平面立体及其表面上的点和线

5.1　平面立体及其表面上的点和线

平面立体是由若干平面多边形围成的实体。立体的各条棱线就是相邻表面的交线，立体的各个顶点就是相交棱线的交点。因此，绘制平面立体的投影，可归结为绘制它的所有多边形表面的投影，也就是绘制这些多边形的边和顶点的投影，即用降维法来思考和处理问题。多边形的边是平面立体的轮廓线，当轮廓线的投影可见时画粗实线，不可见时画细虚线；当粗实线与细虚线重合时，只画粗实线。

工程上常用的平面立体是棱柱和棱锥(包括棱台)。

5.1.1　棱柱

棱柱由两个形状大小相同且相互平行的底面和若干个平行四边形棱面所围成。相邻两棱面的交线相互平行，称之为棱线。棱线垂直于底面的棱柱为直棱柱，棱线与底面斜交的棱柱称为斜棱柱。底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱。

图5-2是一个正五棱柱的立体图和投影图。本书从这里开始，在投影图中都不画投影轴。只要按照各点的V面投影和H面投影位于铅垂的投影连线上，V面投影与W面投影位于水平的投影连线上，以及任两点的H面投影和W面投影保持前后方向的宽度相等和前后对应的所谓“三等关系”绘图，投影轴是不必画的，在实际应用中通常也不画投影轴。

图5-2　正五棱柱的投影

1.空间分析

图5-2(a)所示是一个正五棱柱，它由7个多边形(5个矩形棱面和上、下正五边形底面)、15条直线(5条棱线和上、下底面各5条边)、10个顶点(A、B、C、D、E、Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ)组成。

2.投影分析和作图

为了便于画图和读图，使它的底面平行于H面，后面的棱面平行于V面。这样，正五棱柱的H面投影是一个正五边形(图5-2(b))，上、下底面的投影重合，反映了底面的实形。五边形的五条边就是垂直于底面的五个棱面的具有积聚性的投影。

在五棱柱的V面投影中，由于它的上、下底面平行于H面，所以它们成为上、下两段水平直线。前面的左、右两个棱面ABⅡⅠ和BCⅢⅡ倾斜于V面，投影成为两个可见的变窄了的矩形a′b′2′1′和b′c′3′2′；后面的左、右棱面EAⅠⅤ和CDⅣⅢ倾斜于V面，投影成为两个不可见的变窄了的矩形e′a′1′5′和c′d′4′3′；后面的棱面DEⅤⅣ平行于V面，其投影d′e′5′4′反映该棱面的实形。棱线D4、E5在V面投影中不可见，把它们画成细虚线。

在W面投影中，五棱柱上、下底面的投影也是两段水平直线。后棱面DEⅤⅣ垂直于W面，其投影d″e″5″4″积聚成一段竖直的直线。左边的棱面EAⅠⅤ和ABⅡⅠ投射成两个可见的矩形e″a″1″5″和a″b″2″1″；右边两个棱面的投影则分别与左边两个棱面的投影重合，它们是不可见的。

作图时，应注意先画出特征投影图形。根据五棱柱的形状特点，应先画出H面投影图，即正五边形线框，再按投影关系画出五棱柱的V面投影图和W面投影图。

在图5-2(b)中，请特别注意H面投影与W面投影之间必须符合宽度相等和前后对应的关系。例如前棱线与后棱面之间的宽度为y，左右棱线与后棱面之间的宽度为y1，并且前棱线和左右棱线都分别在后棱面之前。这种H面投影和W面投影之间的关系，如图5-2(b)所示，一般可直接量取相等的距离作图，但也可用添加45°辅助线方法作图，如图5-3所示。

图5-3　斜三棱柱的投影

图5-3(a)所示是斜三棱柱的两面投影图。斜三棱柱的上、下底面都平行于H面，其H面投影反映三角形的实形，投影为△abc 和△def；它们的V面投影积聚为水平的直线段a′b′c′和d′e′f′。三条侧棱彼此平行，H面投影为ad、be和cf，正面投影为a′d′、b′e′和c′f′。该棱柱是向上、向右、向前倾斜的，由于底边EF在下边，不可见，所以H面投影中的ef画成虚线。

在图5-3(b)中，根据已知棱柱的两面投影画出了它的W面投影。作图时添加45°辅助作图线，利用此线画出各顶点的W面投影，然后连成立体的W面投影。

5.1.2　棱锥

棱锥由一个多边形底面和若干个共顶点的三角形棱面所围成。如果棱锥的底面是一个正多边形，而且顶点与正多边形底面的中心的连线垂直于该底面，这样的棱锥就称为正棱锥。

1.空间分析

图5-4(a)所示为一正三棱锥，它由4个多边形(3个等腰三角形棱面和正三角形底面)、6条直线(3条棱线和底面3条边)、4个顶点(S、A、B、C)组成。

图5-4　正三棱锥的投影

2.投影分析和作图

三棱锥的底面平行于H面，其H面投影△abc反映△ABC的实形，V面投影和W面投影积聚成水平直线段a′b′c′和a″c″b″；后棱面△SAC垂直于W面，W面投影s″a″c″积聚成一段倾斜的直线，V面投影和H面投影成为与△SAC类似的图形△s′a′c′和△sac。另外两个棱面(△SAB和△SBC)与三个投影面都斜交，它们的三个投影都是三角形，其中，W面投影△s″a″b″与△s″b″c″重影。

