可得

其中C₂为常数。而s（0）＝h，得C₂＝h，因此物体离地面高度关于时间的函数表达式为

例5.1.3就是一个已知函数的导函数表达式，求此函数的问题，即求函数的原函数问题，这样的问题其实就是微分的逆运算问题，以下我们引入不定积分的概念。

由定义5.1.4知，求某个函数的不定积分函数集合，只要求出该函数的一个原函数即可，所以求不定积分就归结为求函数的一个原函数。

求已知函数f的一个原函数F，在几何上就是求一条曲线y＝F（x），其上点M（x,y）处的切线斜率恰好等于值f（x）．这条曲线称为函数f的积分曲线，因此函数f的不定积分是一族积分曲线。

求一个函数不定积分都是在相应的定义区间上，为简便起见，今后如无特别说明，就默认为在其存在区间上的不定积分，不再注明具体区间。

不定积分的性质

如果把求微分看作是一种运算，称之为微分运算，把求不定积分也看作是一种运算，称之为积分运算，那么，以上性质说明了积分运算与微分运算互为逆运算。

（2）若函数f，g皆存在原函数，k为任意常数，则

基本积分公式表

由基本初等函数的导数公式，可以得到相应的不定积分公式，列表如下：

解　由不定积分的性质和基本积分公式表有

当一个不定积分化为几个不定积分的和时，每个不定积分求出后会有一个积分常数（任意常数），因为有限个任意常数之和仍然是任意常数，所以我们不必在每个不定积分都写上一个任意常数，只要在最后的结果中写上一个积分常数即可。

解　把被积函数化简为可用积分表中公式求出不定积分的形式，有

解　因为函数f在区间（－∞,＋∞）上连续，于是在该区间上f的原函数F存在，有：

由于F是可导函数，故必连续，所以

即得C₁＝2＋C₂，因此所求不定积分为

其中C₂为任意常数。　　◇