曲面立体与曲面立体相交

时间：2022-10-22 百科知识版权反馈

【摘要】：相贯曲面造型的建筑物别具一格，曲面体组成的相贯体在工程设计中也是很常见的，如图7-12所示。两曲面立体相交，其相贯线一般为封闭的空间曲线，特殊情况下是平面曲线或直线。相贯线是两立体表面的共有线。相贯线的作法与图7-13相同。因此，实际所要求的孔口相贯线主要是半球面与圆柱孔口的相贯线。为了作出相贯线的另两面投影，选取水平面作为辅助平面。为了作出相贯线的另

7.4　曲面立体与曲面立体相交

相贯曲面造型的建筑物别具一格，曲面体组成的相贯体在工程设计中也是很常见的，如图7-12所示。两曲面立体相交，其相贯线一般为封闭的空间曲线，特殊情况下是平面曲线或直线。相贯线是两立体表面的共有线。求作曲面体相贯线的实质是求相贯线上的一系列共有点(在本节内容的学习中，应注意充分使用迁移思维、发散思维、猜想、升维、降维等方法来理解和解决问题)，然后依次光滑地连接，并区分其可见性。

图7-12　曲面立体与曲面立体相贯

根据两曲面立体的表面形状、曲面立体与投影面的相对位置和曲面立体之间的相对位置，求相贯线上点的常用方法有表面定点法、辅助平面法、辅助球面法。

7.4.1　表面定点法

表面定点法的实质是利用曲面的积聚性投影作图。

相交两曲面中，如果有一个投影具有积聚性，则相贯线的这个投影必位于曲面积聚投影上而成为已知，这时，可利用积聚性投影，通过表面上作点的方法作出相贯线的其余投影。

例7-6　如图7-13所示，已知直径不等的正交两圆柱的投影，求其相贯线的投影。

图7-13　例7-6图

分析　小圆柱的轴线为铅垂线，小圆柱面的H面投影积聚为圆，相贯线的H面投影重合在此圆上。大圆柱的轴线为侧垂线，大圆柱面的W面投影积聚为圆，相贯线的W面投影重合在此圆的一段圆弧上。相贯线的H面投影和W面投影已知，因此，可采用表面定点的方法，求出相贯线的V面投影。

作图　(1)求特殊点。特殊点是位于相贯线上的最左、最右、最前、最后、最高、最低及处于外形轮廓素线上的点。如图7-13(a)定出H面投影点a、b、c、d及W面投影点a″(b″)、c″、d″，根据投影规律求得最左、最右及最高点a′、b′，最前、最后及最下重合点c′、d′。

(2)求一般位置点。如图7-13(c)所示，在V面投影上取中间点1、2和3、4。由此求出其W面投影点1″、2″和3″、4″，以及V面投影点1′、2′和3′、4′。

(3)用光滑的曲线连接点a′、1′、c′、2′、b′(见图7-13(c))，即为所求相贯线的V面投影。

当两个正交圆柱的直径相差较大，作图的精确性要求不高时，为作图方便，允许采用圆弧代替相贯线的投影。圆弧半径等于大圆柱半径，其圆心在小圆柱轴线上，具体作图过程如图7-14所示。

图7-14　正交圆柱相贯线近似画法

图7-15为在圆柱体上穿通了一个圆柱孔，圆柱体外表面与圆柱孔的内表面产生相交线，以外相贯线形式出现。相贯线的作法和形状与图7-13相同。作图时应注意用虚线表示圆柱孔的内轮廓素线。

图7-15　穿孔圆柱

图7-16为室内管道常用的三通管，两圆柱外表面相贯，相贯线可见，画成实线；空心的内表面是两圆柱孔相交，其形成的内相贯线和实心圆柱的相贯线是相对应的，但因相贯线在内表面，不可见，画成虚线。相贯线的作法与图7-13相同。

图7-16　三通管

例7-7　如图7-17所示，求作半圆球与圆柱孔的孔口相贯线，并补作W面投影。

分析　半圆球的球面与圆柱孔(即内圆柱面)所形成的孔口相贯线是一条闭合的空间曲线，半圆球的底面与圆柱孔口的相贯线是一个闭合的水平圆。因此，实际所要求的孔口相贯线主要是半球面与圆柱孔口的相贯线。圆柱面垂直于H投影面，其投影积聚为圆，孔口相贯线的H面投影与这个圆重影，已知。作图时把所求的这一孔口相贯线当作是球面上的线来考虑，这样用表面定点法便可作出该相贯线的V面和W面投影。根据形体结构前后对称性可以判定，所求孔口相贯线前后对称部分的V面投影重影，W面投影为前后对称的图形。

图7-17　例7-7图

作图　作图步骤如图7-17(b)所示。

(1)求特殊点。从H面投影可直接确定相贯线上的特殊点A、B、C、D的H面投影a、b、c、d。由a、c作投影线与半球面的V面投影轮廓线相交得a′、c′，在半球面上作过点B、D的正平圆辅助线则得到b′、d′，根据投影规律，作出a″、b″、c″、d″。

(2)求一般位置点。在孔口相贯线H面投影的圆周上，确定出前后对称的四个点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的H面投影1、2、3、4，并在半球面上作过点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的正平圆辅助线，由1、2、3、4作投影线得1′、2′、3′、4′，根据投影规律作出点1″、2″、3″、4″。

