曲面立体及其表面上的点和线

时间：2022-10-22 百科知识版权反馈

【摘要】：常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球、圆环等，它们的表面是光滑曲面，不像平面体那样有明显的棱线。直线AA1称为母线，圆柱面上任意一条平行于轴线OO1的直线，即母线的任一位置，称为圆柱面的素线。圆柱面上任何点和线的水平投影都积聚在这个圆上。AA1、BB1即为V面投影图上可见与不可见的分界线。母线的任一位置，称为圆锥面的素线。由于点A在上、前、左球面上，故其V面投影a′和W面投影a″均可见。

5.2　曲面立体及其表面上的点和线

常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球、圆环等，它们的表面是光滑曲面，不像平面体那样有明显的棱线。所以在画图(降维)和看图(升维)时，要抓住曲面的特殊本质，即曲面的形成规律和曲面轮廓的投影。

5.2.1　圆柱体

1.圆柱的形成和投影

如图5-8(a)所示，圆柱体表面由圆柱面和上、下两端面(平面)所组成。圆柱面可以看成是由直线AA₁绕与它平行的轴线OO₁旋转而成。直线AA₁称为母线，圆柱面上任意一条平行于轴线OO₁的直线，即母线的任一位置，称为圆柱面的素线。

图5-8　圆柱体的投影

当圆柱面的轴线垂直于H投影面时，它的H面投影为一圆，有积聚性。圆柱面上任何点和线的水平投影都积聚在这个圆上。圆柱体的其他两个投影是由上、下端面的积聚性投影和圆柱面最外边的素线——转向轮廓线组成的矩形(见图5-8(b)、(c))。

画图时，首先画出回转中心线，其次画出投影为圆的图形，最后画另外两个投影成矩形的图形。

2.分析轮廓线与判断曲面的可见性

(1)从不同方向投射时，圆柱面的投影轮廓线是不同的。从图5-8(b)可看出，V面上的轮廓线是轮廓素线AA₁、BB₁的投影。但在W面上与轴线重合,它们不是侧面投影图的轮廓线，因此画图时不必画出。而在W面上圆柱面的轮廓线是从左向右看时，圆柱面的轮廓素线CC₁、DD₁的投影，它们在V面的投影也与轴线重合，不必画出。

(2)一个投影图上的轮廓线是曲面在该投影图上可见与不可见部分的分界线。在图5-8(b)、(c)中，V面投影图上曲面的可见部分，可以根据轮廓线AA₁和BB₁在H面投影图上的位置来判断，在轮廓线AA₁和BB₁以前的ABC半个圆柱面是可见的，而后半个圆柱面ADB是不可见的。AA₁、BB₁即为V面投影图上可见与不可见的分界线。

W面投影图上可见与不可见的分界线，请读者自行分析。

3.圆柱面上点、线的投影

例5-3　已知圆柱面上点A的V面投影a′、点B的H面投影b、点C的W面投影c″(见图5-9(a))，求作它们的另两面投影。

分析和作图　点A、B、C均在圆柱面上(点C在圆柱面的最右素线上)，点A和点C的H面投影必定在圆柱面H面投影的圆周上；点B的V面投影有无穷多解(此题只要求作出在连线a′c′上的点b′)，于是它的V面投影是唯一的。再根据V面投影和H面投影作出点A和点B的W面投影a″(b″)，如图5-9(b)所示。由于点B在右半个圆柱面上，故其W面投影不可见。

图5-9　例5-3图

思考　把A、B、C三点的V面投影连成一条直线，其空间形状是直线还是曲线？如果是曲线，又是什么曲线呢？

注意　圆柱面上，只有与轴线平行的素线是直线，所以，求作圆柱表面上的点时，应过该点作直素线来解决问题，且不可随意画线。

5.2.2　圆锥体

1.圆锥体的形成和投影

如图5-10(a)所示，圆锥体由圆锥面和底平面组成。圆锥面可以看成是直母线SA沿着圆曲线移动，并始终与轴线OO1相交于一点，此点为圆锥顶点。母线的任一位置，称为圆锥面的素线。

