平面及直线与平面立体相交

时间：2022-10-22 百科知识版权反馈

【摘要】：在工程上常常会遇到立体与平面相交的情形。截平面与立体表面的交线称为截交线。截交线围成的平面图形称为断面。平面截割平面立体所得的截交线，是一个封闭的平面多边形，为截平面和立体表面所共有。因此，求平面与平面立体的截交线有以下两种方法：分析　由于截平面P是一个正垂面，所以截交线的V面投影与平面P的正面迹线PV重合。从V面投影中可以看出，棱柱上被截着的平面是上顶面和四个棱面，故截交线是一个五边形。

5.3　平面及直线与平面立体相交

在工程上常常会遇到立体与平面相交的情形。如图5-17(a)所示榫头和榫槽，为了使构件紧密结合，使凸的榫头与凹的榫槽对接，就是用若干平面切割棱柱而成的。如图5-17(b)所示的铣床上的尾架顶尖，就是圆锥体和圆柱体被平面切割而成的。在画图时，为了清楚地表达它们的形状，必须画出交线的投影。同时，在用图解法解决一些空间几何问题时，也常常会遇到立体与平面、立体与直线相交的问题。在这一部分的学习中，除了要继续运用前面所提的升、降维法，迁移思维法以外，还要注意用想象法来思考和解决问题。

图5-17　平面与立体相交

【想象法思维原理与提示】

想象法是一种把概念与形象、具体与抽象、现实与未来、科学与幻想巧妙结合起来的一种独特的思维与研究的方法，它具有鲜明的创造性和新颖性。想象的具体类型主要有三种：再造想象、创造想象和幻想。科学灵感、科学直觉、科学联想、科学想象都是重要的创造性思维方法。

科学想象，就是根据现有的科学知识与实事，发挥高度的抽象与联想能力，超脱现实条件，猜测未知的客观规律，设想未知的变化过程，描绘科学发展与人类征服客观世界的奇妙远景，提出一种为人们所向往的目标与理想。

首先，科学想象具有超前性的特点。它虽然以一定的现实条件与科学知识为根据，但是这种根据毕竟不足以使它在理论上能够立即得到严格的证明，实践上立即实现。它只能作为科学发展的未来目标，人类实践将来实现的理想、蓝图或远景。并且，它只具有将来实现的抽象可能性，不存在即将实现的现实可能性。

科学想象又具有科学性的特点。它是人们从一定的现实条件与科学根据出发产生的想象、联想、猜测与幻想。科学想象虽不是现实的东西，但能借助现有的科学知识，阐明未来与现实之间的联系，阐明在将来转化为现实的各种条件。这种联系和转化，现在看来也许还不是必然的、现实的，但是这种联系与转化的可能性却是存在的。如果一种想象与现实没有任何联系，在现有科学知识中找不到任何根据，那就不是科学想象，而是胡思乱想或空想了。

在学习过程中，可以从平面图形想象被切截立体的空间形状以及被切截以前的基本体形状，还可以想象基本立体被各种位置的平面切截后的形状。

基本体被一个或多个平面截割(如图5-18(a)所示的四棱锥被一个平面截割，图5-18(b)所示的圆柱被两个平面截割)，必然在形体的表面上产生交线。

假想用来截割立体的平面，称为截平面。截平面与立体表面的交线称为截交线。截交线围成的平面图形称为断面(见图5-18)。

图5-18　截交线

5.3.1　平面与平面立体相交

平面截割平面立体所得的截交线，是一个封闭的平面多边形，为截平面和立体表面所共有。多边形的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点，多边形的边是平面立体的棱面与截平面的交线。因此，求平面与平面立体的截交线有以下两种方法：