(3)用光滑的曲线连接各点的同面投影。将点a′、1′、b′、3′、c′光滑地连接起来，即为所求相贯线的V面投影；将点a″、1″、b″、2″、c″、3″、d″、4″光滑地连接起来，即为所求相贯线的W面投影。

7.4.2　辅助平面法

辅助平面法的实质是采用三面共点的方法作图。

为获得相贯体的表面共有点，假想用一个平面截切相贯体，则所得两组截交线的交点(三面共点)，即为相贯线上的点。这个假想的截平面称为辅助平面。用辅助平面先求共有点后画相贯线的方法称为辅助平面法。按相交两立体的几何性质，选适当数量的辅助平面，就可得到一些共有点。通常选取投影面平行面或投影面垂直面作为辅助平面，且使所得的截交线投影是简单易画的圆或直线。

例7-8　如图7-18所示，求圆柱与圆锥的相贯线。

分析　圆柱面为侧垂面，其W面投影为圆，相贯线的W面投影在此圆上。为了作出相贯线的另两面投影，选取水平面作为辅助平面。从图7-18(a)可看出，水平辅助平面P与圆柱面交于两条直素线，与圆锥面交于和圆锥底面平行的圆。直素线与圆同在平面P内，它们的交点A、B为圆柱面、圆锥面和平面P的共有点(三面共点)，所以是相贯线上的点。作若干水平辅助平面，可得到一系列的共有点，连点成光滑曲线即为所求的相贯线。

图7-18　例7-8图

续图7-18

作图　(1)求特殊点。如图7-18(b)所示，从W面投影可直接确定相贯线上的特殊点A、B、C、D的W面投影a″、b″、c″、d″。由c′、d′作投影线与圆柱面的H面投影轴线相交得c、d；过圆柱轴线作水平辅助平面P，平面P与圆柱面的交线(两条直素线)、与圆锥面的交线(水平圆)的H面投影的交点即为A、B两点的H面投影a、b，作投影线与圆柱面的V面投影轴线相交得a′、b′。

(2)求极限点。点Ⅰ、Ⅱ是相贯线上的最右极限点，这两点的三面投影可采取表面定点的方法得到，作图过程如图7-18(c)所示。

(3)求一般位置点。采用水平辅助平面Q，求得点Ⅲ、Ⅳ的三面投影，作图过程如图7-18(c)所示。

(4)用光滑的曲线连接各点的同面投影。因为该相贯体形状前后对称，所以相贯线的V面投影前后重影，将点d′、1′、a′、3′、c′、3′光滑地连接起来，即为所求相贯线的V面投影。点a和点b是相贯线H面投影可见与不可见的分界点，因为从上往下看，只有圆柱面的上半部分与圆锥面的交线才是可见的，将点a、1、d、2、b光滑地连接成实线，将点b、(4)、(c)、(3)、a光滑地连接成虚线，即为所求相贯线的H面投影。

思考　如果在圆锥体上穿圆柱通孔，相贯线怎样作图？

例7-9　如图7-19所示，求两斜交圆柱的相贯线。

图7-19　例7-9图

分析　两圆柱的轴线相交且平行于H面，小圆柱的全部素线均与大圆柱相交，相贯线为一封闭的空间曲线。大圆柱面为侧垂面，其W面投影为圆，相贯线的W面投影在此圆上。为了作出相贯线的另两面投影，选取水平面作为辅助平面。

作图　(1)求特殊点。如图7-19(a)所示，首先求出最高、最低点B、D。它们是斜向小圆柱的最高、最低两素线与大圆柱的交点，可利用大圆柱的W面投影的积聚性求得三面投影。由于两圆柱的轴线同处于一个水平面上，H面投影中两轮廓素线的交点a、c即为相贯线的最左、最右点A、C的H面投影，作投影线求得a′、c′。

(2)求一般位置点。如图7-19(b)所示，采用水平面P₁作为辅助平面。P₁平面截圆柱面的截交线为四条直素线，它们的H面投影交点1、3即为相贯线上点Ⅰ、Ⅲ的H面投影。作投影线求得点1′、3′。

同理，采用与平面P₁对称的辅助平面P₂，可求得点Ⅱ、Ⅳ。

(3)用光滑的曲线连接各点的同面投影。因为该相贯体形状上下对称，所以相贯线的H面投影上下重影，将点a、3、b、1、c光滑地连接起来，即为所求相贯线的H面投影。点b′和点d′是相贯线V面投影可见与不可见的分界点，因为从前往后看，只有斜向小圆柱面的前半部分与大圆柱面的交线才是可见的，将点b′、1′、c′、2′、d′光滑地连接成实线，将点b′、(3′)、(a′)、(4′)、d′光滑地连接成虚线，即为所求相贯线的V面投影。

注意　在求作一般位置点时，采用了换面法。因小圆柱端面的W面投影为椭圆，不能用于准确作图。为此，在H面投影中的小圆柱的端面附近，用换面法作出小圆柱在V₁面上的新投影，便于作图。

7.4.3　两曲面立体相贯的特殊情况

两曲面立体的相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下，相贯线是平面曲线或直线。

(1)两个回转曲面共有同一轴线时，它们的相贯线为垂直于轴线的圆。在图7-20中，由于轴线为铅垂线，每一段相贯线的V面投影积聚为一条直线。