平面与立体相交

4.3　平面与立体相交

在工程中常会遇到平面与立体相交的问题，掌握这种相交形体的画法，将有助于我们正确地分析和表达机件的结构形状。

平面与立体表面相交，其交线称为截交线，该平面称为截平面。截交线是截平面与立体表面的共有线，一般为闭合的平面图形。因此，求截交线实质上就是求截平面与立体表面上的一系列共有点的集合。

4.3.1　平面与平面立体表面的相交

平面与平面立体表面相交，所得的截交线是由直线组成的封闭多边形，该多边形的边就是平面立体表面与截平面的交线，其顶点是棱线与截平面的交点。因此，要画出平面立体的截交线，只需要先作出棱线与截平面的交点，然后顺次连接，即是截交线。

例4-1　三棱锥与一正垂面相交，求截交线的投影，如图4-15（a）所示。

分析　由于截平面是一正垂面，其正面投影有积聚性，它与棱线的交点就是截平面与三棱锥的表面相交形成的多边形的顶点。将各点的同面投影相连，即可得截交线的投影。

图4-15　三棱锥的截交线

作图

（1）由正面投影可直接求得平面与棱线的交点e′、f′、g′。

（2）因为各点在棱线上，根据直线上点的投影规律，求出各个点的水平投影和侧面投影，即e、f、g和e′、f′、g′。

（3）依次连接各点的同面投影，即得截交线的投影，如图4-15（b）所示。

4.3.2　平面与曲面立体表面相交

1.平面与圆柱体表面相交

平面与圆柱体表面相交，其截交线根据截平面与圆柱体轴线的相对位置不同有三种情况，如表4-1所示。

表4-1　圆柱体截交线

例4-2　求圆柱被一正平面斜截后的截交线，如图4-16（a）所示。

分析　因为截平面与圆柱体轴线倾斜，故截交线为一椭圆。该椭圆的正面投影积聚为一直线，水平投影与圆重合，侧面投影是椭圆的类似形，不反映实形。由于截交线椭圆上的一系列点是截平面与圆柱表面上各素线的交点，所以只要求出一系列交点的侧面投影，就可以画出截交线侧面投影的椭圆。在求交点时，我们可先求出一些特殊点，就是椭圆最前、最后、最左、最右的轮廓素线与截平面的交点，这些点能够限定截交线的大小范围，即椭圆的长轴和短轴的端点。如图4-16（a）所示，A、B两点是截交线的最低、最高点，也是最左和最右点，而且还是椭圆长轴的两端点，C、D两点是截交线的最前和最后两点，也是椭圆短轴的两端点。为了使曲线准确且易于光滑连接，在特殊点之间，再任取若干点，称为一般点，如E、F、G、H点。

图4-16　圆柱被平面斜截的截交线

作图

（1）求特殊点的三面投影。由正面投影a′、b′、c′、（d′）和水平投影a、b、c、d，可求出侧面投影a″、b″、c″、d″。

（2）求一般点的三面投影。首先，在特殊点的正面投影之间，标出e′、（f′）、g′、（h′）为一般点的正面投影，然后再找出水平投影和侧面投影（如为了曲线的光滑，可多取一些点）。

（3）光滑连接b″、e″、c″、g″、a″、h″、d″、f″、b″，即得截交线的侧面投影，如图4-16（b）所示。

例4-3　求作带切口圆柱的三个投影，如图4-17（a）所示。

图4-17　带切口圆柱的投影

分析　由图可看出，切口是由几个与轴线平行和垂直的平面切割而成的，与轴线平行的平面所切截交线为直线，与轴线垂直的平面所切截交线为圆弧，所以圆柱上的截交线是由直线和部分圆弧组成的。

