基本几何体的投影

§9.4　基本几何体的投影

9.4.1　平面立体的正投影

由平面多边形包围而成的立体称为平面立体。由于点、直线和平面为构成平面立体表面的几何元素，因此绘制平面立体的投影，归根结底是绘制点、直线和平面的投影。

1.平面立体正投影的画法

(1)棱柱体。

由两个平面相互平行，其余每两个相邻面的交线都相互平行的平面体，称为棱柱，如图9-33所示。平行的两个平面，称为棱柱的底面;其余的面，称为棱柱的棱面。两个相邻棱面的交线，称为棱线。

图9-33(a)是一个正六棱柱向三个投影面上投影的空间情况。为了画图方便直观，常使六棱柱的底面平行于H面，前后两棱面平行于V面，则其他棱面均为铅垂面。

图9-33(b)是六棱柱的三面投影图。由投影面平行面的平行特性可知:上、下底面的水平投影反映实形(正六边形)，顶面投影可见，底面投影不可见，正面投影、侧面投影积聚成一直线;前、后棱面是正平面，正面投影反映实形，前棱面投影可见，水平投影、侧面投影积聚成直线;六棱柱的另外四个棱面为铅垂面，水平投影积聚，正面投影和侧面投影都是其类似形，正面投影前面的两个棱面可见，侧面投影左面的两棱面可见。

六棱柱的六条棱线为铅垂线，在H面积聚;顶面和底面的四条边为侧垂线，另外八条边为水平线。

图9-33　六棱柱的投影图

由于在三面投影图中，各投影与投影轴的距离只反映物体与投影面的距离，而物体与投影面距离的大小，并不影响物体的形状表达。为了作图简便，在画立体投影图时，可以将投影轴省略不画。各投影之间的距离可以任意选定，但三个投影之间仍必须保持原有的投影关系，即正面投影和水平投影长度必须对正;正面投影和侧面投影的高度必须平齐;水平投影和侧面投影的宽度必须相等。

(2)棱锥体。

如果平面立体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这种立体称为棱锥。这个多边形称为棱锥的底面，各个三角形称为棱锥的棱面;两相邻棱面的交线，称为棱线。

如图9-34所示，是三棱锥的三面投影图。由底面和各棱投影的相对位置可知:底面ABC的水平投影abc反映实形，正面投影和侧面投影各积聚成一段水平线。SAC的侧面投影s″a″c″积聚成一段倾斜的直线，sac和s'a'c'仍为三角形(但不反映实形)。SAB和SBC的三个投影为三角形(不反映实形)，其侧面投影s″a″b″与s″b″c″重合。

图9-34　三棱锥的投影图

2.平面立体表面上的点和线

在平面立体表面上确定点和线，其方法为:首先，根据点的投影位置和可见性确定点在哪个面上。对于特殊位置平面上的点的投影，可以利用平面的积聚性作出;对于一般位置平面上的点，则需要用辅助线的方法作出。当面的投影为积聚并可见时，该面上的点视为可见点。

(1)棱柱和棱锥表面的点。

例9-9　如图9-35所示，已知六棱柱表面上点M的正面投影m'，和N点的水平投影(n)，试作出M点和N点的其他面投影。

分析:由于点m'可见，因此，M点在左前棱面上，该棱面为铅垂面，水平投影积聚，点m必在其积聚的投影上，然后再根据已知点的两面投影即可求出第三面投影的原理，求作出点m″。由于N点的水平投影不可见，得出N点在棱柱的底面上，该面的正面投影、侧面投影都积聚，因此，点n'、点n″在底面的积聚投影上。

作图步骤:

①过点m'向下作垂线，交于铅垂线的积聚性投影上，即得点M的水平投影;已知点M的两面投影，分别向侧立面引线，即可求出点m″。

图9-35　求作正六棱柱表面上的点

②过点(n)向上作垂线，交棱柱底面积聚的投影上，即得出点N的正面投影n';由点(n)向W面引辅助线，与底面积聚投影相交，即可求作出点n″。

③当面的投影为积聚并可见时，该面上的点视为可见点，因此点N的V面、W面的投影均判定为可见。

例9-10　如图9-36所示，已知三棱锥表面上K点的正面投影k'，试求K点的另外两个投影。

分析:因为点K的正面投影k'可见，又在△s'a'b'内，由此可以判定点K在棱面△SAB内，根据在一般平面内用辅助线的方法取点，即可求出点k和点k″。

图9-36　求作三棱锥表面上的点

作图步骤:

