如前所述，齿轮的失效主要是指轮齿的失效。因此，齿轮传动的强度计算也主要是针对轮齿的。该计算是根据国家标准《渐开线圆柱齿轮承载能力计算方法》（GB／T 3480—1997）及《通用机械渐开线圆柱齿轮承载能力简化计算方法》（GB／T 10063—1988）进行的。
1.直齿圆柱齿轮传动的载荷计算
1）轮齿的受力分析
在对轮齿进行强度计算，以及设计轴和轴承等轴系零件时，都需要对轮齿进行受力分析。如图7－26所示，对一对外啮合标准直齿圆柱齿轮进行受力分析。当主动轮1逆时针方向转动时，通过两轮齿沿齿宽方向分布的作用力推动从动轮2顺时针方向转动。进行轮齿受力分析时，为便于计算，忽略摩擦力并将沿齿宽分布的作用力以作用在齿宽中点的集中力来代替。根据渐开线特性可知，两齿廓在节点P接触时，其法向作用力（即齿宽中点的集中力）Fn应沿啮合线N1N2方向。在分度圆上Fn沿圆周方向和半径方向分解为两个相互垂直的力：切于分度圆的圆周力Ft和指向轮心的径向力Fr。
图7－26 标准直齿圆柱齿轮受力分析
Ft、Fr与Fn的大小分别为
式中：T1——主动轮1上的转矩（N·mm），其计算式为
其中，P1为主动轮1传递的功率（kW），n1为主动轮1的转速（r／min），d1为主动轮1分度圆直径（mm），α为分度圆压力角，α＝20°。
作用在主动轮和从动轮上各对力的大小相等，方向相反。
各力的方向为：主动轮上的圆周力Ft1与主动轮转向相反，从动轮上的圆周力Ft2与从动轮转向相同；主、从动轮的径向力Fr1、Fr2分别指向主、从动轮轮心。
2）轮齿的计算载荷
上述作用于齿轮上的法向载荷Fn为理想状况下的名义载荷。实际上考虑到原动机的动力性能和工作载荷的不平稳、齿轮制造误差造成的附加动载荷、齿向载荷分布的不均匀以及齿间载荷分配的不均匀、齿轮相对于轴承的布置等诸多不利因素的影响，应引入一个系数K来加以修正。如齿轮所受的法向力可表达为
Fnc＝KFn
式中：Fnc——计算载荷；
K——载荷系数（见表7－9）。
表7－9 载荷系数K
注 对于斜齿轮，其圆周速度低、精度高、齿宽系数小，齿轮在两轴承间对称布置，取较小值；对于直齿轮，其圆周速度高、精度低、齿宽系数大，齿轮在两轴承间不对称布置，取较大值。
2.齿面接触疲劳强度计算
齿面疲劳点蚀是闭式软齿面齿轮传动的主要失效形式，而点蚀是由于传动过程中齿面受接触应力的反复作用而产生的，故与齿面接触应力大小有关。由弹性力学可知：图7－27所示两个宽度为b的圆柱体，在法向力Fn作用下相互压紧，接触处的最大接触应力σH（MPa）可用赫兹（Hertz）公式计算，即
图7－27 两圆柱体的接触应力
式中：Fn——两圆柱上的法向力（N）；
E1、E2——两圆柱体材料的弹性模量；
μ1、μ2——两圆柱体材料的泊松比；
ρ1、ρ2——两圆柱体的曲率半径（mm），“＋”号用于外接触，“－”号用于内接触；
b——接触宽度（mm）。
由式（7－24）可知，当两圆柱体的材料选定时，Fn和b均为一定值，接触应力σH大小取决于曲率半径ρ1和ρ2的大小。
因μ、E都与齿轮材料有关，令
式中：ZE——齿轮材料的弹性系数，其值见表7－10。将ZE代入式（7－24）得
表7－10 弹性系数ZE（单位：
）
注 计算ZE值时，钢、铁材料的泊松比μ＝0.3，钢的弹性系数ZE＝2.06×105MPa，铸铁的弹性系数ZE＝1.18×105MPa。
将式（7－25）应用于相啮合的一对齿廓（见图7－28）。当两相啮合的齿轮材料选定、作用于两齿廓的法向力Fn一定、齿轮宽度b一定时，齿廓上接触应力σH的大小取决于啮合点处的曲率半径ρ1、ρ2。由于节点P靠近齿根处，且为单齿对啮合，所以这一部位的接触应力较大。实践证明：齿面疲劳点蚀首先出现在节点附近靠近齿根部位上。因此选择在啮合处的节点P作为齿面接触应力的计算点。在节点P处，两个齿廓的曲率半径分别为
ρ1＝N1P＝d1 2 sinα ρ2＝N2P＝d2 2 sinα
