荷载的组合

2　地下结构的荷载计算

本章导读:

●内容　地下结构的荷载分类及其组合;岩土体压力的概念及其计算理论;结构弹性抗力的概念及其计算理论;地下结构的计算方法。

●基本要求 了解地下结构的荷载种类及其组合,了解结构弹性抗力的概念和计算理论,掌握常见荷载的计算方法和地下结构基本的计算方法。

●重点　地下结构常见荷载的计算理论与地下结构基本的计算方法。

●难点　地下结构常见荷载的计算理论与地下结构基本的计算方法。

2.1　地下结构荷载的分类和组合

2.1.1　荷载的分类

地下结构与地面结构一样,也属于一种结构体系,进行结构设计时首先需要确定荷载。由于地下结构的赋存环境、力学机理及功能要求与地面结构相比差异较大,因此地下结构所受的荷载也不同。

地下结构所承受的荷载,按其作用特点及使用中可能出现的情况分为以下三大类,即永久荷载、可变荷载和偶然荷载。

(1)永久荷载

永久荷载即长期作用的恒载,主要包括结构自重、回填土层自重、围岩压力、弹性抗力、静水压力(含浮力)、混凝土收缩和徐变能力、预加应力及设备自重等。围岩压力和结构自重是衬砌承受的主要静荷载,弹性抗力是地下结构所特有的一种被动荷载。

(2)可变荷载

可变荷载又分为基本可变荷载和其他可变荷载两类。基本可变荷载即长期的、经常作用的变化荷载,如吊车荷载,设备总重,地下储油库的油压力,车辆、人群荷载等;其他可变荷载即非经常作用的变化荷载,如温度变化、施工荷载(施工机具,盾构千斤顶推力,注浆压力)等。

(3)偶然荷载

偶然荷载是指偶然发生的荷载,如地震力或战时发生的武器爆炸冲击动荷载。

对于一个特定的地下结构,上述几种荷载不一定同时存在,设计中应根据荷载实际可能出现的情况进行组合。所谓荷载组合,是指将可能同时出现在地下结构上的荷载进行编组,取其最不利组合作为设计荷载,以最危险截面中最大内力值作为设计依据。

根据我国相关规范,地下结构所受的荷载分为永久、可变及偶然荷载,见表2.1。

表2.1　荷载的分类

注:编号1～10为主要荷载;编号11、12、14为附加荷载;编号13、15为特殊荷载。设计隧道结构时,按其可能出现的最不利情况组合。

2.1.2　荷载的组合

荷载组合是荷载效应组合的简称,指各类构件设计时不同极限状态所应取用的各种荷载及其相应的代表值的组合,应根据使用过程中可能同时出现的荷载进行统计组合,取其最不利情况进行设计。

以往对荷载组合主要是凭借工程设计经验,采用能被工程界广泛接受的荷载组合系数来表达。近年来,在荷载统计分析研究方面由于引用了随机过程作为可变荷载的概率模型,使荷载随时间而变异的客观现实逐渐得到反映,从而有可能在基于概率理论的基础上提出荷载组合的各种实用方法,但完善的理论还有待发展。

根据各种荷载的重要性,荷载的组合分为六类(组合Ⅰ～Ⅵ):

组合Ⅰ:基本可变荷载(平板挂车或履带车除外)的一种或几种,与永久荷载的一种或几种相组合。

组合Ⅱ:基本可变荷载(平板挂车或履带车除外)的一种或几种,与永久荷载的一种或几种和其他可变荷载的一种或几种相组合。

组合Ⅲ:平板挂车或履带车,与结构自重、预加应力、土的重力及土侧压力的一种或几种相组合。

组合Ⅳ:基本可变荷载(平板挂车或履带车除外)的一种或几种,与永久荷载的一种或几种和偶然荷载中的船只或漂流物的撞击力相组合。

组合Ⅴ:桥涵在进行施工阶段的验算时,根据可能出现的施工荷载(如结构重力、脚手架、材料机具、人群、风力以及拱桥的单向推力等)进行组合;构件在吊装时,其自重应乘以动力系数1.2或0.85,并可视构件具体情况适当增减。

组合Ⅵ:结构重力、预加应力、土重及土侧压力中的一种或几种与地震力相组合。

2.2　岩土体压力的计算理论

荷载的确定是工程结构计算的先决条件。地下建筑结构上所承受的荷载主要有结构自重、地层压力、地下水静水压力及其他使用荷载等。对于兼作上部建筑基础的地下结构,上部建筑传下来的垂直荷载也是必须考虑的主要荷载。另外还可能受到一些附加荷载,如灌浆压力、施工荷载、温度变化或混凝土收缩引起的温度应力和收缩应力;有时还需要考虑偶然发生的特殊荷载,如地震作用和爆炸作用。上述这些荷载中,有些荷载虽然对地下结构的设计和计算影响很大(如上部建筑自重),但计算方法比较简单明确;有些荷载(如温度和收缩应力)虽然分析计算比较复杂,但对地下结构的安全并不起控制作用。

作用于地下建筑结构的地层压力包括竖向压力和水平压力。地层压力(包括土压力和围岩压力)对大多数地下工程而言,是至关重要的荷载。一是因为地层压力往往成为地下结构设计计算的控制因素;二是因为地层压力计算的复杂性和不确定性,使得岩土工程师对其不敢掉以轻心。

2.2.1　土压力的计算

土压力是土与挡土结构之间相互作用的结果,它与结构的变位有着密切关系。以挡土墙为例,作用在挡土墙墙背上的土压力可以分为静止土压力、主动土压力和被动土压力三种。其中,主动土压力值最小,被动土压力值最大,而静止土压力值介于两者之间,它们与墙的位移关系如图2.1所示:

如果墙的刚度很大,墙身不产生任何移动或转动,这时墙后土对墙背所产生的土压力称为静止土压力,此时土体内相应的应力状态称为弹性平衡状态。

如果刚性墙身受墙后土的作用绕墙背底部向外转动或平行移动[图2.2(a)],作用在墙背上的土压力从静止土压力值逐渐减小,直到土体内出现滑动面,滑动面以上的土体(滑动楔体)将沿着这一滑动面向下向前滑动。在这个滑动楔体即将发生滑动的一瞬间,作用在墙背上土压力减小到最小值,称为主动土压力,此时土体内相应的应力状态称为主动极限平衡状态。相反,如墙身受外力作用[图2.2(b)]而挤压墙后的填土,则土压力从静止土压力逐渐增大,直到土体内出现滑动面,滑动楔体将沿着某一滑动面向上向后推出,发生破坏。在这一瞬间作用在墙背上的土压力增加到最大值,称为被动土压力,此时土体内相应的应力状态称为被动极限平衡状态。