作图

（1）画出完整圆柱的三个投影。

（2）按截平面的位置，画出正面投影中切口的投影，因为几个截断平面是水平面和侧平面，所以它们的正面投影均积聚为直线。

（3）按投影关系作出各截断面的水平投影。

（4）由正面投影和水平面投影求出侧面投影，注意在侧面投影中量取切平面与圆柱的交线宽度y₁和y₂。

（5）可见性的判别，可见部分画成粗实线，不可见部分画成虚线。

2.平面与圆锥体相交

平面与圆锥体相交时的截交线，根据截平面与圆锥体轴线的相对位置不同，有五种情况，如表4-2所示。

表4-2　圆锥体的截交线

续表

例4-4　求正平面P截切圆锥体的截交线，如图4-18（a）所示。

分析　正平面P与圆锥体的轴线平行，则截交线是双曲线，截交线的水平投影和侧面投影都积聚为一直线，正面投影反映实形，为一双曲线。

作图

（1）求最高点A。点A在最前的素线上，正面投影在中心线上，侧面投影在轮廓素线上，由侧面投影可定出a″，再由a″求出正面投影。

（2）求最低点D、E，D、E是截平面与圆锥体底圆的交点，由水平投影可定出d、e，再由d、e求得d′、e′。

（3）求一般位置点。利用素线法，在截交线上取B点和C点，可在水平投影上取截交线上两个点B、C的投影b、c，连接sb和sc，并延长与底圆的水平投影交于m、n，则B、C也是素线SM和SN上的点，由m、n作出m′、n′，并与s′相连得s′m′、s′n′，就可由b、c分别在s′m′和s′n′上求出b′、c′。

（4）在正面投影上依次光滑连接d′、b′、a′、c′、e′，该光滑曲线即为所求截交线的正面投影，如图4-18（b）所示。

图4-18　圆锥的截交线

例4-5　求作用正垂面P截切圆锥的截交线，如图4-19（a）所示。

分析　由于截平面与圆锥的轴线倾斜，所以截交线为椭圆，它的正面投影积聚为一条直线，而水平投影和侧面投影均为椭圆，但不反映实形。

图4-19　正垂面截切圆锥的截交线

作图

（1）截交线的正面投影是一条直线，在此直线上取其最高点a′、最低点b′，这两点也是截平面与圆锥体最右和最左轮廓素线交点的投影。由a′、b′可找出水平投影a、b和侧面投影a″、b″。

（2）找取圆锥中心线与截平面的交点，即圆锥的最前和最后的轮廓素线上的点c′、（d′），由c′、（d′）可求得侧面投影c″、d″，再由c′、（d′）和c″、d″求得c、d。

（3）求一般点。过a′、b′的中点作一水平面QV，它与截平面P的交点就是截交线上的E、F，正面投影为e′、（f′）。水平面QV与圆锥的交线为一圆，在水平投影上反映实形，画出该圆的水平投影，E、F的水平投影就在该圆上，可得e、f，由e、f和e′、（f′）可求得e″、f″。用同样的方法可求得截交线上一系列的点，如图4-19（b）所示G、H点的各面投影。

（4）依次光滑地连接各点的同面投影，即可得截交线的水平投影和侧面投影，如图4-19（b）所示。

图4-20　圆球的截交线

3.平面与圆球相交

平面与圆球相交，无论平面与圆球的相对位置如何，截交线均为圆。但它的投影则根据截平面对投影面的位置不同，可能是圆、椭圆或有积聚性的直线。

当截平面平行于某投影面时，截交线在该投影面上的投影反映圆的实形，在垂直于截平面的投影面上，投影为直线，如图4-20所示。

当截平面垂直于一个投影面而倾斜于其他两个投影面时，则截交线在与截平面垂直的投影面上的投影积聚为一直线，在其他两个投影面上的投影为椭圆。

例4-6　求作用正垂面P截切圆球的截交线，如图4-21（a）所示。

图4-21　正垂面截切圆球的截交线

分析　圆球被正垂面截切，截交线的正面投影积聚为一直线，水平投影和侧面投影均为椭圆。

作图

（1）先求最高点A和最低点B，它们都在正面投影的圆与截平面投影的交点上。由正面投影a′、b′可求出水平投影a、b和侧面投影a″、b″，其中a、b及a″、b″是截交线水平投影和侧面投影椭圆短轴的端点。

（2）过a′、b′的中间作一水平面QV，它与球面的交线为一平行于水平面的圆，该圆与平面P的交点为C、D，正面投影为c′、（d′），由于平面QV与圆球的交线为一圆，且水平投影反映实形，由c′、（d′）可在该圆上求出c、d，由c′、（d′）和c、d可求出c″、d″，其中c、d和c″、d″是截交线水平投影和侧面投影椭圆长轴的端点。