令大、小齿轮的齿数比为u，即
，经整理可得
将式（7－26）代入式（7－25）并将
代入，得
对于标准齿轮，因α＝20°，令
ZH称为节点区域系数，代入式（7－27）得
图7－28 齿面接触应力
为计算方便，代入式（7－20），并考虑影响齿轮载荷的各种因素，引入载荷系数K，则根据强度条件可得标准直齿圆柱齿轮传动齿面接触疲劳强度的校核公式为
式中：σH——齿面接触应力（MPa）；
d1——小齿轮分度圆直径（mm）；
T1——小齿轮上的转矩（N·m）；
ZE——齿轮副材料接触应力影响的弹性系数（
），由表7－10查取。
“＋”“－”号分别用于外啮合与内啮合。
引入齿宽系数
，代入式（7－28），可得按齿面接触疲劳强度确定的小齿轮分度圆直径的设计公式为
式中：［σH］——齿轮材料的许用接触应力（MPa）；
“＋”“－”号分别用于外啮合与内啮合。
对于一对钢制标准齿轮，ZE＝189.8
，将其代入式（7－29），经整理后可得一对钢制齿轮齿面接触疲劳强度的应力校核公式：
设计公式为
应用上述公式时应注意以下几点：
（1）进行齿面接触疲劳强度计算时，接触处两轮齿面的接触应力σH1和σH2是相等的，但由于两轮的材料及齿面硬度不同，因此其许用接触应力［σH1］与［σH2］一般不同，计算时应取两者中较小值；
（2）齿轮的齿面接触疲劳强度与齿轮的直径或中心距的大小有关，即与模数m与齿数z的乘积有关，而与模数m的大小无关，当一对齿轮的材料、齿宽系数、齿数比一定时，由齿面接触疲劳强度所决定的承载能力仅与齿轮的直径或中心距有关。
3.齿根弯曲疲劳强度计算
不论是开式、闭式齿轮传动，轮齿均反复受弯曲应力作用，致使在弯曲强度较弱的齿根处发生疲劳折断，为此要计算齿根处的弯曲应力。
图7－29 齿根弯曲应力
计算轮齿齿根弯曲应力时，可将轮齿视为一宽度为齿宽的悬臂梁，如图7－29所示。其危险截面是与轮齿齿廓对称线成30°角的两直线与齿根过渡曲线相切点连线所形成的齿根截面。将作用于齿顶的法向力Fn沿其作用线移至作用线与轮齿对称线的交点处，且Fn与对称线的垂线所夹锐角为αF。
从理论上说，对于重合度ε＞1的齿轮传动，当一对齿轮的齿顶啮合时，相邻的另一对齿轮也在啮合中，理应由两对轮齿分担载荷。然而，由于制造、安装的误差，不能保证载荷由两对轮齿平均承担，故进行齿根弯曲疲劳强度计算时，仍假定全部载荷作用在一对轮齿上。
若不计摩擦力，Fn可分解为FncosαF和FnsinαF两个分力，其中：FncosαF在齿根危险截面上引起弯曲应力和切应力；FnsinαF引起压应力。与弯曲应力相比，切应力和压应力很小，可略去，故在计算轮齿齿根弯曲疲劳强度时只考虑弯曲应力的作用。
轮齿齿顶受载时，齿根危险截面上的弯曲应力σF为
式中：M——危险截面弯矩；
h F——弯曲力臂；
W——危险截面抗弯截面模数；
b——轮齿宽度；
s F——危险截面齿厚。
将式（7－33）中的法向力Fn用计算载荷
代替，同时分子、分母同除以模数m2，并引入应力集中和压应力对轮齿齿根弯曲疲劳强度影响的应力修正系数YSa，则得
令
YFa称为齿形系数，其值只与齿形有关，而与模数无关，对于标准齿轮则仅取决于齿数的多少。齿形系数YFa和应力修正系数YSa的值可由表7－11查取。
表7－11 齿形系数YFa与应力修正系数YSa
注 ①基准齿形的参数为α＝20°、h＊a＝1，c＊＝0.25、ρ＝0.38 m（m为齿轮模数）；
②对于内齿轮，当α＝20°、h＊a＝1、c＊＝0.25、ρ＝0.15 m时，YFa＝2.65、YSa＝2.65。
将YFa代入上述弯曲应力公式，得到轮齿齿根弯曲疲劳强度的校核公式：
式中：σF——齿根弯曲应力（MPa）；
［σF］——许用弯曲应力（MPa）；
m——模数。
其他参数含义及单位同前。
大、小齿轮轮齿上所受到的法向力Fn大小相等，但其齿形系数YFa1和YFa2、齿根弯曲应力σF1和σF2、两轮材料的许用弯曲应力［σF1］和［σF2］一般都不相等。故在弯曲疲劳强度校核时两轮轮齿应分别满足各自的强度条件，即