图2.1　墙身位移与土压力关系

图2.2　土体极限平衡状态

土压力的精确计算是相当困难和复杂的,在引入一定的简化假定后,可以计算得到两种极限平衡状态下的土压力值。现在工程界常用的库伦(Coulomb)土压力理论和郎肯(Rankine)土压力理论是从属于荷载-结构法的理论体系。所谓荷载-结构法,即为已知外荷载前提下进行结构内力分析和截面计算的方法。这里的结构是指隧道的衬砌结构、挡土的支护结构等。所谓荷载,主要为地层压力,当然还包括其他荷载,在已知外荷载的前提下,用结构力学的方法分析结构的内力,并以此进行截面配筋或截面验算。显然这一计算方法与计算地面结构时所习惯采用的方法相一致。然而,作为土层地下结构上最主要的荷载-土压力是变化的,是不确定的。用荷载-结构法的思想,把土压力看作与结构无关的和不变的荷载,这是一种近似的解法。

随着计算机技术的发展和计算手段的改进,矩阵位移法、有限元法等数值计算方法得到了长足的发展,地下工程的计算理论也从原先的荷载-结构法向前迈了一大步,进入了地层-结构法理论阶段。地层-结构法与荷载-结构法不同,它不仅仅把地层看成荷载,而是把地层作为结构的一部分,地层本身也能承受一部分荷载。地下结构安全与否,不仅取决于结构本身的承载能力和刚度,而且还与地下结构周围地层的稳定情况有关。作用于地下结构上的地层压力,与结构-地层之间的相对刚度有关。例如在黄土高原地区,开挖隧洞后即使不做衬砌,洞室也不一定会倒塌。如果施筑衬砌结构,作用于衬砌结构上的土层压力一定也是很小的,这说明土层本身具有自承能力。

软土地区浅埋的地下工程,作用于结构上的竖向土压力的计算是比较容易的,可采用“土柱理论”计算。竖向土压力即为结构顶盖上整个土柱产生的全部重力。

1)静止土压力

计算静止土压力一般采用弹性理论,它也可以称为经典理论。当挡土结构在土压力作用下,结构不发生变形和任何位移(移动或转动)时,背后填土处于弹性平衡状态,则作用于结构上的侧向土压力称为静止土压力,并用P0表示。

静止土压力可根据半无限弹性体的应力状态求解。图2.3中,在填土表面以下任意深度z 处M点取一单元体(在M点附近一微小正方体),作用于单元体上的力如图2.3所示,其中竖向土的自重应力为σc,其值等于土柱的质量。

图2.3　静止土压力计算图式

另一个是侧向压应力,填土受到挡土墙的阻挡而不能侧向移动,这时土体对墙体的作用力就是静止土压力。半无限弹性体在无侧移的条件下,其侧向压力与竖直方向压力之间的关系为:

静止土压力系数K0与土的种类有关,而同一种土的K0还与其孔隙比、含水量、加压条件、压缩程度有关。工程中通常不是用土的泊松比来确定土压力系数的,而是根据经验直接给出它的值。如可取黏土K0= 0.5～0.7;砂土K0= 0.34～0.45。也可根据经验公式计算:

土的有效摩擦角应由三轴固结不排水剪切试验测定,在无条件试验时也可由下列经验公式计算:

墙后填土表面为水平时,静止土压力按三角形分布,静止土压力由式(2.6)计算可得,合力作用点位于距墙踵h/3处。

式(2.1)～式(2.6)适用于正常固结土。如果属超固结土时,侧向静止土压力会增加,静止土压力可按以下半经验公式估算:

2)库伦土压力理论

(1)库伦理论的基本假定

库伦理论是由法国科学家库伦(Coulomb,C.A.)于1776年提出的,主要是针对挡土墙的计算,其计算的基本假定为:

①挡土墙后土体为均质各向同性的无黏性土。

②挡土墙是刚性的且长度很长,属平面应变问题。

③挡土墙后土体产生主动土压力或被动土压力时,土体形成滑动楔体,滑裂面通过墙踵的平面。

④墙顶处土体表面可以是水平面,也可以为倾斜面,倾斜面与水平面的夹角为β角。

⑤在滑动面BC和墙背面AB上的切向力分别满足极限平衡条件,即:

(2)库伦理论的土压力计算方式

当土体滑动楔体处于极限平衡状态时,应用静力平衡条件,不难得到作用于挡土墙上的主动土压力P a和被动土压力P p的计算式为:

是θ的函数,所以P a和P p都是θ的函数。随着θ的变化,其主动土压力必然产生在使P a为最大的滑楔面上;而被动土压力必然产生在使P p为最小的滑裂面上。由此,将P a、P p分别对θ求导,可求出最危险的滑裂面,即可得到库伦主动与被动土压力:

库伦主动土压力系数K a和被动土压力系数K p均为几何参数和土层物性参数α、β、φ和δ的函数。

库伦土压力的方向均与墙背法线成δ角,但必须注意主动与被动土压力与法线所成的δ角方向相反,如图2.4所示。作用点在没有地面超载的情况时,均为离墙踵h/3处。

图2.4　库伦土压力计算图式

当墙顶的土体表面作用有分布荷载q,如图2.5所示,则滑楔自重部分应增加地面超载项。即:

引入系数K q,使式(2.15)简化后,写成与式(2.10)相似的形式:

同样,根据静力平衡条件,可导出考虑了地面超载后的主动和被动土压力:

其土压力的方向仍与墙背法线成δ角。由于土压力呈梯形分布,因此作用点位于梯形的形心,离墙踵高为:

式中 p a,p b——分别为墙顶与墙踵处的土压力强度值。

图2.5　具有地表分布荷载的情况

(3)黏性土中等效内摩擦角

库伦土压力理论是根据无黏性土的情况导出的,没有考虑黏性土的粘聚力c。因此,当挡土墙结构处于黏性土层时,应该考虑粘聚力的有利影响。在工程实践中可采用换算的等效内摩擦角φD来进行计算,如图2.6所示。采用等效内摩擦角的方法,实际上是通过提高内摩擦角值来考虑粘聚力的有利影响。

等效内摩擦角的换算方法有多种。有人根据经验提出,当粘聚力每增加10 kPa时,内摩擦角可提高3°～7°,平均提高5°。另外,也可以根据土的抗剪强度相等的原则进行换算:

除此之外,又可借助郎肯土压力理论进行换算,按郎肯理论同时考虑c、φ值得到的土压力值要和已换算成等效内摩擦角φD后得到的土压力值相等,推算得到等效内摩擦角φD,即:

由式(2.22)可得等效内摩擦角为:

上述三种换算方法得到的等效内摩擦角互不相同,且每种换算方法都有其缺点。从图2.6也可看出,按换算后的等效内摩擦角计算,其强度值只有一点与原曲线相重合。而在该点之前,强度偏低;该点之后,强度偏高,从而造成低墙保守、高墙危险的结果。因此,对于黏性土的库伦土压力计算可以不用等效内摩擦角的方法,而改用黏性土库伦主动土压力公式直接计算。