（3）在截交线圆与球面上下分界圆的正面投影相交处，定出g′和（h′）。由g′、（h′）在球面的上下分界圆的水平投影上可求出g、h，由g′、（h′）和g、h求出g″、h″。

（4）在适当位置作一水平面R，在正面投影中它与截交线圆相交，交点为m′、（n′），该水平面与圆球的交线在水平投影上是反映实形的圆，由m′、（n′）可在该圆上求出m、n，由m′、（n′）和m、n，可求出m″、n″。

（5）依次光滑连接各点的同面投影，即得交线的水平投影和侧面投影，如图4-21（b）所示。

例4-7　求作半圆球上方开一长槽的投影图，如图4-22所示。

分析　长槽是由左右对称的两个侧平面和一个水平面切割而成，截交线都是圆弧，且在它们所平行的投影面上的投影反映实形。

作图

（1）由水平面PV与球面转向轮廓线圆的正面投影的交点，定出截交线圆的半径R，从而作出此圆的水平投影。

图4-22　带切口半圆球的投影

（2）由两侧平面Q与转向轮廓线圆的正面投影的交点，定出截交线圆的半径R₁，R₁＝R，即可作出此圆弧的侧面投影。

（3）水平截断面在侧面投影中为一直线，该直线的中间段不可见，侧平面截断面在水平投影中为两直线。

4.3.3　综合举例

曲面体的形式很多，除基本曲面体如圆柱体、圆锥体、圆球等以外，还有一些组合曲面体。对于这些组合曲面体的截交线的画法，首先要分析该组合曲面体由哪些基本曲面体组成，再分析截平面与每个被截平面的基本体的相对位置、截交线的形状和投影特性，然后逐个画出基本体的截交线的投影，围成封闭的平面图形。

例4-8　求顶尖的截交线，如图4-23（a）所示。

图4-23　顶尖截交线

分析　顶尖的头部是由同轴的圆柱和圆锥组成，被互相垂直的P、Q两个截平面所截切。其中截平面Q平行于轴线，截圆锥为双曲线。截平面P垂直于轴线，截圆柱的截交线为一段圆弧。

作图

（1）截交线的正面投影均积聚为直线，垂直于轴线的截断面侧面投影反映圆弧实形，平行于轴线的截断面侧面投影积聚为直线，这些可直接作出。

（2）由截交线的正面投影和侧面投影画出水平投影，首先求出双曲线的特殊点a、b、c，然后再求一般点d、e。

（3）将a、d、c、e、b各点光滑连接，并和圆柱截交线组成一个封闭的平面图形，即得到截交线的水平投影，如图4-23（b）所示。

例4-9　求作拉杆头的截交线，如图4-24所示。

图4-24　拉杆头截交线

分析　拉杆头是由同轴的圆柱、圆锥、内环面和球面四部分组成的，被两个互相平行且平行于轴线的平面截切，所得交线由圆、一般曲线和双曲线组成。这两个平面没有截到圆柱上，因此，圆柱上无截交线。

作图

（1）截交线的侧面投影积聚为直线，可直接画出。

（2）作截交线的正面投影。先由截交线上任一点A的侧面投影a″求作它的正面投影，以o″为圆心，o″a″为半径作一圆，找出与回转体相交于这个圆的辅助平面Q的正面迹线QV。这样，A点的正面投影a′就在这个圆的正面迹线QV上。同理，可得截交线上B点的正面投影。

（3）截平面与圆锥部分的交线为双曲线，双曲线的顶点c的侧面投影c″位于线段d″g″的中点，它的正面投影求法与A点相同。

（4）截平面与圆球部分的交线为圆，圆的半径可由侧面投影直接量得，等于d″g″/2。

（5）环面部分的交线是一般曲线，用辅助平面法求出一般位置点e′、f′，作法同求A点的投影相同。

（6）将各点光滑地连接成曲线并和球的截交线圆弧连成一个封闭的平面图形，即得截交线的正面投影，如图4-24所示。