第节，函数的单调性

(1/2) 单调性判别方法

设函数在上连续，在内可导， （1）若在内，则在上单调不减。 （2）若在内，则在上单调不增。 （3）若在内且在任意子区间，则在上单调增加。 （4）若在内且在任意子区间，则在上单调减少。

(2/2) 函数单调区间的一般求法

（1）写出函数的定义域。 （2）求出函数的驻点和不可导点，即和不存在的点。 （3）利用上述的点由小到大将的定义域划分成若干个互不相交的子区间。 （4）讨论在每个子区间的符号，判断函数的单调性。

(1/4) 函数极值定义

设函数在点的某邻域内有定义，如果，对有，则称 是的极小（大）值点，称为的极小（大）值，等号仅在时成立。极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值。

(2/4) 函数极值的充分必要条件

（1）必要条件：设在处可导并且取得极值，那么。 （2）极值第一充分判定定理：设函数在处连续，且在的某去心邻域内可导： (i) 若时，而时，则在处取极大值。 (ii) 若时，而时，则在处取极小值。 (iii) 若时，的符号保持不变，则在处没有极值。 （3）极值第二充分判定定理：设函数在处二阶可导，且，则 (i) 若时，在处取极大值。 (ii) 若时，在处取极小值。 (iii) 若时，在处可能取得极小值，也可能取得极大值，也可能没有极值。此时可用函数在处举例便可说明。

(3/4) 函数极值的一般求法

(1) 求出导数; (2) 求出函数的全部驻点和不可导点; (3) 按照极值第一充分条件或者第二充分条件或极值定义判断所有的驻点和不可导点是否为极值点，是极大值还是极小值。 (4) 确定函数的所有极值点和极值。

(4/4) 极值与最值

求在上连续函数的最大（小）值分为两部走： （1）求及不存在点，以及区间端点处的值. （2）计算上述各点处的函数值，经比较，最小即为，最大即为。