平面基本体的投影

4.1　平面基本体的投影

立体表面都是由平面围成的基本体，叫平面基本体。例如图4-3所示的棱柱体、棱锥体。

4.1.1　棱柱体

常见的棱柱体有三棱柱、四棱柱和六棱柱。本书以正六棱柱为例进行介绍。

1.正六棱柱的三视图及投影分析图4-4所示为正六棱柱的三视图。

对此正六棱柱进行投影分析。俯视图的正六边形是正六棱柱底面和顶面的重合性投影，反映正六棱柱顶面和底面的实形。六边形的六个边和六个顶点依次是六个侧面和六条侧棱在H面上的积聚性投影。主视图的三个矩形“线框”是正六棱柱六个侧面的投影，中间的矩形线框为前、后面的重合性投影，反映前后面的实形；左、右两个矩形线框为其余四个侧面的重合性投影，是缩小的类似形。主视图中的上、下两条线分别是顶面和底面的积聚性投影，四条竖线是六棱柱六条棱柱的投影。左视图中的两个矩形线框，请读者自行分析。

2.正棱柱体表面上的点

由于正棱柱的表面都处于特殊位置，所以正棱柱表面上点的投影均可利用平面投影的积聚性求出。

判断可见性时，若该平面处于可见位置，则该平面上的点的同面投影也可见，反之则为不可见。在平面具有积聚性投影的投影面上，该平面上点的投影，可以不判断其可见性。

图4-3　平面基本体

（a）三棱柱；（b）四棱柱；（c）六棱柱；（d）四棱台；（e）三棱台；（f）四棱锥；（g）三棱锥

图4-4　正六棱柱的三视图

（a）立体图；（b）三视图

例4-1　如图4-5所示，已知正六棱柱的ABCD面上点M的V面投影m′，求该点在H面的投影m和W面的投影m″。

解　由于点M所在棱面ABCD为铅垂面，因此点M在H面投影m必在该平面H面上的积聚投影abcd上，由点m′向下作垂线，与abcd的交点即为点m。然后根据m′和m求出W面投影m″。由于ABCD面在W面投影可见，故点m″也为可见。

图4-5　求六棱柱表面上点的投影

4.1.2　棱锥体

常见的棱锥体有三棱锥和四棱锥。

1.四棱锥的三视图及投影分析

图4-6是四棱锥的三视图。

图4-6　四棱锥的三视图

（a）立体图；（b）三视图

对此四棱锥进行投影分析。俯视图上的矩形“线框”是四棱锥底面在H面上的投影，反映了底面的实形，它在V面和W面上的投影各自积聚成一条平直线，四棱锥底面为水平面；四棱锥的前、后面在W面上的投影各自积聚成一条斜线，在V面和H面的投影为等腰三角形，是缩小的类似形，是侧垂面；四条棱线在三个投影面上的投影均为斜线，是投影面倾斜线。左、右两面的投影请读者自己分析。

2.三棱锥表面的点

例4-2　如图4-7所示，已知三棱锥表面△SAB上点M的正面投影m′和△SAC上点N的水平面投影n，求作M、N两点的其他两面投影。

图4-7　三棱锥表面上一般位置点的求法

（a）题目；（b）作图方法

解　由于点N在侧垂面△SAC上，可利用该平面在侧平面上的积聚投影直接求得n″，再由n和n″求得n′。由于点N所在棱面△SAC的正面投影看不见，所以点n′也不可见。

由于点M所在的△SAB为一般位置平面，其三面投影都无积聚性，所以要采用辅助素线法求其他两面投影。其方法是过锥顶s′和m′引一直线s′1′，求出s′1′的水平投影s1，就可根据点与直线的从属关系求得点M的水平投影点m。具体作图步骤是：

1）连接s′m′并延长，与a′b′交于点1′；

2）求s′1′的水平投影s1；

3）由点m′作垂线与s1相交得点m；

4）由点m′和m，根据点的投影规律可求得点m″。

另一种作图方法是过点m′作平行于a′b′的直线m′2′，也可求得点M的水平投影m和侧面投影m″。具体作图过程请读者完成。由于点M所在的△SAB的水平投影和侧面投影都可见，所以点m和点m″也是可见的。