引入齿宽系数
，经整理，可将式（7－34）转换为按齿根弯曲疲劳强度确定齿轮模数m的设计公式，即
须说明，由于相啮合的一对齿轮的齿数和材料等不一定相同，为使大、小齿轮的齿根弯曲疲劳强度条件都能得到满足，在设计计算时，应将
和
中值较大者代入式（7－36）中进行计算。计算所得模数m应按表7－1取标准值。
4.齿轮的许用应力和主要参数的选择
1）许用应力
许用接触应力［σH］可按下式确定：
式中：σHlim——试验齿轮材料在持久寿命内失效概率为1％时的接触疲劳极限（MPa），由图7－30查取。对于材料为碳素钢并经调质的齿轮，硬度超过210HBS（硬度10HV可相当于1HBS）时，可将图线向右延伸；
许用弯曲应力［σF］可按下式确定：
式中：σFlim——试验齿轮材料在持久寿命内失效概率为1％时的弯曲疲劳极限（MPa），由图7－31查取，其值已计入应力集中的影响，对于受对称循环弯曲应力的齿轮，应将图中所查的值乘0.7；
SH——接触疲劳强度安全系数，对于一般可靠度取SH＝1.0～1.1，对于较高可靠度取SH＝1.25～1.30，对于高可靠度取SH＝1.5～1.6；
图7－30 齿轮的接触疲劳极限σHlim
图7－31 齿轮的弯曲疲劳极限σFlim
SF——弯曲疲劳强度安全系数，对于一般可靠度取SF＝1.0～1.1，对于较高可靠度取SF＝1.25～1.30，对于高可靠度取SF＝1.5～1.6；
KHN——接触疲劳强度寿命系数，由图7－32查取；
KFN——弯曲疲劳强度寿命系数，由图7－33查取。
图7－32 接触疲劳寿命系数
1—允许一定点蚀时经正火、调质或表面淬火的碳钢及渗碳钢，球墨铸铁；2—材料同1，不允许出现点蚀；3—调质后经气体氮化的碳钢，经气体氮化的氮化钢，灰铸铁；4—调质后经液体氮化的碳钢
图7－32和图7－33中的N为应力循环次数，N＝60njLh，其中：n为齿轮转速，单位为r／min；j为齿轮转一转时同侧齿面的啮合次数；Lh为齿轮的工作寿命，单位为h。
2）主要参数选择
（1）齿数比u 齿轮减速传动时，
（n1、n2分别为主、从动轮转速）；增速转动时，
。
对于单级闭式传动，一般取i≤5（直齿）或i≤7（斜齿）。传动比过大，则大、小齿轮的尺寸悬殊，会使传动的总体尺寸增大，且大、小齿轮强度差别大，不利于传动。所以，需要更大传动比时，可采用二级或二级以上的传动。
对于对传动比无严格要求的一般齿轮传动，实际传动比i允许有±（3％～5％）的误差。
（2）齿数z1和模数m 对于软齿面闭式齿轮传动，传动尺寸主要取决于接触疲劳强度，而弯曲疲劳强度往往比较富裕。这时，在传动尺寸不变并满足弯曲疲劳强度要求的前提下，取大一些的小齿轮齿数z1，以增大重合度ε，改善传动的平稳性，同时减少模数，降低齿高，使齿顶圆直径减小，进而使齿轮毛坯直径减小，从而使金属加工切削量减少，可节省制造费用。通常取z1≥20～40。对于硬齿面闭式传动，首先应取足够大的模数以保证齿根弯曲疲劳强度，为减小传动尺寸，其齿数一般可取z1＝17～25。
图7－33 弯曲疲劳寿命系数
1—碳钢经正火、调质，球墨铸铁；2—碳钢经表面淬火、渗碳；3—氮化钢经气体氮化处理，灰铸铁；4—碳钢经调质后液体氮化处理
对于开式传动，一般可取z1＝17～20。允许有少量根切时，z1可小至14。
模数m（mn为斜齿轮的法面模数）的最小允许值，应根据抗弯曲疲劳强度确定。对于减速器中的齿轮传动，通常可取m（mn）＝（0.007～0.02）a（a为中心距，单位为mm），载荷平稳、中心距大、软齿面齿轮传动取较小值，冲击载荷或过载大、中心距小、硬齿面齿轮传动取较大值。对于开式传动，取m（mn）＝0.2a左右。动力传动中，通常应使m（mn）不小于1.5mm，并应按表7－1取标准值。
（3）齿宽系数ψd及齿宽b 齿宽系数