①过点k'任作一辅助线的正面投影s'd'，并求出点sd和点s″d″。

②过点k'向下作垂线，与点sd相交，即得点K的水平投影k;过点k'向右作水平线，与点s″d″相交，即得点K的侧面投影k″。

③由于棱面△SAB的水平投影和侧面投影可见，所以点k和点k″也为可见点。

(2)棱锥表面的线。

在平面立体表面上确定线段，可以根据线段上两端点的已知投影，分别求出两端点的其他投影，连接其同面投影，即为所求线段的同面投影。

如图9-37所示，在三棱锥的SAB棱面上有线段MN，已知其正面投影m'n'，则可以根据平面内确定点的方法，分别求出M、N的水平投影m，n和m″、n″，即为线段MN的水平投影和侧面投影。

图9-37　棱锥表面定线

9.4.2　曲面立体的正投影

1.曲面立体的形成及其投影

曲面可以看做是一动线在空间运动的轨迹。该动线称为母线，母线处于曲面上任一位置时，称为素线。由曲面或曲面与平面围成的立体称为曲面立体。圆柱体、圆锥体、圆球体等是最常见的曲面立体。曲面立体的投影是立体在投影方向的最大范围线，即外形轮廓线。外形轮廓线是区分曲面可见和不可见部分的分界线。

曲面立体的曲面是一系列直素线或曲素线的集合。对于由旋转构成的曲面立体，过旋转轴的平面和曲面体相交的交线是对称于轴的两条素线。垂直于轴的平面和曲面立体的交线称为纬圆。曲面立体上最大的纬圆称为赤道圆，最小的纬圆称为喉圆(或颈圆)。旋转曲面体的曲面是素线的集合，也是纬圆的集合。

(1)圆柱。

如图9-38(a)所示，圆柱可以视为矩形KLMN绕其一边KL旋转一周所形成的物体。KL的平行边MN所形成的面称为圆柱面。KL的垂直边和LN则形成圆柱的上底面、下底面。MN称为圆柱面的母线，MN在圆柱表面的任意位置停留的线称为圆柱面的素线。KL则是圆柱面的旋转轴线。

如图9-38(b)所示，是圆柱面向三个投影面投影的空间情况。

图9-38　圆柱的形成及其投影图

如图9-38(c)所示，是该圆柱面的三面投影图，轴线垂直于H面。由于圆柱面的所有素线都垂直于H面，所以圆柱面的水平投影积聚成一个圆，该圆的半径等于底圆的半径，圆心即为轴线的水平投影。需要强调的是，圆柱的水平投影——圆周，除了反映上、下两底的实形以外，还是整个圆柱面的水平投影(体现积聚性);在正面投影中，绘制出圆柱的最左素线AA1和最右素线BB1的投影aa'₁和bb'₁，以及上、下圆周的投影a'b'、a'₁b'₁，因此圆柱面的正面投影a'a'₁b'b'₁是一个矩形。

在侧面投影中绘制出圆柱的最前素线CC₁和最后素线DD₁的投影c″c″₁和d″d″₁，以及上、下圆周的投影c″d″、c″₁d″₁。圆柱面的侧面投影c″c″₁、d″d″₁也是一个矩形。作图时，应用点画线绘制出轴线的投影和圆的中心线。应尤其注意，a'a'₁和b'b'₁是前后两半圆柱面的分界线的正面投影;c″c″₁和d″d″₁是左右两半圆柱面分界线的侧面投影，二者不能混淆。