图5-10　圆锥体的投影

圆锥面的三个投影都没有积聚性。当圆锥的轴线垂直于水平面时，圆锥的水平投影为一圆。圆锥的正面投影和侧面投影为大小相同的等腰三角形(见图5-10(c))。

画圆锥投影图时，首先画出回转中心线，其次画出投影为圆的图形，再根据圆锥的高度，画出另外两个投影为等腰三角形的图形。

2.分析轮廓线与判断曲面的可见性

轮廓线与曲面的可见性判断问题与圆柱面的分析方法相同，请读者看图5-10(b)、(c)自行分析。

3.圆锥面上点的投影

例5-4　已知圆锥面上点Ⅰ的V面投影1′、点Ⅱ的H面投影2(见图5-11)，求作两点的另外两个投影。

分析和作图　点Ⅰ、点Ⅱ均在圆锥面上。由于圆锥面的各个投影都没有积聚性，因此必须在圆锥面上作辅助线，再在辅助线上取点，这与在平面内取点的作图方法是相似的。

为了作图方便，应选取素线或垂直于轴线的纬圆作为辅助线。

(1)素线法：过点的已知投影和圆锥顶点连成一条直线。如图5-11(a)所示，在圆锥的V面投影图中，将1′和s′连成直线，并延长至底边交于e′,作出SE的H面投影se，点Ⅰ的H面投影1必定在se线上。根据投影规律，作出1″。由于点Ⅰ在左、前圆锥面上，故其W面投影1″可见。

(2)纬圆法：过点的已知投影作一个圆。如图5-11(b)所示，在H面投影图中，以锥顶S的H面投影s为圆心，以s2为半径作一个纬圆，画出纬圆的V面投影，即平行于水平面的直线，点Ⅱ的V面投影2′必定在该直线上。根据投影规律，作出2″。由于点Ⅱ在右、后圆锥面上，其V面投影和W面投影均不可见，所以2′、2″加括号。

图5-11　例5-4图

注意　纬圆是曲面上垂直于曲面轴线的圆。

5.2.3　圆球体

1.圆球面的形成

如图5-12(a)所示，圆球面(常称球面)可以看成是一圆弧母线绕其直径OO₁旋转而成。

图5-12　圆球体的投影

2.投影画法及轮廓分析

圆球体的各个投影都没有积聚性，三面投影图均为直径相同的圆。这三个圆是分别从三个方向看球时所得的形状，即三个方向的球面轮廓线的投影，不能认同它们是球面上某一个圆的三个投影。从图5-12(b)、(c)可看出，球面上轮廓线A的V面投影是圆a′,而H面投影a和W面投影a″都与中心线重合，不必画出。其他两个投影图上轮廓线圆的投影，在三个投影上的对应关系，读者自己看图分析就可明白。画圆的投影图时，应先画出三个投影图的中心线，再画出圆线框。

3.球面上点的投影

求作球面上的点的投影，要采用纬圆法。

例5-5　已知圆球面上点A的H面投影a(见图5-13)，求作点A的另外两个投影。

图5-13　例5-5图

分析和作图　球面各个投影都没有积聚性，求作球面上点的投影，要借助辅助纬圆。首先，在球面的H面投影中，过a作正平纬圆的H面投影(积聚的水平直线)，得纬圆半径R_A。然后，在V面投影中以R_A为半径画圆，得纬圆的V面投影，a′必然在此纬圆上。利用投影规律，作出点A的W面投影a″。由于点A在上、前、左球面上，故其V面投影a′和W面投影a″均可见。

运用迁移思维法和发散思维法，读者可以想到：用同样的作图原理和方法也可在图5-13(b)中用过点A的球面上平行于水平面的水平纬圆求作a′和a″，还可用过点A的球面上平行于侧平面的侧平纬圆求作a′和a″。

注意　球面上没有直线，在求作球面上点的投影时，只能过该点作纬圆解决问题，切不可随意画线。

5.2.4　圆环

1.形成

如图5-14(a)所示圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平面内、但不通过圆心的轴线旋转而成。外半圆形成外环面，内半圆形成内环面。

图5-14　圆环的投影

2.投影画法

如图5-14(b)所示，画投影图时，首先画出中心线，其次在V面投影中画出平行于正面的两个素线圆，再画出母线圆上最高点A和最低点C的轨迹的投影(为两条水平线)，其中内半圆的投影为不可见，应画成虚线。环面的水平投影应画出母线圆上距旋转轴最远点B和最近点D以及母线圆的圆心轨迹的投影，它们是半径不等的三个圆，其中母线圆的圆心轨迹的投影用点画线表示。

3.圆环面上点的投影

求作圆环面上的点的投影，要采用纬圆法。

例5-6　已知1/4圆环面上点A和点B的V面投影a′和b′(见图5-15(a))，求作两点的H面及W面投影。