平面立体与平面立体相交

7.1　平面立体与平面立体相交

两立体相贯时，如果一个立体全部贯穿入另一个立体，产生两组相贯线，这种情形称为全贯(见图7-2(a))。如果两立体互相贯穿，产生一组相贯线，这种情形称为互贯(见图7-2(b))。

图7-2　平面体相贯的两种情形

两平面立体相交，其相贯线在一般情况下是由若干条直线组成的封闭空间折线。每一段折线必定是两平面立体上相关的两个棱面的交线，每一个折点必定是一立体的棱线与另一立体棱面的交点。因此，求作平面立体相贯线的实质是求作线与面的交点，即求作参与相交的棱线与棱面的交点(相贯线上的折点)，将各交点依次相连，即为所求相贯线。

求作相贯线的一般步骤如下。

(1)求出相贯线上的所有交点(折点)。

①根据已知的投影图，弄清两立体在空间的相对位置；

②判定两立体上哪些棱面、棱线参与了相交；

③求出所有参与相交的棱线与棱面的交点(即相贯线上的每一个折点)。

(2)依次连接各个折点。

①连点时应注意，每一段折线都是一立体上的一棱面与另一立体上一棱面的交线，只有两点都位于两个相交的棱面上时才能相连；

②在投影图上，如果相交的两个棱面都可见，折线连成粗实线；两棱面中只要有一个不可见，折线连成细虚线。

例7-1　如图7-3(b)所示，求直立三棱柱与斜放三棱柱的相贯线。

分析　从图7-3(a)中可知，两三棱柱互贯，相贯线为一组封闭的空间折线(猜想法、立体交合思维法)。

图7-3　例7-1图

【立体交合思维法思维原理与提示】

立体交合思维法是平面扩散思维方法和线性集中思维方法的统一。平面扩散思维方法是把思维对象突破实际空间，在空间进行思考。线性集中思维方法，就是抓住思维对象中的一个个问题作穷根究底的纵深式思考，既弄清它的“来龙”，又预测它的“去脉”。

人们在开展思维活动时，平面扩散思维方法和线性集中思维方法往往相互交错结合起作用。这两种思维方法的有机结合和统一就是立体交合思维方法。其基本特点是把思维对象当作系统的整体，作纵横结合的思考，使思维对象处于纵横交错的交合点上，从而既把握对象的广泛联系，又把握对象的过去、现在和将来，既体现横向的开放性，又体现纵深的指向性。人们的思维能力和思维水平的高低，以及思维成果的大小，往往同平面扩散思维方法与线性集中思维方法结合的优化程度成正比。有的论述问题面面俱到，但缺乏深度；有的对某个问题的思考能一竿子插到底，比较深刻，但思路不开阔，灵活性差。这都是两种思维结合上有偏差造成的。这两种思维方法的优化结合，就构成一种优化的立体交合思维方法，它的思维成果必然是比较出色的。

斜放三棱柱的A棱线、C棱线参与相贯，它们与直立三棱柱的侧棱面相交有四个交点(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ)。直立三棱柱的M棱线参与相贯，它与斜放三棱柱的棱面相交有两个交点(Ⅴ、Ⅵ)。由于直立三棱柱的三个侧棱面为铅垂面，其H面投影有积聚性，相贯线的H面投影已知。根据点的投影规律，可作出相贯线的V面投影。

作图　在H面投影上定出斜放三棱柱的棱线aa₁、cc₁与直立三棱柱左、右两侧棱面的交点1、2和3、4，定出直立三棱柱棱线m与斜放三棱柱棱面的交点5(6)。根据点的投影关系可求出交点的V面投影1′、2′、3′、4′、5′、6′。分别连接1′、5′，5′、2′，2′、4′，4′、6′，6′、3′，3′、1′，即为相贯线的V面投影(见图7-3(c))。应该注意，在V面投影上，2′4′和3′1′为不可见，应该画成虚线。

注意　因为两立体相交后成为一整体，所以棱线MM₁在交点Ⅴ、Ⅵ之间应该没有线，在V面投影中5′与6′之间不能画线。

思考　图7-2(a)所示的两个全贯三棱柱，在投影图上的相贯线怎样作图？(可用迁移思维法、降维法、想象法、立体交合思维法等多种思维方法分析与思考。)

例7-2　如图7-4(a)所示，求四棱柱与三棱锥的相贯线，并完成W面投影。

分析　从图7-4(c)中可知，四棱柱完全贯穿三棱锥，两立体全贯。因此，相贯线为两组封闭折线(升维、猜想)。前面一组是空间折线，是四棱柱与棱面SAB及SBC相交所产生的。后面一组是平面折线，是四棱柱与棱面SAC相交所产生的。由于四棱柱的上下棱面平行于H面，左右棱面平行于W面，所以相贯线的各段均为水平线或侧平线。相贯线的V面投影为已知。

图7-4　例7-2图

作图　根据投影规律，先作出相贯体的W面投影。然后求四棱柱的两水平面DF、EG对三棱锥各棱面的交线。设想将四棱柱的两个水平棱面扩大为平面P₁和P₂，则它们与三棱锥的交线为两个与棱锥底面相似的三角形。三角形的端点是三棱锥的三条棱线SA、SB、SC与面P₁、P₂的交点，如图7-4(b)中的H面投影所示。这两个三角形的H面投影在棱面df及eg范围内的线段193、24和5107、68即为所求棱面DF、EG与三棱锥各棱面的交线的H面投影。

四棱柱棱面DE与棱锥的交线Ⅳ、ⅡⅥ及棱面FG与棱锥的交线ⅢⅦ、ⅣⅧ的V面投影和W面投影可以根据积聚性投影直接定出。因为线段ⅠⅤ(ⅢⅦ)与棱线SB平行，所以它们的侧面投影1″5″(3″7″)与s″b″应该相互平行。

在H面投影中，因棱锥的三个侧棱面及棱柱的上棱面都可见，所以它们的交线193、24都可见；但棱柱的下棱面不可见，因此交线5107、68也不可见。

注意　因为两立体相交后成为一整体，所以四棱柱的四条棱线在各自的两交点之间没有线，三棱锥的棱线SB在交点Ⅸ、Ⅹ之间没有线。在H面投影中，1、2两点，3、4两点及9、10两点之间不能画线，在W面投影中1″、2″两点及5″、6″两点之间不能画线。

图7-5是在三棱锥上挖切了四棱柱孔，在分析作图时，可将这个形体看成是空心的四棱柱与三棱锥相贯，作图方法与图7-4完全相同。但应注意，相贯线的H面投影全部为可见，要画成实线。还应注意，在H面和W面投影图上各有两条虚线分别表示四棱柱孔壁的投影。

图7-5　空心四棱柱与三棱锥相贯