高一数学函数的概念与性质

回归本原　夯实基础——关于上好数学概念课教学的思考

龚　亮

上新课，讲解数学概念是每一个数学教师经常要面对的事情；另一方面，我们教师又经常会发现在测验与作业中学生做错的题目会反复发生错误，大多数学生认为自己是粗心引起的，粗心是有的，但其实大部分还是因为没把概念弄清吃透。所以与其花大力气扭转学生的错误概念，还不如在一开始就将它解决好。如何上好数学概念课，使学生少走弯路，是数学老师不能回避的重要问题。

我校从2002年起参加了上海市二期课改的第一轮试点工作，新教材体现以学生为主体，强调数学概念的教学。从那时起，我就开始有意识地对一些数学概念课进行整理，并对一些已上过的数学概念课进行了反思，有些进行了适当的修改。这些积累对指导我今后的课堂教学有很大的帮助。使得我在上数学概念课时，能尽可能地使学生在既有知识的基础上，又好又快地掌握新的数学概念。现将自己的一些并不成熟的经验和思考与同行分享。

一、数学概念课要合理设计教学情境，保证学生的思维流畅

我个人认为，数学有两个源泉，一个来自生产实践和其他学科，另一个来自数学本身，所以在上课时给学生设置的情境也应该有两类，一类来自学生生活，另一类来自数学自身，这样在设置情境时，根据教材内容与学生的具体情况，就要合理的进行选择。

案例1.关于《数学归纳法》的概念课的教学

在等差数列和等比数列的教学中，其通项公式的推导用的是不完全归纳法，它们的正确性还有待于用数学归纳法证明，因此，可以说数学归纳法的学习是数列学习的深化和拓展。另外，数学归纳法内容抽象，思想新颖，通过对该部分的学习，对培养同学们的逻辑思维能力与创新能力，全面提高数学素质有十分重要的意义。

要使学生知道一个定理非常容易，让他们学会严密推理论证也不是非常困难。但要让他们自主的真正认识和掌握这个定理却并非易事。数学归纳法可能与同学们以前所接触的证明方法差别很大，为了达到“知其然，知其所以然”的效果，可对比以下问题来理解数学归纳法的实质。

问题1.有n张骨牌排成如图所示的一排，现推倒第一张骨牌，会有什么现象？

问题2.要使骨牌全部倒下，骨牌的摆放有什么要求？（骨牌的间距小于骨牌的高度）

问题3.这样做的原因是什么？这样摆放可以达到什么样的效果？（前一张骨牌倒下，适当的间距导致后一张骨牌也倒下）

问题4.如果推倒的不是第一张骨牌，而是其他位置上的某一张骨牌，能使所有的骨牌倒下吗？

问题5.请同学们总结：能够成功地推倒排成一排的多米诺骨牌的条件是什么？（学生通过观察和思考，可以得到的结论是：（1）第一张牌被推倒；（2）若某一张牌倒下，则其后面的一张牌必定倒）

问题6.你能再举一个与骨牌游戏类似的实例？（学生通过思考、交流、讨论，得到了一些例子，如排在一排的自行车被推倒、鞭炮的燃放等）

用类比的方法，我们不难将推倒多米诺骨牌的原理进行迁移、升华，进而得到用数学归纳法证明的步骤：

（1）当n＝1时，结论成立；

（2）假设当n＝k时结论成立，证明n＝k＋1时结论必定成立。

这节课的概念教学通过引进同学们生活中熟悉的多米诺骨牌，帮同学们设置了一个他们十分熟悉的情境将两者自然结合起来。我曾用这种方法上过一节这样的课，同学们的反映是相当好的。

案例2.关于《指数函数》的概念课的教学

师：前面我们已经学过了指数式a^α，对a与α有什么要求？

生：要求a＞0并且a≠1，α可以是任意实数。

师：很好，看来大家已经掌握了前面学习的内容，今天我们学习指数函数，先来研究下面的两个问题（投影显示）。

（1）某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系：y＝2^x

（2）某种放射性物质不断变化为其它物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，写出这种物质的剩留量随时间变化的函数关系：y＝0.84^x

