平面及直线与曲面立体相交

时间：2022-10-22 百科知识版权反馈

【摘要】：平面与曲面立体相交所得的截交线，一般情况下，是平面曲线或平面曲线和直线所组成的封闭图形，为截平面和曲面立体表面所共有。根据投影规律，可作出截交线的V面投影。截交线在投影面上的形状取决于截平面相对于投影面的位置。截交线的V面投影为直线，反映截交线圆的直径的实长。直线与立体表面的交点称为贯穿点，具有两个基本性质，即它是直线与立体表面的共有点，且它成对产生，一个贯入，一个穿出。

5.4　平面及直线与曲面立体相交

平面与曲面立体相交所得的截交线，一般情况下，是平面曲线或平面曲线和直线所组成的封闭图形，为截平面和曲面立体表面所共有。曲面立体截交线上的每一点，都是截平面与曲面立体表面的共有点。求出截交线上足够的共有点的投影，然后依次连接起来，便可得出截交线的投影。求共有点时，应先求作出截交线上特殊点的投影，如最高、最低点，最前、最后点，最左、最右点，可见与不可见的分界点，截交线本身固有的特殊点(如椭圆长、短轴的端点，抛物线顶点)等；如有必要再求一般点。

截交线是曲面体和截平面的共有点的集合。求作截交线的基本方法有素线法和纬圆法。

5.4.1　平面与圆柱相交

截平面与圆柱面的交线有三种情况，如表5-1所示。

表5-1　截平面与圆柱面的交线

例5-12　已知圆柱和截平面P的投影(见图5-26(a))，求截交线的投影，补作被截圆柱W面投影图。

分析　正垂面P与圆柱轴线倾斜，截交线为椭圆。该椭圆的V面投影积聚在P_V上，H面投影位于圆柱面的投影圆周上已知。根据点的投影规律，即可求出截交线的W面投影。

作图　如图5-26(b)所示，先作出圆柱的W面投影，再求作截交线上若干个点的投影，用光滑的曲线连接各点，即为所求。

图5-26　例5-12图

(1)求特殊点。圆柱的V面投影轮廓线(最左、最右素线)与P_V的交点a′、b′为椭圆长轴端点的V面投影，最前、最后素线的V面投影与P_V的交点c′、d′为短轴端点的V面投影；由a′、b′和c′、d′可作出其W面投影a″b″和c″d″。

(2)求一般点。为使作图准确，需要再求截交线上若干个一般点。在H面投影圆周上取1、2、3、4点，根据投影规律作出其V面投影1′、2′、3′、4′，再作出W面投影1″、2″、3″、4″。

(3)在W面投影图中，用光滑的曲线依次连接各点成椭圆曲线，即为截交线的W面投影。

讨论　当截平面与圆柱轴线相交的角度发生变化时，其截交线椭圆在投影面上投影的形状，长、短轴方向及大小也随之变化。圆柱轴线处于铅垂位置时，正垂面截圆柱其W面投影如图5-27所示。图中c″d″长度不变，等于圆柱直径。当α＜45°时，c″d″＞a″b″，W面投影是以c″d″为长轴、a″b″为短轴的椭圆(见图5-27(a))；当α=45°时，c″d″=a″b″，W面投影为圆(见图5-27(b))；当α＞45°时，a″b″＞c″d″，W面投影是以a″b″为长轴、c″d″为短轴的椭圆(见图5-27(c))。

图5-27　截平面倾斜角度对截交线投影的影响

思考　圆柱轴线处于水平位置时，正垂面截圆柱其H面投影会是什么样呢？

例5-13　如图5-28(a)所示，已知切口圆柱的V面和W面投影，求作H面投影。

图5-28　例5-13图

分析　从给出的V面投影图可知，圆柱被水平截平面P和正垂截平面Q截割。水平截平面P与圆柱轴线平行，其截交线是与轴线平行的两条直素线，截交线的V面投影与P_V重合，截交线的W面投影积聚成两点位于圆柱面的W面投影圆周上；正垂截平面Q与圆柱轴线倾斜，其截交线为大半椭圆，截交线的V面投影与Q_V重合，截交线的W面投影与圆柱面的W面投影圆周重合。截交线的V面和W面投影为已知，根据投影规律，即可求出H面投影。

作图　如图5-28(b)所示，先作出圆柱的H面投影，再求作截交线上若干个点的投影，用光滑的曲线连接各点，即为所求。作图步骤，请读者看图自行思考。

5.4.2　平面与圆锥相交

截平面与圆锥面相交时，由于截平面对圆锥轴线相对位置的不同，截交线有五种情况，如表5-2所示。

例5-14　如图5-29(a)所示，已知圆锥和截平面P的投影，求截交线的投影和断面的实形。

分析　由图5-29(a)可知，截平面P为正垂面。平面P与圆锥的所有素线相交，截交线为椭圆。平面P与圆锥最左、最右素线的交点，即为椭圆长轴的端点A、B。椭圆短轴垂直于V面，且垂直平分AB。截交线的V面投影重合在P_V上，为已知；H面投影仍为椭圆。椭圆长短轴的投影仍为椭圆投影的长短轴。

作图　(1)求特殊点(见图5-29(b))。在V面投影上P_V与圆锥V面投影轮廓线的交点a′、b′，即为长轴端点A、B的V面投影。AB的H面投影ab，就是椭圆投影的长轴。椭圆短轴CD的V面投影c′d′必积聚在a′b′的中点。过C、D作纬圆，或作素线SⅠ、SⅡ求出C、D的H面投影c、d。