选大值时，轮齿齿宽b增大，可减小两轮分度圆直径和中心距，进而减小传动装置的径向尺寸。又由齿轮的强度计算公式可知，轮齿愈宽，承载能力也愈高，因而轮齿不宜过窄；但增大齿宽又会使载荷沿齿宽分布更趋不均匀，故齿宽系数应取得适当。
对于一般齿轮传动，ψd可参照表7－12选取。
表7－12 齿宽系数ψd
对于标准圆柱齿轮减速器，齿宽系数亦可取
，a为中心距，ψa＝
。ψa的标准值分别为：0.2，0.25，0.3，0.4，0.5，0.6，0.8，1.0，1.2。对于一般用途的减速器，可取ψa＝0.4；开式齿轮传动由于精度低，齿宽系数可取得小些，ψa＝0.1～0.3。
对于多级齿轮减速器，由于转矩T从高速级向低速级递增，因此设计时应使低速级的齿宽系数比高速级的大些，以便协调各级的传动尺寸。
在圆柱齿轮减速器中，为了便于装配和调整，设计时通常使小齿轮的齿宽b1比大齿轮的齿宽b2大一些，常取b2＝b＝ψdd1，而b1＝b2＋（5～10）mm。
还应注意的是：何时用软齿面齿轮传动、何时用硬齿面齿轮传动，对此并无严格的规定，一般说来，在低速轻载和精度、强度要求不高、传动功率不大的情况下通常采用软齿面齿轮传动，而在高速重载和传动功率较大的场合通常采用硬齿面齿轮传动。
例7－3 试设计电动机驱动的带式运输机上单级直齿圆柱齿轮减速器中的齿轮。已知传递功率P1＝7.4kW，n1＝960r／min，传动比i＝4.2，齿轮单向转动，相对轴承对称布置，两班制，每年工作300天，使用期限为5年。
解 （1）选择齿轮材料精度等级及齿数。
①选择齿轮材料、热处理方法、齿面硬度。
考虑此对齿轮传递的功率不大，故大、小齿轮都采用软齿面。小齿轮选用40Cr钢，调质，齿面硬度为260HBS；大齿轮选用45钢，调质，齿面硬度为220 HBS。
②确定精度等级。按一般齿轮传动，选8级精度。
③确定齿数z1、z2。取小齿轮齿数z1＝30，则大齿轮齿数z2＝iz1＝4.2×30＝126。
（2）按齿面接触疲劳强度设计齿轮。
由式（7－32）知，设计公式为
①选择。载荷系数K。由表7－9，取K＝1.1。
②计算小齿轮传递扭矩：
③选取齿宽系数ψd。由表7－12，取ψd＝1。
④确定接触疲劳极限σHlim。由图7－30查得σHlim1＝710MPa，σHlim2＝560 MPa。
⑤计算许用接触应力［σH1］、［σH2］。
由式（7－37）知，［
。
由式N＝60njLh求得两轮的应力循环次数分别为
由图7－32查得，KHN1＝0.91，KHN2＝0.97。
按一般可靠度取安全系数SH＝1，则两轮的许用接触应力分别为
⑥计算小齿轮分度圆直径d1：
（3）确定齿轮传动主要参数及几何尺寸。
①求模数m：
按表7－1取标准值，得m＝2mm。
②求分度圆直径d1、d2：
d1＝mz1＝2×30mm＝60mm，d2＝mz2＝2×126mm＝252mm
③求传动中心距a：
④求齿宽b1、b2：
b＝ψdd1＝1×60mm＝60mm
取b2＝60mm，b1＝65mm。
（4）校核齿根弯曲疲劳强度。
①确定弯曲疲劳极限应力σFlim。由图7－31，取
σFlim1＝290MPa， σFlim2＝220MPa
②求许用弯曲应力［σF］。由图7－33查得，KFN1＝0.87，KFN2＝0.9。按一般可靠度取安全系数SF＝1.25。由式（7－38）知两轮的许用弯曲应力分别为
③确定齿形系数YFa和应力修正系数YSa。由表7－11查得：YFa1＝2.52，YFa2＝2.16；YSa1＝1.625，YSa2＝1.81。
④校核齿根弯曲疲劳强度。由式（7－35）得：
故σF1＜［σF1］，σF2＜［σF2］，安全可用。
（5）验算齿轮圆周速度v：
由表7－7知，齿轮传动选择8级精度合适。
（6）计算齿轮几何尺寸并绘制齿轮工作图（略）。
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