在讨论了上面的两个具体函数之后，给出指数函数的定义。

师：一般地，函数y＝a^x（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

课后反思：细胞分裂与放射性物质衰变两个问题情境都来自于课本，让学生从问题的情景中归纳总结出指数函数的定义，符合新教材的教学理念；在新课开始之前，复习已经学过了的指数a^α的相关知识，也是很好的。但我后来感觉将两者放在一起，就感觉不太自然。因为复习指数a^α的相关知识之后，学生已经进入了一个熟悉的指数情境，只要稍加引导，就可以得到指数函数的定义，所以我进行了如下的修改：

师：前面我们已经学过了指数式a^α，对a与α有什么要求？

生：要求a＞0并且a≠1，α可以是任意实数。

师：很好，看来大家已经掌握了前面学过的指数式a^α。这里有两个常量，一个是a，一个是α，如果将其中的一个换成变量，会出现什么现象呢？我们取定一个α，例如α＝3，把a换成变量x，就得到了一个我们熟悉的幂函数y＝x³；

如果取定一个a（a＞0并且a≠1），把α换成变量x，就得到了一个新的函数y＝a^x（a＞0且a≠1，x∈R），这就是我们今天要学习的指数函数。

师：指数函数是最常见的函数之一，生活中的许多问题都可以抽象成指数函数，我们看几个例子（投影显示细胞分裂与放射性物质衰变两个问题情景）。

这样的改动充分利用了学生已经进入的数学情景，指数式直接到指数函数，思路流畅。这样的改动的另一个好处是，将幂函数y＝x^α和指数函数y＝a^x（a＞0且a≠1）进行了比较，有利于学生知识网络化的形成。还有，在以后学习函数y＝Asin（ωx＋φ）中，我们先定ω＝1、φ＝0，然后研究A对函数的影响；在定A＝1、φ＝0，然后研究ω对函数的影响；再定A＝1、ω＝1，然后研究φ对函数的影响；这是我们经常采用的“控制变量法”，最后放在一起研究。这样的改动对以后学习函数y＝Asin（ωx＋φ）有很好的铺垫作用。

二、重视数学思想方法在数学概念课中的运用

指对数的教学是一个难点，对数的概念与对数的几个恒等式比较容易遗忘；而反三角函数的教学对一个高一学生更是一个难点。这两个看似毫无联系的概念放在一起会产生什么效果呢？我们教师可以通过数学中的类比的思想方法，将两者整合在一起，即复习了指对数的概念，又通过指对数的概念让学生有一个参照物，达到更好的理解反三角函数的概念。

案例3.关于《反三角函数》的概念课的教学

引入：设a＞0，a≠1，b∈R，c＞0，则a^b＝cb＝log_ac

规定：设a∈［－1，1］，α∈，则a＝sinαα＝arcsin a

例1.类比：（1）3⁴＝81 ＿＿＿　　　sin＿＿＿

（2）3^－2＝＿＿＿　　　　　　　　　sin＝－ ＿＿＿

（3）3^a＝4＿＿＿　　　　　　　　　　　sinα＝＿＿＿

（4）3^－a＝2＿＿＿　　　　　　　　　　sinα＝－＿＿＿

例2.求值：（1）arcsin＝＿＿＿　　　　（2）arcsin＝＿＿＿

（3）arcsin 0＝　　　　　　　　　　　　（4）arcsin＝＿＿＿

（5）arcsin（－1）＝＿＿＿

例3.求函数y＝arcsin　x的反函数

解：y＝arcsin x　x＝sin　y，y∈

∴函数y＝arcsin x的反函数是y＝sin　x，x∈

例4.画出函数y＝arcsin　x的图像

★函数y＝arcsin　x称为反正弦函数

反正弦函数y＝arcsin　x的性质研究

定义域：［－1，1］　　　值域：

单调性：在［－1，1］上单调递增　　　奇偶性：奇函数

图像：与函数y＝sin　x的图像关于直线y＝x对称

是中心对称图形，但不是轴对称图形。对称中心：（0，0）

恒等式研究

（1）若x∈［－1，1］，则arcsin（－x）＝－arcsin　x

（2）①a^logax＝x，x∈R^＋，a＞0，a≠1

★类比猜测：sin（arcsin　x）＝x，x∈［－1，1］

②计算：

（3）①log_aa^x＝x，x∈R，a＞0，a≠1，

★类比猜测：arcsin（sin　x）＝x，x∈

②计算：

这节课是反三角函数的第一节课，从我们数学教师的角度都知道要讲清楚概念，但是学生就是难以理解，分析原因，学生认为太抽象了，没有一个东西可以让他借鉴。所以我在仔细研究了