(2)求一般点(见图5-29(c))。用纬圆法求作最前、最后素线与平面P的交点M、N和一般点E、F的H面投影m、n和e、f。

表5-2　截平面与圆锥面的交线

(3)在H面投影图中，用光滑的曲线依次连接各点成椭圆曲线，即为截交线的H面投影(见图5-29(d))。

(4)求断面实形。用换面法求出断面的实形(见图5-29(d))。

图5-29　例5-14图

思考　本题的W面投影怎样作图？

例5-15　如图5-30(a)所示，求正平面Q与圆锥的截交线。

分析　由于截平面Q为正平面，截交线的H面投影和W面投影积聚成为一条直线，分别与截平面Q的H面投影Q_V、W面投影Q_W重合。根据投影规律，可作出截交线的V面投影。

作图　如图5-30(b)所示，求出截交线上若干个点的投影，用光滑的曲线连接各点，即为所求。

(1)求特殊点。求作截交线上最高点Ⅰ的V面投影1′和最低点Ⅱ、Ⅲ的V面投影2′、3′。

(2)求一般点。用纬圆法求作一般点Ⅳ、Ⅴ的V面投影4′、5′。

(3)用光滑的曲线依次连接2′、4′、1′、5′、3′，即为截交线的V面投影。

图5-30　例5-15图

5.4.3　平面与圆球相交

平面与圆球相交，截交线是圆(见图5-31)。截交线在投影面上的形状取决于截平面相对于投影面的位置。当截平面平行于投影面时，圆截交线在该投影面上的投影，反映圆的实形；当截平面垂直于投影面时，圆截交线在该投影面上的投影为直线，长度等于截交线圆的直径；当截平面倾斜于投影面时，圆截交线在该投影面上的投影为椭圆。

图5-31　平面与圆球的截交

例5-16　如图5-32(a)所示，已知带切口半球的V面投影，求作H面和W面投影。

分析　半球的切口由一个水平截平面和两个侧平截平面组成，并对称于半球的对称面。水平截平面与半球的截交线为圆，在H面投影中反映圆的实形。侧平截平面与半球的截交线为半圆，在W面投影中反映半圆实形。

图5-32　例5-16图

作图　如图5-32(b)所示，求出截交线圆的半径R₁和R₂，在H面投影中，以R₁为半径，以半球面的H面投影圆的圆心为圆心画圆，由投影规律“长对正”，得截交线的H面投影。在W面投影中，以R₂为半径，以半球面的W面投影的圆心为圆心画半圆弧，由投影规律“高平齐”，得截交线的W面投影。两截平面的交线(是一段正垂线)在W面投影中不可见，应画成虚线。

例5-17　如图5-33(a)所示，已知球被正垂面P切截，求作被切截后球的H面和W面投影。

图5-33　例5-17图

续图5-33

分析　由于截平面P为正垂面，所以截交线是一个正垂圆。截交线的V面投影为直线，反映截交线圆的直径的实长。截交线的H面和W面投影为椭圆。

作图　利用球面上作点的方法作出椭圆上的若干个点。

(1)求作椭圆长、短轴的端点。如图5-33(b)所示，由截交线的V面投影可知椭圆长、短轴端点C、D、A、B的V面投影c′、d′、a′、b′，根据投影规律，作出c、d、a、b和c″、d″、a″、b″。

(2)求作球面轮廓线上的点。如图5-33(c)所示，由截交线的V面投影可知球面水平轮廓线上的点Ⅰ、Ⅱ的V面投影1′、2′，球面侧面轮廓线上的点Ⅲ、Ⅳ的V面投影3′、4′，根据投影规律，作出1、2、3、4和1″、2″、3″、4″。

(3)用光滑的曲线把各点连接成椭圆曲线，即为所求(见图5-33(d))。

5.4.4　直线与曲面立体相交

直线与立体表面的交点称为贯穿点，具有两个基本性质，即它是直线与立体表面的共有点，且它成对产生，一个贯入，一个穿出。求贯穿点的问题，实质上是求线面交点的问题。根据曲面体表面的投影或直线的投影有无积聚性，求作贯穿点投影的方法也不同。

1.积聚投影法求贯穿点

如果曲面体表面的投影或直线的投影具有积聚性，则贯穿点的投影在积聚性的投影中为已知，其余投影可利用表面上作点的方法求得。

例5-18　如图5-34(a)所示，已知直线与圆柱相交，求作W面投影和贯穿点。

图5-34　例5-18图

分析和作图　如图5-34(b)，按投影规律，先作出圆柱及直线AB的W面投影。因为柱轴为铅垂线，柱面的H面投影积聚为圆，所以贯穿点M的H面投影m位于圆周上，由此可作出V面投影m′和W面投影m″。又因为圆柱的上、下底面为水平面，V面投影积聚为直线，贯穿点N的V面n′在此直线上，由此可作出H面投影n和W面投影n″。

图5-35是正垂线与圆锥相交。圆锥投影无积聚性，但直线AB的V面投影积聚为一个点a′(b′)。贯穿点M、N的V面投影m′、n′也积聚在这一点上。用在锥面上定点的方法(如纬圆法)可求得M、N的H面投影m、n。