高等数学中空间几何体在平面上的投影区域

高等数学的主要内容是微积分，因此，积分是重要的内容.计算重积分经常要求柱面方程以及空间几何体在平面上的投影区域，且在许多应用中也需要求投影区域，因此，求空间几何体在平面上的投影区域就显得比较重要了.为了使求投影区域灵活方便多样化，于是给出如下定理.

定理4.1.1 设柱面准线Γ是封闭曲线，其方程为母线平行于方向s＝｛A，B，C｝，若方程组消去t得H（x，y，z）＝0，则该柱面围成的柱体为H（x，y，z）≤0.

证 设点（x0，y0，z0）是准线Γ上的任意一点，则过点（x0，y0，z0）平行于方向s＝｛A，B，C｝的直线方程为

所以，

故有

由于点（x0，y0，z0）在Γ上，因此也应有

将式（4－1）代入式（4－2）得

消去参数t得H （x，y，z）＝0，则方程H （x，y，z）＝0就是准线为，母线平行于方向s＝｛A，B，C｝的柱面方程，因此，该柱面围成的柱体为H（x，y，z）≤0.

显然，当s为z轴时，即s＝｛0，0，1｝，因此变为，若消去参数t时，则z也同时消去，此时得到柱体为H1（x，y）≤0，即垂直于xOy坐标面的柱体为H1（x，y）≤0.

于是得到如下推论.

推论4.1.1 曲线关于xOy坐标面的投影柱面围成的柱体为H1（x，y）≤0.

易知分别关于yOz坐标面和zOx坐标面投影柱面围成的柱体为H2（y，z）≤0和H3（x，z）≤0.

定理4.1.2 设空间几何体Ω＊是由曲面Σ1：F（x，y，z）＝0及曲面Σ2：

＊定理4.1.2中的Ω满足：用垂直于π的直线穿过Ω与边界曲面交点不多于两个.G（x，y，z）＝0围成，平面π的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，若方程组消去t得H（x，y，z）＝0，则空间几何体Ω在平面π上的投影区域E为

证 由于表示曲面Σ1：F（x，y，z）＝0与曲面Σ2：G（x，y，z）＝0的交线，所以由定理4.1.1知，H（x，y，z）＝0是以两曲面Σ1，Σ2的交线为准线，母线平行于方向s＝｛A，B，C｝的柱面方程，即关于平面π：Ax＋By＋Cz＋D＝0的投影柱面，因此，H（x，y，z）≤0就表示投影柱面围成的柱体，显然是垂直于平面π的，故H（x，y，z）≤0与平面π：Ax＋By＋Cz＋D＝0的公共部分就是交线在平面π上的投影曲线围成的区域，所以就是空间几何体Ω在平面π上的投影区域E.

当平面π分别为xOy、yOz及zOx坐标面时，则可得到推论4.1.2.

推论4.1.2 如果空间几何体Ω是由曲面F（x，y，z）＝0及曲面G（x，y，z）＝0围成的，则几何体Ω在三坐标面上的投影区域分别为和