(2)圆锥。

圆锥可以视为一直角三角形SOT绕其一直角边SO旋转一周所形成的物体。斜边ST形成圆锥面;另一直角边OT则形成圆锥的底面。

如图9-39(a)所示，是轴线垂直于H面的圆锥面向三个投影面投影的空间情况。图9-39(b)是该圆锥的三面投影图。圆锥在H面的投影是圆，但没有积聚性。在V面投影中绘制出圆锥面的最左素线SA和最后素线SB的投影s'a'和s'b'，以及底圆周积聚的投影a'b';因此圆锥在V面的投影s'a'b'是一个等腰三角形。在W面投影面中绘制出圆锥面上的最前素线SC和最后素线SD的投影s″c″和s″d″，以及底面圆积聚的投影c″d″，因此圆锥在W面的投影s″c″d″也是一个等腰三角形。

圆锥面是光滑曲面，其轮廓素线SA、SB的水平投影和侧面投影，以及轮廓素线SC、SD的水平投影和正面投影，均不画出;但必须用点画线在水平投影中绘制出圆的中心线，在正面投影和侧面投影中绘制出轴线的投影。

同样应注意，s'a'和s'b'是前、后两半圆锥面分界线的正面投影;s″c″和s″d″是左、右两半圆锥面分界线的侧面投影，不能混淆。

图9-39　圆锥的形成及其投影图

(3)球体。

球体可以视为一个圆绕其自身的一条直径旋转形成的物体。

如图9-40所示，是球面向三个投影面投射的空间情况。各投影的轮廓线均为同样大小的圆。但要注意的是，它们不是球面上同一个圆的投影。

如图9-40(b)所示，是球体的三面投影图。球体的三面投影是直径都等于球的直径的圆，分别用A、B、C表示。水平投影是最大的纬圆B(即赤道圆的投影，赤道圆把球体分为上、下两半，上一半可见、下一半不可见);正面投影是平行于V面的素线的投影，该素线A把球体分成前、后两半(前一半可见，后一半不可见);侧面投影是平行于W面的素线C的投影，该素线把球体分成左右两半(左一半可见，右一半不可见)。这三个圆的其他投影均都积聚成直线，重合在相应的中心线上。

由于球面是光滑的曲面，所以圆A的水平投影和侧面投影、圆B的正面投影和侧面投影、圆C的水平投影和正面投影，均不予画出，但在各个投影中必须用点画线绘制出圆的中心线，如图9-40(c)所示。

2.曲面立体表面上的点和线

(1)圆柱表面上的点和线。

确定圆柱表面的点，可以利用投影的积聚性来求作。

例9-11　如图9-41所示，已知圆柱的三面投影，以及圆柱面上点A、B、C的正面投影a'、b'、c'，试求作其他投影。

由于圆柱面的H面投影具有积聚性，所以其水平投影必在圆周上。a'可见，说明A点在前半部分圆柱面上。b'不可见，说明点B在后半个圆柱面上。根据这些点的水平投影和正面投影，即可分别求出这些点的侧面投影。又因为A、B位于左半圆面上，所以a″b″都可见。点C位于右边的轮廓素线上，C点的水平投影c在圆的右侧，侧面投影c″落在圆柱轴线的投影上，并且在W投影面上不可见。

图9-40　球体的形成及其投影图

求作圆柱面上的线，可以先确定该线上的若干点，再以连线求作。

图9-41　圆柱面上定点

例9-12　如图9-42所示，已知圆柱面上有线段AB的正面投影a'b'，试求改线段其他投影。

由于圆柱面的水平投影有积聚性，所以线段的水平投影必在圆周上。为做W面投影，可以在线段上取辅助点(如Ⅰ、Ⅱ)。根据这些点的正面投影和水平投影即可求出侧面投影，最后用光滑曲线连接。从水平投影和正面投影可以看出，曲线的AⅡ线段在左半圆柱面上，BⅡ段在右半圆柱面上，所以直线AB在W面的投影以2″为分界点，b″2″部分为不可见，用虚线表示。

图9-42　圆柱面上定线

(2)圆锥表面上的点和线。

求作圆锥面的点，可以用素线法，或者纬圆法。

①素线法。

如图9-43(a)所示，已知圆锥面上点A的正面投影a'，求点A的水平投影和侧面投影。可以过锥顶S和点A作一辅助素线SB，连接s'a'，延长交于底圆的正面投影于b'，并求出SB的水平投影sb及侧面投影s″b″，根据点在线上的投影规律，即可求得a和a″。又由于A点在前半圆锥面和左半圆锥面上，因此，a和a″均可见。

