两平面立体相交

8.4　两平面立体相交

在实际工程上，有不少形体是由两个或两个以上相交的基本形体组合而成的，如图8－16（a）、（b）所示是房屋建筑工程上的平面立体与平面立体相交组合的情况。要想正确画出这类形体的投影，需熟练掌握基本立体间的交线的投影分析与作图方法。

图8－16　两平面立体相贯

8.4.1　相贯线基本知识

1.相贯线的基本概念

立体与立体相交称为立体相贯，在其表面产生的交线称为相贯线，一个立体的棱线与另一个立体表面的交点称为贯穿点。参与相贯的立体，既可以是平面立体，也可以是曲面立体。因而立体的相贯有以下三种类型：

（1）平面立体与平面立体相贯，如图8－17（a）所示；

图8－17　相贯线

（2）平面立体与曲面立体相贯，如图8－17（b）所示；

（3）曲面立体与曲面立体相贯，如图8－17（c）所示。

本章介绍两平面立体的相贯，平面立体与曲面立体相贯的知识在第9章中介绍。

2.相贯线的形状

两立体相贯，当两立体的相对位置不同时，相贯线会有全贯和互贯两种不同的形状。

（1）全贯：当一个立体上的所有棱线（或素线）全部贯穿另外一个立体时，在立体的表面形成两组相贯线，这种相贯形式称为全贯，如图8－18（a）所示。

（2）互贯：当两个立体各有一部分棱线（或素线）贯穿另外一个立体时，在立体表面只形成一组相贯线，这种相贯形式称为互贯，如图8－18（b）所示。

图8－18　相贯线的类型

3.相贯线的性质

（1）闭合性：由于立体是由它的各表面围合而成的封闭空间，所以相贯线通常是闭合的图形。

（2）共有性：相贯线是两立体表面的交线，它既属于第一个立体，又属于第二个立体，相贯线上的线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面共有点的集合。

4.相贯线的作图方法

两平面立体的相贯线通常是闭合的空间折线或平面多边形（又称平面折线）。组成折线的每一直线段都是两平面立体表面的交线，折线的每个顶点则是一个平面立体的棱线与另一个平面立体表面的交点。因此，求解相贯线就是求两平面立体表面的交线及棱线与表面的交点。其作图方法有如下两种。

（1）交点法：利用直线与平面相交求交点的原理分别作出每一个平面立体的有关棱线与另一个平面立体表面的交点，再将所有交点顺次连接成折线即可。

连点原则：只有当两个交点对两个立体来说都位于同一个棱面上时才能相连，否则不能相连。即同时位于甲形体同一棱面又位于乙形体同一棱面上的两点，才能依次连接。

（2）交线法：直接利用平面与平面相交求交线的原理作出两平面立体上每两个相应棱面的交线，即可组成相贯线。

注意：两个相贯的平面立体，不一定所有的棱面都有交线，或者所有的棱线都有交点。因此，做题前首先要分析哪些棱面和棱线参与相交。

求出相贯线后，需判别投影中相贯线的可见性，其判别的原则：只有当两个立体相交的两个棱面的同面投影均可见时，其交线在该投影面上的投影才可见；若其中的一个棱面不可见，其交线在该投影面上的投影就不可见。

相贯线在投影图中的可见性应用各顶点的标记表示出来，可见的点正常表示，不可见的点加括号表示。位于立体表面或棱面积聚投影上的点一般认为其可见，但当两点重合时，相对于观察者较远的点为不可见。