(1)交点法　作出平面立体的棱线与截平面的交点，并依次连接各点；

(2)交线法　求出平面立体的棱面与截平面的交线。

在投影图上作出截交线后，还应注意可见性问题。截交线的可见部分应画实线，不可见部分应画虚线。

例5-7　如图5-19(a)所示，求作被截五棱柱的W面投影图和断面的实形。

分析　由于截平面P是一个正垂面，所以截交线的V面投影与平面P的正面迹线P_V重合。从V面投影中可以看出，棱柱上被截着的平面是上顶面和四个棱面，故截交线是一个五边形。五边形的五个顶点就是截平面与五棱柱的三条侧棱及上顶面的两条边的交点。

作图　截平面P与上顶面交出的一条正垂线ⅢⅣ，它的V面投影3′4′由P_V与a′b′c′d′e′相交得出，重合为一个点。根据投影规律作出其H面投影34。W面投影3″4″可利用宽度y₂相等而定出。

截平面P与四个棱面的交线的V面投影与P_V重合，而H面投影又分别与各棱面的H面投影重合。按投影规律，可以确定它们的W面投影。作图时，先求出侧棱A、B、E与平面P的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅴ的各投影，然后依次连接截交线各顶点的投影，分清各侧棱投影的可见性，描清所需要的图线，以完成被截后五棱柱的三面投影(见图5-19(b))。

注意　棱柱被截后，W面投影中b″2″和b″3″这两段图线应予除去；侧棱投影a″1″也因被截而不存在，在这位置上所画的虚线，表示侧棱C的W面投影。

为了作出断面的实形，可建立新投影面H₁平行于截平面P，作出截交线在H₁面上的投影1₁2₁3₁4₁5₁，即为所求的实形(见图5-19(c))。图中没有画出新旧投影轴，而是以断面投影的边线45和断面实形的边线4₁5₁作为基准线进行作图的。例如，新投影3₁和4₁应分别位于过正面投影中3′4′且垂直于P_V的直线上，点3₁至4₁的距离y₂取自水平投影中点3至4的距离。

图5-19　例5-7图

例5-8　完成切口正三棱锥的H面投影，补作W面投影图(见图5-20(a))。

分析和作图　按投影关系，先作出棱锥的W面投影(见图5-20(b))。水平截平面P平行于底面，所以它与棱锥面的交线是一个与底边平行的△ⅠⅡⅢ，其V面投影1′2′3′与P_V重合为一段水平线，由此可作出其H面投影△123和W面投影1″2″3″(一段水平直线)。正垂截平面Q分别与前、后棱面相交与直线ⅣⅡ、ⅣⅢ，截交线ⅣⅡ、ⅣⅢ的V面投影4′2′、4′3′与Q_V重合。由此可作出其H面投影42、43和W面投影4″2″、4″3″。

图5-20　例5-8图

注意　(1)ⅡⅢ是两个截平面的交线，其H面投影23不可见，应画成虚线。

(2)形体表面上点的投影规律可根据形体的长、高、宽归结为：长对正、高平齐、宽相等。

5.3.2　读平面立体的投影图

人们惯有的认知规律是从实物到图形，而读图则是根据已有的平面图形，把前面所学的知识串连起来，想象出物体的空间形状，画出另一个投影视图。在读图的过程中，要充分的运用前面所提到的各种思维方法，同时还要注意运用倒逆式思维法来帮助思考和作图。