图9-43　圆锥表面上定点

②纬圆法。

如图9-43(b)所示，过A点做一个平行于圆锥底面的辅助圆。即过a'点作水平线与圆锥两轮廓素线相交，所得线段就是该圆的直径，求出该圆的水平投影和侧面投影，即可求得点a和点a″。

在圆锥面上确定线段，应先确定该线上的若干辅助点，然后将这些点连接成光滑的曲线。

例9-13　如图9-44(a)所示，已知圆锥面上线段AD的正面投影a'd'，试求圆锥面的水平投影和侧面投影。

分析:由a'd'可知，线段AD在前半圆锥面上，其中一段在左半圆锥面上，一段在右半圆锥面上。线段AD是锥面上的一条平面曲线。线段AD所在的平面垂直V面，因此a'd'呈直线。为求ad和a″d″，可以在线段AD上描取若干辅助点，用素线或纬圆的方法求出它们的水平投影和侧面投影，最后依次用光滑曲线连接。

解题步骤:

①在a'd'上适当选取辅助点，如b'、c'等。

②C点作为关键点在选取辅助点的时候一定要包括在内，点C位于圆锥面的最前素线上，点C既是该曲线侧面投影可见于不可见部分的分界点，也是曲线的侧面投影与轮廓线的切点，能使作图更简洁。

③根据a'、b'、c'、d'，用纬圆法分别求出a、b、c、d和a″、b″、c″、d″。

④分别把a、b、c、d和a″、b″、c″、d″依次连接成光滑曲线。

⑤判别曲线的可见与不可见的关系，由于曲线的CD段在右半圆锥里，所以c″、d″不可见，用虚线段表示。

图9-44　圆锥表面上定线

(3)球面上的点和线。

在球面上取点应采用纬圆法，即通过已知的投影作球体的纬圆，也就是把点定在纬圆上。球面纬圆可以是平行于V面、H面或W面的圆。

如图9-45(a)所示，已知球面上A点的正面投影a'，求作A点的水平面投影侧面投影。

图9-45　球体表面点的投影图

首先作过点A的水平纬圆的正面投影，即一个水平圆，该投影是一通过a'的水平线段，长度等于水平纬圆的直径，在H面上以此为直径画圆，得纬圆的水平投影，a在前半圆周上，且可见。由a、a'可以求出a″，从V面投影可以看出，A在上半球左侧面上，所以a、a″是可见的。

如图9-45(b)所示，已知球面上点B的水平投影b，点C的正面投影c'，求作其他两个投影面。

首先为求B点的正面投影b'，则在该圆的水平投影面过(b)作水平线，该水平线与球面投影轮廓线相交的线段即为过B点的圆的直径，该圆的正面投影反映实形，该圆侧面投影为一条竖直线，由(b)向上作垂线，由于B点的水平投影不可见，所以判定b'在下半球的右侧表面，垂线和该圆的正面投影相交的点为所求b';已知点的两面投影，即可求出第三面投影b″，且b″不可见。

在球面上定线，应先确定该线上的若干辅助点，然后将这些点连接成光滑的曲线。

例9-14　如图9-46(a)所示，已知球面上的AD线段的正面投影a'd'，试求AD的其他两面投影。

分析:根据图面已知条件，分析在线段内是否包含特殊关键点(如在赤道纬圆或最大轮廓线上的点，如图9-46(b)所示，并且是线段可见与不可见部分的分界点)，并将其选取。根据已知点的正面投影，可以先作过点的水平纬圆的正面投影，分别是过a'、d'的水平线段，长度等于各水平纬圆的直径;在H面上以此为直径画圆，得纬圆的水平投影，根据点在线上的原理，分别找到各点，依次连接成光滑曲线，并判别其线段的可见性。

作图步骤:

①在a'd'上选取关键点，如b'、c'。

②根据纬圆法和球面投影特性，分别标示出a、b、c、d和a″、b″、c″、d″。

图9-46　球体表面线的投影图

③分别把a、b、c、d和a″、b″、c″、d″连接成光滑曲线。

④由于曲线的AB线段在下半球面，因此ab为不可见;CD线段在右半球面，因此c″d″为不可见;可见部分用实线表示，不可见部分用虚线表示。