教材以后，决定利用类比的思想方法来上这堂课。利用以前学过的知识：幂与对数是互为逆运算类比到三角函数与反三角函数。类比、推广是培养学生能力很好的载体，我们教师应在平时多找些机会培养学生这方面的能力。

三、借助多媒体加强学生对数学概念的感性认识，然后再上升为理性的理解

随着大批优秀的教学软件和计算机的使用，特别是《几何画板》丰富的几何作图功能，以及强大的计算功能，使得学生和教师在学习函数、解析几何、三角函数甚至立体几何时都倍感亲切和方便。又因为数形结合是中学数学学习研究的重要思想方法之一，而《几何画板》能准确、清晰、直观地展示数与形的关系。

案例4.关于《正弦函数与余弦函数的图像与性质》的概念课的教学

这是正弦函数与余弦函数的图像与性质概念的第一节课，重点是画出它们的图像。

流程：1.从代数方面：列表、取点、描点、连线（因为取点比较多，在几何画板列表、取点、描点、连线就要方便得多）。

2.从几何方面：利用三角函数线的动态平移，取点、描点、连线，直观表现出来。

3.以上的图像只是在［0，2π］上的函数图像，然后将它们向左右两边平移得到整个函数的图像。

4.将正弦函数的图像向左平移个单位，就可直接得到余弦函数的图像。

以上的几个步骤不用几何画板效果就明显不如用几何画板的好。

案例5.关于《函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质》的概念课的教学

我们前面已经讲到过用“控制变量法”来研究函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质。其中在定A＝1、φ＝0，然后研究ω对函数的影响；这时在几何画板中定好A＝1、φ＝0以后，用动态的图像来演示ω在变化过程中对图像的变化，真正让学生感受到ω对周期的影响；同理，用动态的图像来演示φ在变化过程中对图像的变化，真正让学生感受到ω对图像的平移影响。

当然，用多媒体来进行教学的案例还有很多，例如解析几何中的椭圆、双曲线、抛物线、参数方程的教学，立体几何中画截面、翻折问题的教学，还有函数中的用数形结合来解决的问题都可以借助动态的图形给学生以最直观的冲击，加强学生对概念的理解。

四、通过数学实验认识数学概念，加深学生对概念的理解

案例6.关于《基本统计方法》的概念课的教学

传统的统计概念课很枯燥、抽象程度高，学生只是被动地接受。它的关键取决于教师教学方式的改变。在“数学实验”的活动中，教师与学生的角色得到改变，教师为学生设置实验题目，引导学生进行实验，组织学生小组学习，引导学生将实验结果进行观察、分析，从而亲身体验数学、理解数学，这样学生的学习已由接受性学习转变为探索性学习。当然有些教师担心数学实验教学花时太多，怕影响教学的进度与质量。事实上，恰当的数学实验不仅能够提高学生学习数学的热情，而且能够提高数学深度和广度，有利于学生分析和解决问题能力的培养。

在高中三年级（理科）教材的P₁₁₃中的抽样技术中，介绍了简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，教材始终强调随机，强调了随机抽取到每一个个体的可能性，突出随机抽样具有公平性体现了随机抽样的科学性。但我总感觉学生将信将疑，于是我让学生们做了一个简单的数学实验。我将全班48个学生的身高作为总体，抽取10位同学的身高作为样本，后面的工作都由学生来完成：（1）班长统计全班同学的身高，并计算出平均值，结果为167.4厘米；（2）按学号制作48个号签放在暗盒中并搅匀。上课时，请同学们在暗盒中随机抽取10个号签，再对这些号签所对应的学生的身高算出平均值。做了3次，一次误差0.7厘米，一次误差0.3厘米，一次误差1.9厘米，同学们都惊呆了，利用简单随机抽样得到的平均值这么神奇，各人的样本平均值虽然各不相同，但都围绕总体均值波动，那么地接近真实值，这充分展示了偶然性和必然性之间的辩证关系。