5.相贯线的求解步骤

（1）空间分析及投影分析：分析已知条件，读懂投影图，分析相贯线的类型，确定折线的条数，每条折线的边数或顶点数。

（2）求交点或交线：分别用交线法求相交表面的交线或用交点法求每一立体上参与相交的棱线对另一立体表面的交点。

（3）连点成线并判别可见性：如果求的是交点，则依照一定的规则连接所求各点，并判断所连折线上各线段的可见性。

（4）整理轮廓线：修饰整理，把投影图中未参与相贯的形体的投影轮廓线按可见性加深描黑或用虚线表示，而对于穿越形体内部的轮廓线通常应去掉。

相贯的两立体通常可视为一个整体，因而一个立体位于另一个立体内部的部分互相融为一体而不必区分，故其轮廓线不必画出。必要时，可用细实线或细双点画线表示。

8.4.2　相贯线例题

【例8－9】　如图8－19（a）所示，已知两三棱柱相贯，试完成相贯线的投影。

解　（1）分析：三棱柱GHK－MNL的棱线GM、HN、KL为铅垂线，左、右两棱面为铅垂面，后棱面为正平面，其H投影均有积聚性，相贯线的H投影都重影在三棱柱的H投影上。三棱柱的ABC－DEF的棱线AD、BE、CF均与三棱柱GHK－MNL的左、右棱面相交，有6个贯穿点，而三棱柱GHK－MNL未有棱线与三棱柱ABC－DEF相交，两三棱柱全贯，形成两组闭合的相贯线。

（2）作图步骤：具体作图如图8－19（b）、（c）所示。

①求贯穿点：利用三棱柱GHK－MNL的H面积聚投影直接求得三棱柱ABC－DEF的棱线AD、BE、CF与三棱柱GHK－MNL的左、右棱面的交点的H投影1、2、3、4、5、6，根据投影关系求得V投影1′、2′、3′、4′、5′、6′。

②连贯穿点：根据“同时位于甲形体同一棱面又位于乙形体同一棱面上的两点，才能依次连接”的连点原则，在V投影上分别连接1′2′3′、4′5′6′。如点Ⅰ、Ⅱ对于三棱柱ABC－DEF而言属于同一个棱面ADEB，而对于三棱柱GHK－MNL而言也属于同一个棱面GKLM，因而其V投影1′、2′可以相连。

③判别可见性：根据“两个立体相交的两个棱面的同面投影均可见时，其交线在该投影面上的投影才可见”的原则进行判断。在V投影上，三棱柱GHK－MNL的左右棱面及三棱柱ABC－DEF的ADFC、BEFC棱面均可见，因而相贯线段1′3′、2′3′和4′6′、5′6′可见，而三棱柱ABC－DEF的ADEB棱面不可见，所以相贯线段1′2′、4′5′不可见。

④整理轮廓线：画出相贯线后，还应按投影关系对两形体参与相贯的棱线进行整理，参与相贯棱线的投影以贯穿点为分界点，穿越棱柱内的投影按规定不应画出，如棱线AD、BE、CF的ⅠⅣ、ⅡⅤ、ⅢⅥ部分的投影均不应画出。对于两形体未参与相贯的棱线，也应按可见性画出，如棱线GM、HN被棱柱ABC－DEF遮挡部分用虚线表示，而棱线KL未被遮挡用实线表示。

图8－19　两三棱柱的相贯线

【例8－10】　如图8－20（a）所示，已知两三棱柱相贯，试完成相贯线的投影。

解　（1）分析：三棱柱GHK－MNL的左、右两棱面为铅垂面，后棱面为正平面，其H投影均有积聚性，相贯线的H投影都重影在三棱柱的H投影上。三棱柱的ABC－DEF的棱线AD、BE均与三棱柱GHK－MNL的左、右棱面相交，有4个贯穿点；而三棱柱GHK－MNL的棱线KL与三棱柱ABC－DEF的上、下棱面相交，有2个贯穿点；因此，两三棱柱互贯，共有6个贯穿点，形成一组闭合的相贯线。

（2）作图步骤：具体作图如图8－20（b）、（c）所示。

图8－20　两三棱柱的相贯线

①求贯穿点Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ、Ⅴ：利用三棱柱GHK－MNL的H面积聚投影，求出三棱柱ABC－DEF的棱线AD、BE与三棱柱GHK－MNL的左、右棱面的交点的H投影1、2、5、4，根据投影关系求得V投影1′、2′、5′、4′。

②求贯穿点Ⅲ、Ⅵ：利用三棱柱GHK－MNL棱线KL的H面积聚投影，可得棱线KL与三棱柱ABC－DEF棱面BEFC、ADFC的交点Ⅲ、Ⅵ的H投影3（6）。为求其V投影，过三棱柱ABC－DEF的顶点C作铅垂辅助平面△CⅦⅧ，与该三棱柱的底边线ef、df分别交于7、8，作出c′7′、c′8′，它们与棱线KL的V投影k′l′分别交于3′、6′即为所求。