(4)黏性土库伦主动土压力公式

我国《建筑地基基础设计规范》的方法是库伦理论的一种改进,它考虑了土的粘聚力作用,可适用于填土表面为一倾斜平面,其上作用有均布超载q的一般情况。

图2.6　等效内摩擦角

如图2.7所示,挡土墙在主动土压力作用下,离开填土向前位移达一定数值时,墙后填土将产生滑裂面BC而破坏,破坏瞬间滑动楔体处于极限平衡状态。这时作用在滑动楔体ABC上的力有:楔体自重G及填土表面上均布超载q的合力F,其方向竖直向下;滑裂面BC上的反力R,其作用方向与BC平面法线顺时针成φ角;在滑裂面BC上还有粘聚力cL BC,其方向与楔体下滑方向相反;墙背AB对楔体的反力E p,作用方向与墙法线逆时针成δ角。仿库伦土压力公式推导过程,可求得地基基础规范推荐的主动土压力计算公式如下:

图2.7　考虑了粘聚力的计算图式

按式(2.24)计算主动土压力时,破裂面与水平的倾角为:

3)郎肯土压力理论

郎肯土压力理论由英国科学家郎肯(Rankine)于1857年提出。郎肯理论的基本假定为:

①挡土墙背竖直,墙面为光滑,不计墙面和土层之间的摩擦力。

②挡土墙后填土的表面为水平面,土体向下和沿水平方向都能伸展到无穷,即半无限空间。

③挡土墙后填土处于极限平衡状态。

郎肯理论是从弹性半空间的应力状态出发,由土的极限平衡理论导出。在弹性均质的半空间中,离开地表面深度为z处的任一点的竖向应力和水平应力分别为:

σz=γz　(2.30)

σx= k0σz　(2.31)

如果在弹性均质空间体中,插入一竖直且光滑的墙面,由于它既无摩擦又无位移,则不会影响土中原来的应力状态,如图2.8(b)所示。此时式(2.30)和式(2.31)仍然适用于计算墙面处土体的垂直应力和水平应力,这时式中的σx即为静止土压力值。在非超固结的一般情况下,侧压系数k0小于1.0,也即σz＞σx。所以竖向应力σz为最大主应力,侧向水平应力σx为最小主应力。在摩尔应力圆中处于弹性平衡状态,见图2.8(d)中圆Ⅱ。

当墙面向左移动[图2.8(a)],则将使右半边土体处于伸展状态,作用于墙背的土压力逐渐减小,摩尔应力圆逐渐扩大而达到极限平衡,土体进入郎肯主动土压力状态。这时图2.8(d)中摩尔圆Ⅰ与土的抗剪强度包线相切。这时作用于墙背的侧向土压力σx小于初始的静止土压力,更小于竖向土压力σz,而成为最小主应力p a。竖向土压力σz为最大主应力,其值仍可由式(2.30)计算得到。墙后的土体产生剪切破坏,其剪切破坏面与水平面的夹角为。

图2.8　郎肯极限平衡状态

同样,当墙面向右移动[图2.8(c)],则将使右半边土体处于挤压状态,作用于墙背的土压力增加,开始进入郎肯被动土压力状态。对应于图2.8(d)中摩尔圆Ⅲ与土的抗剪强度包线相切,这时作用于墙背的侧向土压力σx超过竖向土压力σz,而成为最大主应力p p。而竖向土压力σz则变成最小主应力。墙后土体的剪切破坏与水平的夹角为。

根据土体的极限平衡条件,并参照摩尔圆的相互关系,不难得到:

将式(2.33)改写成最大主应力和最小主应力的关系式:

式中 τ——土体某一斜面的剪应力;

在郎肯主动土压力状态下,最大主应力为竖向土压力σ1=γz,最小主应力即为主动土压力。将σ3= p a代入式(2.35)可得:

同理,在郎肯被动土压力状态时,最大主应力为被动土压力,σ1= p p,而最小主应力为竖向压力,σ3=σz=γz,代入式(2.34)可得:

引入主动土压力系数K a和被动土压力系数K p,并令:

将式(2.37)和式(2.38)分别代入式[2.36(a)]和式[2.36(b)]可得:

由式[2.36(a)]可知,黏性土的主动土压力强度包括两部分,前一项为土自重引起的使侧向土压力减小的“负”侧压力。

在主动状态,当时,则p a≤0,为拉力。若不考虑墙背与土体之间有拉应力存在的可能,则可求得墙背上总的主动土压力为:

如挡土墙为成层土层,仍可按式(2.39)计算主动土压力。但应注意在土层分界面上,由于两层土的抗剪强度指标不同,使土压力的分布有突变(图2.9)。其计算方法如下:

其余符号意义如图2.9所示。

如图2.10所示,挡土墙土表面作用着连续均布荷载q时,计算时可以将在深度z处竖向应力σz增加一个q值,将式(2.39)和式(2.40)中的γz代之以(γz+ q),就能得到填土表面超载时

图2.9　成土的主动土压力计算

图2.10　填土上有超载时主动土压力计算

主应力土压力计算公式(黏性土):

式中 q——地面超载。

当无固定超载时,考虑到随时发生的施工堆载、车辆行驶动载(如基坑等)等因素,一般可取均布荷载q=10～20 kPa。

土压力水平作用点离墙踵的高度为:

在被动状态,土压力呈梯形分布,其总的被动土压力为:

土压力的水平作用点为梯形形心,离墙踵高为:

在郎肯土压力计算理论中,假定墙背是垂直光滑的,填土表面为水平。因此,与实际情况有一定的出入。由于墙背摩擦角φ= 0,则将使计算土压力p a偏大,而p p偏小。

4)特殊情况下的土压力

特殊情况下的土压力主要包括分层土的土压力计算、不同地面超载作用下的土压力计算和考虑地下水时水土压力计算,这些土压力计算理论限于篇幅,可参考相关的教材进行计算。

2.2.2 侧向岩石压力的计算

由于岩石存在结构面,其特性与土相比差别较大。侧向岩石压力应根据实际情况简化为下列几种情形进行计算:

(1)静止岩石压力标准值

(2)沿外倾结构面滑动的主动岩石压力计算

对沿外倾结构面滑动的边坡,如图2.11所示,其主动岩石压力合力标准值可按下式计算:

当有多组外倾结构面时,侧向岩压力应计算每组结构面的主动岩石压力并取其大值。

(3)沿缓倾的外倾软弱结构面滑动的主动岩石压力计算

对沿缓倾的外倾软弱结构面滑动的边坡,如图2.12所示,主动岩石压力合力标准值可按下式计算:

φs——外倾软弱结构面内摩擦角。

图2.11　有外倾结构面的侧向岩石压力计算　

图2.12　岩质边坡四边形滑裂时侧向岩石压力计算

(4)侧向岩石压力和破裂角计算

侧向岩石压力和破裂角计算应符合下列规定:

①对无外倾结构面的岩质边坡,以岩体等效内摩擦角按侧向土压力方法计算侧向岩压力;破裂角按确定,Ⅰ类岩体边坡可取75°左右;