作图时，应先画出三棱锥的H面投影图，再按投影关系画出V面投影图和W面投影图。

注意　三棱锥的W面投影不是等腰三角形，宽度y₁和y₂应与H面投影中的宽度相等。

5.1.3　棱台

棱锥的顶部被平行于底面的平面切割后形成棱台。棱台的两个底面为相互平行的相似的平面图形。所有的棱线延长后仍应交会于一公共顶点，即锥顶。

1.空间分析

图5-5所示是一个以矩形为底面的四棱台，它由6个多边形(4个梯形棱面和上、下矩形底面)、12条直线(4条棱线和上、下底面各4条边)、8个顶点组成。

图5-5　四棱台的投影

2.投影分析和作图

由上、下底面和各棱面与投影面的相对位置可知：上、下底面为水平面，因而H面投影反映实形(两个大小不等但相似的矩形)，V面与W面的投影积聚为上、下两条水平直线；左、右棱面为正垂面，根据投影面垂直面的投影特性可知，它们V面投影积聚为左、右两条直线段，H面投影呈左、右两对称的梯形，由于左右对称，其W面投影呈等腰梯形(左右重合在一起)；前、后棱面为侧垂面，同理，在W面的投影积聚为前、后两条直线段，H面与V面投影呈等腰梯形(V面投影前后重合为一)。

作图时，应先画出四棱台的V面投影图，再按投影关系画出H面投影图和W面投影图。

5.1.4　平面立体表面上的点和直线

根据立体表面上的点的一个投影作出其在立体其他投影上的投影，不但可进一步熟悉和掌握立体的投影，而且在今后解决有关立体问题时经常要用到。在这部分内容的学习中，应注意采用升维法、迁移思维法、发散思维法等来思考和解决问题。

【迁移思维法思维提示】

在学习中，能做到“举一反三”、“触类旁通”、“由此以知彼”，这是学习中突破性的飞跃，可为以后创新性的工作打下良好的基础。在下面的学习中，要回忆、体会第2章所学知识(在平面上取点和直线的原理和方法)，并加以灵活运用。

在平面立体表面上取点和直线，其原理和方法与在平面上取点和直线相同。平面立体表面上的点和直线的可见性，取决于点和直线所在棱面的可见性，即凡位于可见棱面上的点和直线是可见的，而位于不可见棱面上的点和直线是不可见的。

求平面立体表面上的点和直线的作图步骤如下：

(1)分析点和直线位于立体的哪一个平面上；

(2)找出该点和直线的其他投影，可根据平面上取点和直线的方法求得。若所属面的投影有积聚性，则先在积聚的投影上求，若无积聚性，则过点在平面内作辅助直线求；

(3)由点、直线的两面投影，求出第三投影；

(4)分析所求点和直线的投影的可见性。

平面立体表面上的点和直线的求作方法有以下两种。

1.积聚性法

当点、直线所在的表面为特殊位置平面时，可运用积聚性投影作图。

例5-1　已知正五棱柱表面上的点A及直线BC、CD的V面投影a′、b′c′、c′d′(见图5-6(a))，求作它们的其余两投影。

分析　由V面投影a′、b′c′、c′d′的可见性和位置可知，点A在左后棱面上，直线BC、CD分别在五棱柱左前和右前棱面上，点C在最前棱线上。棱面为铅垂面，H面投影有积聚性，因此可利用水平的积聚性投影作图。

作图　如图5-6(b)所示，过a′、b′c′、c′d′向水平面作投影线，投影线与棱面的积聚投影左后面交得a，与左前面交得b，与右前面交得d，c点在最前棱线的积聚投影上。bc、cd与棱面的H面投影重合。

图5-6　例5-1图

由点A、B、C、D的V、H两面投影求得W面投影a″、b″、c″、d″。W面投影可用量取H面投影中宽度y的方法定出。

判断可见性：由于CD在右侧棱面上，其W面投影不可见，因此d″加括号，c″d″用虚线表示；点A，BC在左侧棱面上，其W面投影可见，b″c″用粗实线表示。

2.辅助直线法

当点和直线所在表面是一般位置平面时，三面投影都无积聚性，故需在平面内过点(或直线端点)作辅助直线确定该点的投影。此辅助直线是过点且位于点所在棱面上的任何直线。

例5-2　已知四棱台表面上的点D及直线AB、BC的V面投影d′、a′b′、b′c′(见图5-7(a))，求作它们的另两面投影。

分析　根据a′b′、b′c′、d′的可见性及位置可知：AB、BC分别在四棱台的前面左、右两侧棱面上；点D在后面右侧棱面上；AB平行于底边，它们的同面投影必相互平行。由于四棱台的四个棱面都是一般位置平面，所以要利用辅助直线来解题。辅助直线怎样作更好(运用发散思维法)？请读者思考。

图5-7　例5-2图

作图　如图5-7(b)所示，过a′作a′b′的延长线与左侧棱线的V面投影交于1′,过1′向水平面作投影线与左侧棱线的H面投影交于1，过1作直线与底边的H面投影平行得1b，过a′向水平面作投影线与1a相交得a，连ab即得直线AB的H面投影，运用投影规律，作出AB的W面投影a″b″。

点D和直线BC的H面投影及W面投影作图与可见性判断，请读者完成。

【发散思维法思维提示】

发散思维的特点是：灵敏，迅速，思路开阔，能随机应变，举一反三，触类旁通；能使人摆脱旧的联系，克服“心理定式”的消极影响，用前所未有的新角度去洞察事物，导致新的发现。在学习和科学研究中，运用发散思维方法，有助于拓宽思维范围，发展创造性思维能力。发散思维法的主要功能，在于使人的认识不落窠臼，敢于求异，思考问题时能不拘一格，多方设想，不断求新。思维如果欠缺发散性，就不可能为解决问题提出大量供考虑与选择的新线索，从而也就减少了创新的可能性。所以，一个人能否进行发散思维，能否冲破阻碍发散思维的外部束缚或内部定式，是能否发挥与显示创造力的一个重要环节。