我相信这节课肯定会在学生心中留下极其深刻的印象。

五、阅读在数学概念课上的运用

现在，有不少数学老师责怪学生没有学好语文，也责怪语文教师没有教好语文，因为许多学生不会看题或者经常看不懂题目中关键的地方。其实，责怪学生、责怪语文教师都是没有道理的，语文教师只教语文的一般知识，而数学里的词和句，有它的特点，语文教师是教不了的。所以，教数学，有时就要“咬文嚼字”，把关键的词和句讲清楚。2003年起，我开设了一门选修课：《数学中的语言问题》，我发现学生们是很感兴趣的。后来我觉得数学概念课中，更讲究关键的词和句。现在很多数学概念课我都采用以下的教学方法：先让学生进行阅读，然后带着问题听教师的讲解。认知心理学的学习理论认为，数学阅读的实质是认知结构的新旧知识之间的整合过程。在阅读过程中，充分利用数学知识特有的逻辑性和数学内容的结构特点，运用自己已有的数学知识作出分析，不断地将新知识加以吸收和消化。这种方法适用于一些比较抽象的数学概念的教学或是新概念在一节课中出现很多的时候。

案例7.关于《函数的周期》的概念课的教学

在进行三角函数中的周期性概念的教学时，我们不妨先让学生进行阅读函数周期性的定义以及最小正周期的定义。然后让学生找出这个概念中几个关键的字或词，学生基本能感觉出来：（1）常数T；（2）T≠0；（3）“对定义域中任意的x都能使f（x＋T）＝f（x）成立”的“任意”两个字是关键字。此时教师进行讲解，此时学生是带着问题在听的。教师呢，通过3个实例来加强学生的理解。

例1.函数f（x）＝x²是周期函数吗？为什么？（解决T为常数和T≠0）

例2.函数f（x）＝c（c为常数）是周期函数吗？为什么？（解决最小正周期）

例3.sin＝sin能否成立？若能成立，那么是不是y＝sin　x的周期？为什么？（解决定义中的“任意”的问题）

通过以上3个问题的解决，学生们对周期性定义中最关键的几个问题已经加以了解决。

最后再一次让学生自己阅读整个概念，此时他的阅读是在修正他第一次阅读时一些不甚明了的地方。这种方法适用面还是很广的，像曲线与方程的第一节概念课、集合中某些概念的教学都可以这样加以解决。现在，我们的教学目的中还有这样一个环节，就是为了培养学生养成终身学习的习惯。这种主动性阅读能提高学生的数学素养，培养学生的思维品质，为学生的可持续发展打下一个扎实的基础。

在运用上述方法上数学概念课时，应注意避免以下几个误区：

误区1.“情境教学”是一种十分美好而又特殊的教学手段：让原本枯燥、抽象的数学知识更生动、更富有趣味。但要注意的是，并不是每节课都能够创设情境，也不是每节课都需要创设情境，更不能为了创设情境而创设情境，生硬牵强的情境，不但不能让学生很好的掌握概念，反而会误导学生，影响学生对概念的掌握。对于一些难以创设情境的教学内容，采用开门见山的方式可能更好。

误区2.计算机多媒体辅助教学确实有它独特的优势，但是千万要注意不要变成打开电脑，关闭人脑。（1）程序预置，人机对话取代人际对话。多媒体的程序化，使数学课堂成为“放映厅”，上课时教师只需按部就班地按键就可以了。但它有前提，作为“观看者”的学生们的思路必须循着课件流程的思路。当过程稍有不畅，教师想作出改变则无法控制计算机以求与学生配合。数学课有其特殊性，在教学过程中，教师的板书有时候对学生来讲就是一个思考的过程。（2）制作哗众取宠，不讲实效。有些教师过度追求多媒体的界面美，可能反而达到相反的效果。学生都把注意力放到这些漂亮的画面上去了，而忽略了事物背后隐藏的数学本质。（3）小题大做或是课件代替小黑板。为使多媒体课件达到光影和谐的效果，需要营造比较柔和的环境，这就往往要在通光处拉上深色帘布等，让人很不舒服。未免使教学效果打了折扣。

误区3.让学生开口，让教师闭嘴。教师在课堂上多给学生提供充分从事数学活动的机会，课堂40分钟时间尽可能多留给学生，让学生自己去思考、去探索、去体验，但绝不能走极端。数学概念课有其特殊性，很多东西还是要通过教师的讲解与分析。

总之，课堂教学是一门科学，应该还原其科学的本原，绝不能舍本逐末，片面追求形式。我们必须在深入研究学生学习心理的基础上，不断调整自己的教学，培养学生的数学能力。