②当有外倾硬性结构面时,侧向岩压力应分别以外倾硬性结构面的参数以岩体等效内摩擦角按侧向土压力方法计算;除Ⅰ类边坡岩体外,破裂角取外倾结构面倾角和两者中的较小值;

③当边坡沿外倾软弱结构面破坏时,破裂角取该外倾结构面的视倾角和两者中的较小者,同时应按本节(1)和(2)点进行验算。

2.2.3　地下洞室围岩压力的计算

1)围岩压力及其影响因素

(1)围岩压力的概念

洞室开挖之前,地层中的岩体处于复杂的原始应力平衡状态。洞室开挖之后,围岩中的原始应力平衡状态遭到破坏,应力重新分布,从而使围岩产生变形。当变形发展到岩体极限变形时,岩体就产生破坏。如在围岩发生变形时及时进行衬砌或围护,阻止围岩继续变形,防止围岩塌落,则围岩对衬砌结构就要产生压力,即所谓的围岩压力。所以围岩压力就是指位于地下结构周围变形或破坏的岩层,作用在衬砌结构或支撑结构上的压力。它是作用在地下结构的主要荷载。

围岩压力可分为围岩垂直压力、围岩水平压力及围岩底部压力。对于一般水平洞室,围岩垂直压力是主要的,也是围岩压力中研究的主要内容。在坚硬岩层中,围岩水平压力较小,可忽略不计,但在松软岩层中应考虑围岩水平压力的作用。围岩底部压力是自下而上作用在衬砌结构底板上的压力,它产生的主要原因是某处底层遇水后膨胀,如石膏、页岩等,或是由边墙底部压力使底部底层向洞室里面突起所致。

(2)影响围岩压力的因素

影响围岩压力的因素很多,主要与岩体的结构、岩石的强度、地下水的作用、洞室的尺寸与形状、支护的类型和刚度、施工方法、洞室的埋置深度和支护时间等因素相关。其中,岩体稳定性的关键之一在于岩体结构面的类型和特征。

2)围岩压力的计算方法

(1)按松散体理论计算围岩压力

按松散体理论计算围岩压力是从20世纪初开始的。由于考虑到岩体裂隙和节理的存在,岩体被切割为互不联系的独立块体。因此,可以把岩体假定为松散体。但是,被各种软弱面切割而成的岩体结合体与真正理论上的松散体也并不完全相同,这就需要将真正的岩体代之以某种具有一定特性的特殊松散体,以便对这种特殊的松散体采用与理想松散体完全相同的计算方法。

理想松散体颗粒间抗剪强度为:

τ=σ·tanφ　　　　　　(2.51)

而在有粘聚力的岩体中抗剪强度为:

τ=σ·tanφ+ c　　　　　　(2.52)

式中　φ——内摩擦角;

　　　σ——剪切面上的法向应力;

　　　c——岩体颗粒间的粘聚力。

改写式(2.76)为:

比较式(2.78)与式(2.75),二者在形式上是完全相同的。因此,对于具有一定粘聚力的岩体,同样可以当做完全松散体对待,只需以具有粘聚力岩体的代替完全松散体的tanφ就行了。

①深浅埋地下结构临界高度的计算。浅埋和深埋地下结构的分界,按荷载等效高度值,并结合地质条件、施工方法等因素综合判定。按荷载等效高度的判定公式为

在矿山法施工的条件下,Ⅳ～Ⅵ级围岩取

H p= 2.5h q (2.59)

Ⅰ～Ⅲ级围岩取

H p= 2h q (2.60)

②浅埋地下结构围岩压力计算:

a.埋深H≤等效荷载高度h q时,有:

●垂直围岩压力。垂直围岩压力计算公式为:

●水平围岩压力。侧向压力e按均布考虑时其值为:

b.等效荷载高度h q＜埋深H≤深浅埋临界高度H q时,为了便于计算,假定土体中形成的破裂面是一条与水平成β角的斜直线,如图2.13(a)所示。EFGH岩土体下沉,带动两侧三棱土体(如图2.13中FDB和ECA)下沉,整个土体ABDC下沉时,又要受到未扰动岩土体的阻力;斜直线AC或BD是假定的破裂面,分析时考虑内聚力c,并采用了计算摩擦角φ;另一滑面FH或EG则并非破裂面,因此,滑面阻力要小于破裂面的阻力。若该滑面的摩擦角为θ,则θ值应小于φ 值,无实测资料时,θ可按表2.2采用。

表2.2　各级围岩的θ值

由图2.13(a)可见,地下结构上覆岩体EFGH的重力为W,两侧三棱岩体FDB或ECA的重力为W1,未扰动岩体整个滑动土体的阻力为F,当EFGH下沉,两侧受到阻力T或T′,作用于HG面上的垂直压力总值Q浅为

Q浅= W- 2T′= W- 2T sinθ　(2.63)

由图2.13(b)可见,三棱体自重为

图2.13　围岩压力计算图

由图2.13(c)据正弦定理可得

其他符号意义同前。

至此,极限最大阻力T值可求得。得到T值后,可求得作用在HG面上的总垂直压力Q浅。

Q浅= W- 2T sinθ= W-γh2λtanθ　(2.67)

由于GC、HD与EG、EF相比往往较小,而且衬砌与土之间的摩擦角也不同,前面分析时按θ计,当中间土块下滑时,由FH及EG面传递,考虑压力稍大些对设计的结构也偏于安全,因此,摩阻力不计隧道部分而只计洞顶部分,即在计算中用H代替h,则有:

Q浅= W-γH2λtanθ　(2.68)

由于W=B t Hλ,故

Q浅=γH(B t- Hλtanθ)　(2.69)

式中 B t——隧道宽度,m。

换算为作用在支护结构上的均布荷载(图2.14),即垂直围岩压力为:

式中 q浅——作用在支护结构上的均布荷载,kN/m2;

其他符号意义同前。

作用在地下结构两侧的水平侧压力如图2.14所示,其值为

图2.14　围岩压力分布示意图

侧压力视为均布压力时,其值为

③深埋地下结构围岩压力计算。当地下结构的埋深H>深浅埋临界高度H q时,即为深埋结构。由于深埋结构的埋深大到这样一种程度,以致两侧摩擦阻力远远超过了滑移柱受到的重力。因而不存在任何偶然因素能破坏岩石柱的整体稳定性。深埋结构的围岩压力是研究地下洞室上方一个局部范围内的压力现象。如图2.15所示,由于深埋结构的特点,保障了ABCD部分岩体的稳定性,这部分岩体称为岩石拱。由于它有将压力卸于两侧岩体的作用,所以又叫卸荷拱。此时,只有AED以下岩体质量对结构产生压力,因而称此为压力拱。

a.垂直围岩压力计算:

图2.15　深埋结构上的围岩压力计算图

●压力拱的曲线形状。压力拱能够自然稳定而平衡,它将是一个合理拱轴,其上任何一点是无力矩的。忽略由于压力拱曲线本身形状造成岩体质量的不均匀性。

假定拱轴线受有均布荷载,集度为q,如图2.16所示。根据压力拱轴线各点无力矩的理论,可建立如下方程:

可见,压力拱为二次抛物线曲线。

●压力拱高度。由图2.16可知,平衡拱顶推力H的力是拱脚处的水平反力T,当T≥H 时,压力拱可以保持稳定,而T是由q形成的摩擦力提供的,q在拱脚形成的全部垂直反力为:

由A所形成的水平摩擦力为:

当T=H时,压力拱处于极限平衡状态,这时压力拱的方程为:

图2.16 计算简图

如果考虑压力拱存在的安全性,可以认为=H,而拱脚只用存在的水平抗力之半平衡拱顶水平推力,代入式(2.77)中可得出具有相当安全系数为2的压力拱方程:

当x= a1时,由式(2.78)可求出压力拱高度:

式中 h1——压力拱高度。

式(2.79)就是从20世纪初开始应用的计算地下结构围岩压力的一个古老公式,称为普氏公式。

压力拱曲线上任何一点的高度为:

因此,当地下结构上方具有足够厚度的覆盖层时,由于卸荷拱起到将岩体重量转嫁给洞室两侧的作用,所以只有压力拱内的岩体重力作用在结构上。

在地下结构设计中,常忽略压力拱曲线所造成的荷载集度的差别,垂直围岩压力取均布形式,并按h1计算,即:

由式(2.79)可看出, f k是表征岩体属性的一个重要的物理量,它决定岩体性质对压力拱高度的影响, f k值越大,则岩体抵抗各种破坏(如冲击、爆破、开挖等)的能力就强。它的数值可以表示为:

对松散土体: f k= tanφ

由于岩体结构极为复杂,同种岩体也因裂隙、层理、节理发育状况不同,表现出对各种破坏抵抗能力的不同, f k值需结合现场、综合各种地质实际由经验判定。

b.水平围岩压力计算。

地下结构上作用着垂直围岩压力和水平围岩压力,垂直围岩压力的计算已如前述。一般来说,垂直围岩压力是地下结构所不可忽视的荷载,而水平围岩压力只是对较松软的岩层(f k≤2 时)才考虑。

地下结构的侧墙像挡土墙一样承受着围岩的水平压力。因此,为计算水平围岩压力,可首先计算出该点的垂直围岩压力集度,而后乘以侧压力系数即得水平围岩压力集度。所以任一深度z处的水平围岩压力集度为:

水平围岩压力沿深度呈三角形分布。如果沿结构深度上岩体由多层组成,则必须分层计算各层的水平围岩压力。

(2)按弹塑性体理论计算围岩压力

如图2.17所示,表示地下圆形洞室周围所出现的各种变形区域。假定R为非弹性变形区的半径,而以半径为无穷大(与a相比相当大)划定一个范围,则在这个范围的边界上作用着静水压力p,而在半径为R的边界上作用着应力σR。这时,弹性区中的应力可根据弹性理论中厚壁圆筒的解答描述,即:

图2.17　弹塑性模型计算围岩压力图式

而非弹性变区中的应力根据弹塑性理论解答为:

在弹性区与非弹性区的交界面上,应力σθ、σr既满足非弹性变形区中的应力方程式(2.85),也满足弹性变形区中的应力方程式(2.83)。

对于非弹性变形区,由式(2.84)得:

对弹性区而言,由式(2.83)可得:

在弹性区和非弹性区的交界上,即r=R,应力状态应是定值,因此,式(2.85)与式(2.86)应相等,于是:

由此,

也可以改写为:

式中符号意义同前。

式(2.89)就是著名的修正了的芬纳公式。它表示当岩体性质、埋深等确定的情况下,非弹性变形区大小与支护对围岩提供的反力间的关系。

(3)按围岩分级和经验公式确定围岩压力

根据理论分析和工程实践,围岩压力的性质、大小、分布规律等与许多因素有关,这些因素包括地质构造、岩体结构特征、地下水情况、初始应力状态、洞室形状和大小、支护手段以及施工方法等。由于影响因素多,围岩压力的确定便成了一个十分复杂的问题。前面介绍的按松散体理论和弹塑性理论确定围岩压力的方法,都是根据对岩体进行某种假定加以抽象简化而提出来的,其适用范围均有一定局限性。为了更好地解决各种实际压力计算问题,人们又提出了由工程类比得出的经济公式和数据,从而对围岩压力进行估计。

①围岩垂直压力的综合经验公式为:

其中,围岩压力系数之值按以下采取:

●Ⅰ级围岩:K=0;

●Ⅱ级围岩:K=0.05～0.10(忽略H/2影响,对于Ⅱ级围岩,当隧道宽度B t＜10 m时,可取K=0);

●Ⅲ级围岩:K=0.10～0.20(对于Ⅲ级围岩,当隧道宽度B t＜4 m时,K=0);

●Ⅳ级围岩:K=0.30～0.40;

●Ⅴ级围岩:K≥0.55。

②水平围岩压力为:

λ——侧压力系数。

其中,侧压力系数之值按以下采取:

●Ⅰ～Ⅱ级围岩:λ= 0;

●Ⅲ级围岩:对于Ⅲ级,λ= 0～0.15,对于Ⅲ2、Ⅲ3级,λ≥0.15～0.25;

●Ⅳ级围岩:λ≥0.25～0.40;

●Ⅴ级围岩:λ≥0.40。

③适用范围如下:

a.上述经验公式适用于深埋情况下地下结构上的围岩压力,浅埋情况比较简单,可参考相关规范。

b.适用于跨度小于,顶部为拱形的地下工程。

c对于Ⅲ、Ⅳ级围岩,应根据地质构造和回填情况考虑不均匀压力影响。

④Ⅴ级围岩由于地质条件变化大,围岩压力相差悬殊,故上述系数K和λ给出了下限值,具体应用时可参照其他有关公式和实践经验确定。

2.3 地层弹性抗力计算

地下建筑结构除承受主动荷载作用处(如围岩压力、结构自重等),还承受一种被动荷载,即地层的弹性抗力。

结构在主动荷载作用下要产生变形。以隧道工程为例,如图2.18所示的曲墙拱形结构,在主动荷载(垂直荷载大于水平荷载)作用下,产生的变形如虚线所示。

图2.18　衬砌结构在外力作用下的变形规律

在拱顶,其变形背向地层,在此区域内岩土体对结构不产生约束作用,所以称为“脱离区”,而在靠边拱脚和边墙位置,结构产生压向地层的变形,由于结构与岩土体紧密接触,则岩土体将制止结构的变形,从而产生了对结构的反作用力,对这个反作用力习惯上称弹性抗力,地层弹性抗力的存在是地下结构区别与地面结构的显著特点之一。因为,地面结构在外力作用下,可以自由变形不受介质约束,而地下结构在外力作用下,其变形受到地层的约束。所以地下结构设计必须考虑结构与地层之间的相互作用,这就带来了地下结构设计与计算的复杂性。而另一方面,由于弹性抗力的存在,限制了结构的变形,以致结构的受力条件得以改善,使其变形小而承载能力有所增加。

