有关退休成员的基本函数

6.3　有关退休成员的基本函数

这节讨论与退休群体相联系的基金累积理论中的几个函数，记号中将使用前缀r来表示涉及退休群体。

6.3.1　未来受益的精算现值（rA）（t）

在时间t介于年龄x与x＋dx之间的l（x，t－x＋α）dx个成员在x－r年之前退休（x≥r），退休时的初始退休金年率为fw（r）g（t－x＋r）。对还活着的退休者的每单位初始退休金，剩余的精算现值为：

其中s（y）是仅仅基于死亡的单重损因生存函数。于是

按（6.1）可知l（x，t－x＋α）＝n（t－x＋α）s（x），用（6.22）代入可将（rA）（t）写成二重积分的形式：

与假设M（x）＝1，x≥r相适应，在时间t对封闭的退休者群体而言没有未来正规成本。这样，相应于退休成员的精算积存负债等于他们的未来退休金精算现值，即

这与有关在职成员的式（6.21）形成对照。

6.3.2　受益支付率B（t）

对退休成员有一个新的函数需要考虑，那是在时间t的受益支付率B（t）。在建立退休者未来受益精算现值的式（6.23）过程中，可以看到现龄介于x与x＋dx的退休者的退休金初始支付率为

l（x，t－x＋α）fω（r）g（t－x＋r）dx

在年龄x，这一支付率由因子h（x）调整，因此

用（6.1）可得出B（t）的另一形式

对（6.27）给出的B（t）求导，可得

上式右端方括号内的项度量替代影响，第一项是新退休成员的初始退休金导致的受益支付（率）增长的变化率，第二项是在时间t死亡导致的受益支付（率）下降的变化率。方括号之外的项为调整影响，它衡量在时间t受益支付率的调整额。

6.3.3　分配方程

至此，我们可以对退休群体写出有关在职群体的（6.17）类似的公式：

这个方程可根据复利理论来论证，（rV）（t）可看做是一项基金，其来源为期末基金累积成本与利息，其支出为退休金支付。总的收入率与支出率之差决定了该项基金额的变化率。