③连贯穿点：根据前述的连点原则，在V投影上分别连接1′2′3′4′5′6′。

④判别可见性：根据前述判别可见性的原则对所连相贯线的可见性进行判别，在V投影上，三棱柱GHK－MNL的左、右棱面及三棱柱ABC－DEF的ADFC、BEFC棱面均可见，因而相贯线段1′6′、2′3′和5′6′、4′3′可见，而三棱柱ABC－DEF的ADEB棱面不可见，所以相贯线段1′2′、5′4′不可见。

⑤整理轮廓线：根据前述整理轮廓线的方法对参与相贯的棱线以及未参与相贯的棱线按可见性加深描黑或用虚线表示。如棱线AD、BE、KL的AⅠ、ⅤD，BⅡ、ⅣE及KⅢ、ⅥL部分因未被遮挡应用粗实线表示，而ⅠⅤ、ⅡⅣ、ⅢⅥ部分的投影因穿入形体内部不应画出；棱线GM、HN被棱柱ABC－DEF遮挡部分应用虚线表示；而棱线CF未被遮挡应用实线表示。

【例8－11】　如图8－21（a）所示，已知三棱柱与三棱锥相贯，试完成相贯线的投影。

解　（1）分析：从V投影可知，三棱锥S－ABC的左棱线SA分别与三棱柱DEF－GHI的左、下棱面相交，有2个贯穿点（Ⅰ、Ⅴ）；三棱锥前棱线SB分别与三棱柱的上棱线EH、下棱面相交，有2个贯穿点（Ⅱ、Ⅳ）。三棱柱的上棱线EH分别与三棱锥的前棱线SB、后棱面相交，有2个贯穿点（Ⅱ、Ⅶ）；三棱柱的右棱线FI分别与三棱锥的右、后棱面相交，有2个贯穿点（Ⅲ、Ⅵ）。因此，两形体互贯，共有7个贯穿点，形成一组闭合的相贯线。三棱柱的左、右两棱面为正垂面，下棱面为水平面，其V投影均有积聚性，相贯线的V投影都重影在三棱柱的V投影上。三棱柱下棱面、三棱锥后棱面（为侧垂面）的W投影也具有积聚性，因而相贯线的W投影部分重影在这些积聚投影上。

（2）作图步骤：具体作图如图8－21（b）、（c）所示。

①求贯穿点：利用三棱柱的V面积聚投影，直接求出相贯线上各贯穿点的V面投影1′、2′、3′、4′、5′、6′、7′。利用从属性法直接求出1、（5）以及1″、2″、4″、5″；利用积聚性法直接求出（6″）、7″；利用辅助线法作辅助线（5）（4）∥ab、（4）3∥bc、（5）6∥ac、2″（3″）∥s″c″求出（4）、3、6及（3″）；利用“宽相等”通过45°斜线求出2、7。

②连贯穿点：根据前述的连点原则，在H投影上连接1234567，在W投影上连接1″2″3″4″5″6″7″。

③判别可见性：根据前述判别可见性的原则对所连相贯线的可见性进行判别。在H投影上，三棱柱的左、右棱面及三棱锥左、右、后棱面均可见，因而相贯线段12、23、67、71可见；而三棱柱的下棱面不可见，所以相贯线段34、45、56不可见。在W投影上，因三棱柱及三棱锥左棱面可见，同时三棱柱的下棱面及三棱锥的后棱面具有积聚性，因而相贯线段1″2″、3″4″、4″5″、7″1″可见、5″6″积聚为一点；而三棱柱及三棱锥的右棱面不可见，所以相贯线段2″3″、6″7″不可见。

图8－21　三棱柱与三棱锥的相贯线

④整理轮廓线：根据前述整理轮廓线的方法对参与相贯的棱线以及未参与相贯的棱线按可见性加深描黑或用虚线表示。如H投影上棱线SA的SⅠ部分因未被遮挡应用粗实线表示，而ⅠⅤ部分的投影因穿入形体内部不应画出；棱线AB、BC、AC被棱柱遮挡的部分用虚线表示。