既然弹性抗力是由于结构与地层的相互作用产生的,所以弹性抗力大小和分布规律不仅取决于结构的变形,还与地层的物理力学性质有着密切的关系。如何确定弹性抗力的大小和其作用范围(抗力区),目前有两种理论:一种是局部变形理论,认为弹性地基某点上施加的外力只会引起该点的沉陷;另一种是共同变形理论,即认为弹性地基上的一点的外力,不仅引起该点发生沉陷,而且还会引起附近一定范围的地基沉陷。从两者来看,后一种理论较为合理,但由于局部变形理论计算较为简单,且一般尚能满足工程精度要求,所以目前多采用局部变形理论计算弹性抗力。

在局部变形理论中,以大家熟知的温克尔(E.Winkler)假设为基础,认为地层的弹性抗力与结构变位成正比,即:

对于各种地下结构和不同介质,弹性抗力系数k值不同,可根据工程实践经验或参考相关规范规定。

2.4　地下结构自重及其他荷载计算

计算结构的静荷载时,结构自重必须计算在内。但是对于等直杆件(如墙、梁、板、柱等)的自重,由于计算简单,故不予介绍。下面着重介绍衬砌结构拱圈自重的计算方法。

(1)将衬砌结构自重简化为垂直均布荷载

当拱圈截面为等截面拱时,结构自重荷载为:

(2)将结构自重简化为垂直均布荷载和三角形荷载

如图2.19所示,当拱圈为变截面拱时,结构自重荷载可选用如下三个近似公式:

其他符号意义同前。

图2.19　拱圈结构自重计算

地下建筑结构除了岩土层压力、结构自重和弹性抗力等荷载外,还可能遇到其他形式的荷载,如灌浆压力、混凝土收缩压力、地下静水压力、温差压力及地震荷载等。

2.5　地下结构计算模型

目前,地下结构的计算模型有多种,大体上可以归纳为以下四种计算模型:

(1)经验类比计算模型

经验类比计算模型是目前国内外地下结构设计中应用最广泛的设计模型之一,尤其是建造在岩层中以锚喷支护结构进行支护的地下结构设计中,应用更为广泛。经验类比计算模型通常有直接类比法和间接类比法两种。直接类比法一般是以岩体的强度和完整性、地下水影响程度、洞室埋深、可能受到的地应力、结构的形状与尺寸、施工方法、施工质量以及使用要求等指标,将设计工程与上述指标基本相同的已建工程进行对比,由此确定地下结构的类型和设计参数;间接类比法一般是根据现行的规范和标准,按工程所在围岩类别以及岩体参数确定拟建地下工程的结构类型和设计参数。

应用经验类比计算模型进行地下结构设计的程序,一般分为初步设计阶段和施工设计阶段。初步设计结构的工作,是根据选定的结构轴线和掌握的地址资料,初步确定围岩类别,然后结合工程尺寸、结构设计参数,作为计算工程量、上报工程概算经费的依据。施工设计阶段的工作,是在对围岩地质条件进行比较细致和深入的研究后进行的,通常视围岩地质条件、工程规模等在不同时间进行,其目的是详细确定围岩类别和结构设计参数。采用经验类比设计模型进行地下结构设计时,在施工阶段,设计人员应深入施工现场,会同地质勘察、施工技术人员,根据现场实际及岩体参数的变化情况随时对设计进行修改。

(2)荷载结构计算模型

荷载结构计算模型也称结构力学计算模型。该模型的思路认为,地层对地下结构的作用只是产生作用在结构上荷载(包括主动的地层压力和由于地层约束结构变形而产生的弹性抗力),按照结构力学的方法计算地下结构在地层荷载作用下产生的内力和变形。

荷载结构计算模型的关键是确定作用在地下结构上的地层荷载。地层荷载一般由两部分构成,即地层压力和弹性抗力。地层压力通常按照土压力公式、经验公式或围岩分级来确定,弹性抗力则通过温克尔(Winkler)局部变形理论、弹性地基梁理论等理论来加以考虑。

荷载结构计算模型不直接考虑地层(围岩)的承载力和地层与结构的相互作用,而是在确定地层压力和弹性抗力时间接予以考虑。地层的承载能力越高,地层压力就越小,地层对地下结构变形的约束作用就越大,相对来说,地下结构的内力就变小了。一旦确定了地层荷载,地下结构的内力计算、截面设计等与地面结构就基本相同了。

(3)地层结构计算模型

地层结构计算模型又称连续介质计算模型,其基本原理是按照连续介质力学原理及变形协调条件分别计算地下结构与地层中的内力,然后进行结构截面设计和地层的稳定性验算。

地层结构计算模型将地下结构和地层视为一个整体,作为共同承载的地下结构体系。在连续介质设计模型中,地层也是承载单元,地下结构是承载单元的一部分,其主要作用是约束和限制地层的变形,两者共同作用的结果是使地下结构体系达到新的平衡状态。从这一点来说,地层结构计算模型与荷载结构计算模型是相反的。

地层结构计算模型可以考虑地下结构的几何形状、地层和结构材料的非线性特征、开挖面所形成的空间效应、地层中的不连续面等。目前,对于圆形地下结构形式,采用连续介质设计模型,已取得了地层和结构内力的精确解析解。但对于其他地下结构形式,因数学上的困难,要求得地层和结构内力的解析解几乎不可能,只有通过试验和数值计算来求得近似解。通常所用的试验方法有光弹性模型试验法、地质模型试验法,数值计算方法包括有限元法(FEM)和边界元法(BEM)等。目前,随着计算机的普及以及计算技术的飞速发展,试验方法已逐步被数值方法所取代,而数值方法中使用最多也最成熟的方法仍然是有限元法(FEM)。

(4)收敛限制计算模型

收敛限制计算模型又称特征曲线计算模型或变形计算模型,是一种以理论为基础、实测为依据、经验为参考的较为完善的地下结构计算模型。严格来说收敛限制计算模型是连续介质设计模型之一,但由于该计算模型以现场实测结果为设计依据,与理论分析或数值结果为依据的连续介质计算模型存在较大的差别,因此,通常将其单列为一种设计模型。

收敛限制计算模型的基本原理是按弹塑性理论等计算并绘出表示地层受力变形特征的洞周收敛曲线,同时按照结构力学的原理计算并绘出表示地下结构受力变形特征的支护约束曲线,得出两条曲线的交点,根据交点处表示的支护阻力值进行地下结构的设计。

