随机前沿生产函数

Aigner，Lovell，Schmidt（1977）与Meeusen，vanden Broeck（1977）分别独立提出随机前沿生产函数模型。在公式4．6．1里，对非负随机变量加上了一个随机游走变量（自由误差）vi。

lnqi＝x′iβ＋vi-ui（4．6．3）

随机项vi用来解释测量误差和另外的一些自由冲击因素，如天气、罢工、运气等因素的影响，都作为产出变量，与不可定义的投入变量的影响结合在一起，共存于生产函数中。 Aigner， Lovell，Schmidt（1977）假定vis独立同分布（i．i．d），且服从均值为0的正态分布N（0，σ2v），且与uis相互独立；uis也是独立同分布，且服从半正态分布N（0，σ2u）。

公式（4．6．3）所定义的模型，被称为随机前沿生产函数。 这是由于产出量受到随机变量的约束。随机项vi可以是正的，也可以是负的。因此随机前沿产出会随着前沿函数的定数部分的变化而变化。

随机前沿模型可以用图4．6．1所示的二维图形来解释。 横轴代表投入，纵轴代表产出，前沿模型的定数用向量来表示，并且假定是规模报酬递减。 图中有i和j两个公司的投入和产出，第i个公司投入量为xi，产出为qi，相应的投入和产出组合用X来表示。随机前沿产出用生产函数上方，这是由于随机游走变量vi为正。同样，第j个公司投入水平用xj表示，产出用yj表示。但是前沿产出在生产函数的下方，这是由于随机游走变量vj为负，vj＜0。同时，随机前沿产出q*i和q*j由于vi和vj不可观察而不可知。但是随机前沿模型中的确定性部分可以看出介于随机前沿产出的中间，当相应的自由误大于相应的非效率因素的效应时观测到的产出会大于前沿上的定数部分。

图4．6．1 随机生产前沿

这个随机前沿模型可以用传统的最大似然估计来进行标准误和假设检验，在早期的定数模型中由于ML的规定的约束而不能进行这样的检验。

随机前沿模型也存在一定缺陷。最大的问题是对于任何所选择的uis的特殊分布形式没有一个先验的标准。 现在，更多的常用分布形式，例如半正态分布和截断正态分布可以部分解决这些问题。 但是，效率测量的结果仍对分布假设非常敏感。