【倒逆式思维法思维原理】（见4.25节）

【倒逆式思维法思维提示】

人们通常是按照事物发展的因果顺序或者认识问题的逻辑顺序去思考问题的。如解数学题，一般都从已知条件分析推导，以求得结论。而有些难题往往从结论出发，倒转来推导到已知条件，反而容易解决。算术演算自古以来都由低位算起，而速算大师史丰收却一反常规，设想从高位算起，经过十年努力，终于创造了13位数以内的加减乘除和开方、平方的速算法。史丰收的成功，在一定意义上说是“倒逆式思维方法”的成功。1820年，法国物理学家安培发现通电的螺线管具有磁石的作用。英国物理学家法拉第想，电能产生磁，为什么不能用磁来产生电?他循着这条思路去试验，终于发现了电磁感应现象，制成了世界上第一台发电机。怎样才能掌握好倒逆式思维法呢?第一，要激发和保持自己的好奇心。好奇心是一个人兴趣爱好的基石，是任何一个成功者的基本素质。好奇心的升华，就成为研究问题的强烈愿望；而这种强烈的愿望正是发明创造的动力要素。没有好奇心，也就不会倒逆思维。第二，要注意把握它的限度。我们推崇“倒逆思维”，但并不能任何时间、任何地方和任何问题，倒逆得越厉害越好，任何东西都有度的规定性，无视度的存在，就势必要走向反面。设想婴儿在试管里成长是创见，设想婴儿在牛腹中存活就荒谬了。因此，科学地运用这种思维方法，要既能倒进，也能倒出；既能逆上，也能逆下。

下面以图5-21为例，说明怎样读图思维，想象立体的空间形状，完成该立体的俯视投影图。

读图步骤：

(1)已知的两视图是由直线段组成的图线框，因此可以初步设想该立体是平面立体。找出特征视图(左视图)，采取拉伸法想象出该立体的基本形状，如图5-21(b)所示；

(2)根据主视图形状，斜切去立体的左边部分，立体形状如图5-21(c)所示；

(3)根据投影规律作图如图5-21(d)所示，图5-21(e)是作图完成的立体的三面投影图。

图5-21　平面立体读图

作图过程也是思考创作的过程，不必拘泥于某一种作图方法，作图熟练以后，可直接按投影规律一边作图，一边思考，图形完成以后，立体的形状也就出现在脑子里了。

5.3.3　直线与平面立体相交

直线与立体表面相交产生的交点，称为贯穿点。贯穿点是直线与立体表面的共有点，贯穿点必成对出现(一进、一出)，如图5-22所示。求贯穿点的问题，实质上是求线面交点的问题。

图5-22　直线与立体相交

根据直线和立体表面与投影面的相对位置不同，求贯穿点的方法有三种。

1.利用立体表面的积聚性投影求贯穿点

例5-9　作出直线AB与三棱柱的贯穿点(见图5-23)。

分析和作图　由图5-23(a)可见三棱柱的三个棱面均为铅垂面，其H面投影有积聚性，因此，直线AB与三棱柱的贯穿点M、N的H面投影m、n为已知，再按投影关系求得V面投影m′、n′。最后，判断直线AB的可见性。因为直线AB是穿过三棱柱前面的左、右两棱面，所以点M和点N的V面投影可见。直线贯穿在立体内部的部分不予画出，其余部分均画成实线。

注意　贯入立体内部的线段的投影是不必画出的，因为该线段已与实心的立体融为一体。

图5-23(a)介绍的是直线由三棱柱的左前棱面穿入，从右前棱面穿出，故而贯穿点M、N的水平投影从棱面的积聚性投影上直接可得。如图5-23(b)所示，当直线AB是从上底面穿入，从棱面穿出时，贯穿点N的V面投影n′可由上底面的V面积聚性投影直接得到，再从n′求得n，点M的投影求法同前。

图5-23　例5-9图

2.利用直线的积聚性投影求贯穿点

例5-10　作出正垂线DE与三棱锥的贯穿点(见图5-24)。

分析和作图　三棱锥的三个棱面在V面和H面都没有积聚性投影，正垂线DE由SBC棱面进入，从SAC棱面穿出。由于正垂线DE的V面投影d′e′有积聚性，故贯穿点M、N的V面投影m′、n′也积聚在d′、e′处，根据点在平面上的投影特性作图(见图5-24(c))，连接s′、d′与底边b′c′、a′c′交于1′、2′，作出s1、s2与de的交点m、n，即为贯穿点M、N的H面投影。因各棱面的H面投影均可见，所以m、n也可见，dm和ne两段都画成实线。