收敛限制计算模型注重理论与实际应用的对照,比较适用于软岩地下洞室、大跨度地下洞室和特殊洞形地下洞室的支护结构设计。收敛限制计算模型是一种比较新的地下结构计算模型,其计算原理尚待进一步研究和完善,目前一般仅按照两侧的洞室收敛值进行反馈和监控,以指导地下结构的设计和施工。由于地层变形能够综合反映影响地下结构受力的各种因素,因此,收敛限制计算模型必将获得较快发展。

根据国际隧道协会(ITA)收集的部分会员国所采用的地下结构设计方法归纳的设计模型,如表2.3所示,可以看出,各国在地下结构的设计中,各种设计模型均有应用,但是针对不同地层或不同的施工方法,所采用的地下结构计算模型是不同的。

表2.3　部分国家地下结构设计中所采用的计算模型

2.6　地下结构计算方法

2.6.1　工程类比法

地下结构的工程类比法,就是将拟建地下工程的自然条件和工程条件与已建成的类似工程相比较,将已建成工程的稳定状况、影响因素及工程设计等方面的有关经验应用到类似的所要建设的地下工程中去,进而确定有关设计参数的一种方法。

地下结构工程类比设计的基础是充分掌握和占有以往类似工程的资料和成功经验,前提是正确地对地下工程围岩进行分级。对于用工程类比法设计的地下工程,成功建造的关键是做好施工过程的监控量测和信息反馈。

工程类比法的优点是能综合考虑多种非确定性影响因素,快速地对拟建地下建筑结构的设计参数做出估算和评价。该方法的主要缺点是进行工程类比时往往以人的经验为主,解决地下建筑结构设计问题的范围较窄并带有很大的主观性。

2.6.2　荷载结构法

荷载-结构模型认为,地层结构的作用只是产生作用在地下建筑结构上的荷载(包括主动地层压力和被动地层抗力),衬砌在荷载的作用下产生内力和变形,与其相应的计算方法称为荷载结构法。早年常用的弹性连续框架(含拱形构件)法、假定抗力法和弹性地基梁(含曲梁)法等都可归属于荷载结构法。其中,假定抗力法和弹性地基梁法都形成了一些经典计算法,而类属弹性地基梁法的计算法又可按采用的地层变形理论的不同,分为局部变形理论计算法和共同变形理论计算法。其中局部变性理论因计算过程较为简单而常用。

这里重点介绍《公路隧道设计规范》(JTG D70—2004,中华共和国交通部发布)中的计算方法。

1)设计原理

荷载结构法的设计原理认为,隧道开挖后地层的作用主要是对衬砌结构产生荷载,衬砌结构应能安全可靠地承受地层压力等荷载的作用。计算时先按地层分类法或由实用公式确定地层压力,然后按弹性地基上结构物的计算方法计算衬砌的内力,并进行结构截面设计。

2)计算原理

(1)基本未知量与基本方程

取衬砌结构结点的位移为基本未知量。由最小势能原理或变分原理可得到系统整体求解时的平衡方程为:

矩阵{P}、[K]和{δ}可由单元的荷载矩阵{P}e、单元的刚度矩阵{k}e和单元的位移向量矩阵{δ}e组装而成,故在采用有限元方法进行分析时,需先划分单元,建立单元刚度矩阵{k}e和单元荷载矩阵{P}e。

隧道承重结构轴线的形状为弧形时,需用折线单元模拟曲线。划分单元时,只需确定杆件单元的长度。杆件厚度d即为承重结构的厚度,杆件宽度取为1 m。相应的杆件横截面面积,抗弯惯性矩,弹性模量E取为混凝土的弹性模量。

(2)单元刚度矩阵的计算

设梁单元在局部坐标系下的结点位移为,对应的结点力为,则有:

式中 为梁单元在局部坐标系下的刚度矩阵,并有

对于整体结构而言,各单元采用的局部坐标系均不相同,故在建立整体矩阵时,需按式(2.116)将按局部坐标系建立的单元刚度矩阵[ k]e转换成结构整体坐标系中的单元刚度矩阵[k]e。

式中 β——局部坐标系与整体坐标系之间的夹角。

(3)地层反力作用模式

地层弹性抗力由下式给出:

其中

式中 F n,F s——分别为法向和切向弹性抗力;

K n,K s——相应的围岩弹性抗力系数,且K+、K-分别为压缩区和拉伸区的抗力系数,通常令K+= K-= 0。

杆件单元确定后,即可确定地层弹簧单元,它只设置在杆件单元的结点上。地层弹簧单元可沿整个截面设置,也可只在部分结点上设置。沿整个截面设置地层弹簧单元时,计算过程中需用迭代法作变形控制分析,以判断出抗力区的确切位置。

特别指出,深埋隧道中的整体式衬砌、浅埋隧道中的整体或复合式衬砌及明洞衬砌等应采用荷载结构法来计算。此外,采用荷载结构法计算隧道衬砌的内力和变形时,应通过考虑弹性抗力等体现岩土体对衬砌结构变形的约束作用。弹性抗力的大小和分布,对回填密实的衬砌结构可采用局部变性理论确定。

2.6.3　地层结构法

地层结构模型把地下结构与地层作为一个受力变形的整体,按照连续介质力学原理计算地下建筑结构以及周围地层的变形;不仅计算处衬砌结构的内力及变形,而且计算周围地层的应力,充分体现周围地层与地下建筑结构的相互作用,但是由于周围地层以及地层与结构相互作用模拟的复杂性,地层结构模型目前尚处于发展阶段,在很多工程应用中,仅作为一种辅助手段。由于地层结构法相对于荷载结构法,充分考虑了地下结构与周围地层的相互作用,结合具体的施工过程,可以充分模拟地下结构以及周围地层在每一个施工工况的结构内力以及周围地层的变形,更能符合工程实际。因此,在今后的研究和发展中,地层结构法将得到广泛应用和发展。

地层结构法主要包括如下几部分内容:地层的合理化模拟、结构模拟、施工过程模拟以及施工过程中结构与周围地层的相互作用、地层与结构相互作用的模拟。

这里仍重点介绍《公路隧道设计规范》(JTG D70—2004)中的计算方法。

1)设计原理

地层结构法的设计原理,是将衬砌和地层视为整体共同受力的统一体系,在满足变形协调条件的前提下,分别计算衬砌与地层的内力,据此验算地层的稳定性和进行结构截面设计。目前计算方法以有限单元法为主,适用于设计构筑在软岩或较稳定的地层内的衬砌。

2)初始地应力的计算

(1)初始自重应力

初始自重应力通常采用有限元法或给定水平侧压力系数的方法计算。

①有限元法。即初始自重应力由有限元法算得,并将其转化为等效结点荷载。

②给定水平侧压力系数法。即在给定水平侧压力系数K0值后,按下式计算初始自重地应力:

确定,即P w=γw·H w(γw为地下水的重度,H w为地下水的水位差)。

(2)构造应力

构造地应力可假设为均布或线性分布应力。假设主应力作用方向保持不变,则二维平面应变的普遍表达式为:

(3)初始地应力

将初始自重应力与构造应力叠加,即得初始地应力。

3)本构模型

(1)岩石单元

①弹性模型。对于平面应变问题,横观各向同性弹性体的应力增量可表示为:

各向同性弹性体的应力增量可表示为:

②非线性弹性模型。采用邓肯·张模型的假设,并认为应力-应变关系可用双曲线关系近似描述,则在主应力σ3,保持不变时为:

轴向应变ε1和侧向应变ε3之间假设也存在双曲线关系,即有:

式中 a,b, f,d——均为由试验确定的参数。

在不同应力状态下弹性模量的表达式为:

不同应力状态下泊松比的表达式为:

其中,G,F,d是由试验确定的参数。由Ei和μi即可确定该应力状态下的弹性矩阵[D]。

③弹塑性模型。

a.屈服准则。材料进入塑性状态的判断准则采用Drucker.Prager或Mohr.Coulomb屈服准则,其中Drucker.Prager屈服准则的表达式为:

Mohr.Coulomb屈服准则的表达式为:

b.弹塑性矩阵。材料进入塑性状态后,其弹塑性应力应变关系的增量表达式为:

c.弹塑性分析的计算过程。增量时步加荷过程中,部分岩土体进入塑性状态后,由材料屈服引起的过量塑性应变以初应变的形式被转移,并由整个体系中的所有单元共同负担。每一时步中,各单元与过量塑性应变相应的初应变均以等效结点力的形式起作用,并处理为再次计算时的结点附加荷载,据以进行迭代运算,直至时步最终计算时间,并满足给定的精度要求。

④粘弹性模型。三元件广义Kelvin模型,由弹性元件和Kelvin模型串联组成,如图2.20所示。

图2.20　广义Kelvin模型

其应力应变关系式为:

衬砌施作后的蠕变方程为:

(2)梁单元

与上节荷载结构法中“单元刚度矩阵的计算”相同。

(3)杆单元

设杆单元在局部坐标系中的结点位移为,对应的结点力为,则有

式中的为杆在局部坐标系下的单元刚度矩阵,并有

E——杆的弹性模量。

(4)接触面单元

接触面采用无厚度节理单元模拟,不考虑法向和切向的耦合作用时,有增量表达式:

接触面材料的应力-应变关系一般为非线性关系,并常处于塑性受力状态。当屈服条件采用莫尔-库伦屈服条件,并假定节理材料为理想弹塑性材料及采用关联流动法则时,对平面应变问题,可导出接触面单元剪切滑移的塑性矩阵为:

对处于非线性状态的接触面单元,应力与相对位移间的关系式为:

4)单元模式

(1)一维单元

对二节点一维线性单元,设结点位移为{δ}={ui,vi,uj,vj}时,单元上任意点的位移为:

(2)三角形单元

对三节点三角形单元,设节点坐标为{xi,yi,xj,yj,x m,y m},节点位移为{δ}={ui,vi,uj,vj, u m,v m},对应的结点力为{F}={Xi,Yi,Xj,Yj,X m,Y m},则当取线性位移模式时,单元内任意点的位移为:

式中 [N]——形函数矩阵;

(3)四边形单元

采用四节点等参单元,并设节点位移为{δ}=[u1,v1,u2,v2,u3,v3,u4,v4]T时,位移模式可由双线性插值函数给出,形式为:

式中的N是插值函数,即

5)施工过程的模拟

(1)一般表达式

开挖过程的模拟一般通过在开挖边界上施加释放荷载来实现。将一个相对完整的施工阶段称为施工步,并设每个施工步包含若干增量步,则与该施工步相应的开挖释放荷载可在所包含的增量步中逐步释放,以便较真实地模拟施工过程。具体计算中,每个增量步的荷载释放量可由释放系数控制。对各施工阶段的状态,有限元分析的表达式为:

对每个施工步,增量加载过程的有限元分析的表达式为:

(2)开挖工序的模拟

开挖效应可通过在开挖边界上设置释放荷载,并将其转化为等效节点力模拟。表达式为:

开挖释放荷载可采用单元应力法或Mana法计算。

(3)填筑工序的模拟

填筑效应包含两个部分,即整体刚度的改变和新增单元自重荷载的增加,其计算表达式为:

(4)结构的施作与拆除

结构施作的效应体现为整体刚度的增加及新增结构的自重对系统的影响,其计算式为:

结构拆除的效应包含整体刚度的减小和支撑内力释放的影响,其中支撑内力的释放可通过施加一反向内力实现,其计算表达式为:

(5)增量荷载的施加

在施工过程中施加的外荷载,可在相应的增量步中用施加增量荷载表示,其计算式为:

本章小结

(1)地下结构的荷载按其作用特点及使用中可能出现的情况分为三大类,即永久荷载、可变荷载和偶然荷载。

(2)软土地区浅埋的地下工程,作用于结构上的竖向土压力的计算是比较容易的,可采用“土柱理论”计算。竖向土压力即为结构顶盖上整个土柱的全部质量。侧向土压力经典理论主要是库伦(Coulomb)理论和郎肯(Rankine)理论,这些理论在地下工程的设计中一直沿用至今。另外,计算静止土压力一般采用弹性理论,它也可以称为经典理论。

(3)土体的抗剪强度可按有效应力法确定,也可按总应力法确定,两者各有其特点。

(4)围岩压力就是指位于地下结构周围变形或破坏的岩层,作用在衬砌结构或支撑结构上的压力。它是作用在地下结构的主要荷载。围岩压力可分为垂直围岩压力、水平围岩压力及底部围岩压力。

(5)围岩压力计算理论主要有按松散体理论计算、按弹塑性体理论计算和按围岩分级和经验公式来计算。

(6)影响围岩压力的因素很多,主要与岩体的结构、岩石的强度、地下水的作用、洞室的尺寸与形状、支护的类型和刚度、施工方法、洞室的埋置深度和支护时间等因素有关。

(7)衬砌结构拱圈自重的计算方法有:将衬砌结构自重简化为垂直均布荷载;将结构自重简化为垂直均布荷载和三角形荷载。

(8)地下结构的计算模型有多种,大体上可以归纳为以下4种计算模型:经验类比计算模型;荷载结构计算模型;地层结构计算模型;收敛限制计算模型。

(9)地下结构基本的计算方法有工程类比法、荷载结构法和地层结构法。

思考题

2.1　地下建筑荷载分为哪几类?其组合形式有哪些?

2.2　土压力可分为几种形式?其大小关系如何?

2.3　库伦理论的基本假设是什么?并给出一般土压力计算公式。

2.4　简述郎肯土压力理论的基本假定。

2.5　简述围岩压力的概念及其影响因素。

2.6　简述弹性抗力的基本概念,其值大小与哪些因素有关?

2.7　简述衬砌结构拱圈自重的计算方法。

2.8　地下结构基本的计算方法有哪些?