曲面立体的投影

9.3　曲面立体的投影

曲面立体是由曲面与平面或者完全由曲面围成的基本立体。常用的基本曲面立体有圆柱体、圆锥体、圆台体、圆球体等。这些基本曲面立体都是由回转面与平面或者单纯由回转面围成的，称之为回转体。

9.3.1　圆柱体

1.圆柱体的形成

圆柱体（简称圆柱）是由两个垂直于旋转轴的平面截切圆柱面而形成，如图9－11所示。其中，圆柱面可认为是由直母线MN绕与其平行的旋转轴（又称轴线）OO₁旋转一周而形成，直母线MN旋转到圆柱面上任意位置时均称之为圆柱面的素线，因此，圆柱面上各素线均平行相等且与轴线等距；圆O、圆O₁称为圆柱体的上、下底面。

图9－11　圆柱面的形成

2.圆柱的投影画法

圆柱是由圆柱面及上、下底面构成，因此绘制其投影图就是绘制圆柱面及上、下底面的投影图。其投影表示时，除外形轮廓素线的投影外，其余素线在投影图中不予画出，投影图中对称的部分应用点画线表示其中心线。

画投影图时，首先用细点画线画出各投影的中心线、轴线，然后画出投影为圆的那个面的投影，最后根据圆柱的高度及“长对正、高平齐、宽相等”的投影关系绘出其余投影。

3.圆柱的投影分析

如图9－12所示，当圆柱轴线垂直于H面时，其H投影为一个圆。圆柱面上所有素线均为铅垂线，所有素线在H面上的投影均积聚一点，因而整个圆柱面的H投影积聚为一圆周，其半径等于圆柱的半径；圆柱面轴线的投影积聚在圆周的圆心上，规定用相互垂直且平行于投影轴的细点画线画出该圆的中心线，交点为圆心。上、下底面为水平面，其H投影与圆柱面的积聚投影重合。

图9－12　圆柱体的投影分析

圆柱的V投影为矩形，是圆柱的前半个圆柱面与后半个圆柱面的重合投影。矩形的左、右边线a′b′、e′f′分别是圆柱面的最左、最右轮廓素线AB、EF的实形投影，亦是垂直于V面的投射线形成的投射柱面与圆柱面相切所得切线的投影。矩形的上、下边线a′e′、b′f′分别是圆柱上、下底圆的积聚投影。矩形的中心线为轴线的实形投影，用点画线绘制。

圆柱的W投影同样为矩形，是圆柱的左半个圆柱面与右半个圆柱面的重合投影。矩形的左、右边线g″h″、c″d″分别是圆柱面的最后、最前轮廓素线GH、CD的实形投影。矩形的上、下边线g″c″、h″d″分别是圆柱上、下底圆的积聚投影。矩形的中心线为轴线的实形投影，用点画线绘制。

4.圆柱可见性的判别

如图9－12所示，圆柱的H投影是一个圆，该圆既是圆柱面的积聚投影，又是上、下底面的重合投影。因此，严格地讲，圆柱的H投影仅上底面及其上的点和线可见，其余表面及其上的点和线均为不可见。但通常将位于圆柱面积聚投影上的点及线认为可见，当两点重合时，相对于观察者较远的点为不可见。圆柱的V投影为前半个圆柱面与后半个圆柱面的重合投影，其前半个圆柱面及其上的点和线可见，后半个圆柱面及其上的点和线不可见。圆柱的W投影为左半个圆柱面与右半个圆柱面的重合投影，其左半个圆柱面及其上的点和线可见，右半个圆柱面及其上的点和线不可见。

5.圆柱表面上点及线的投影

圆柱表面上取点的作图原理与平面上取点的作图原理相似，即过圆柱表面上的点作辅助线，点的投影必在辅助线的同面投影上。素线是圆柱表面上最为常用的辅助线，利用圆柱表面上的素线来求点的投影的作图方法称为辅助素线法，简称素线法。当圆柱的轴线垂直于某投影面时，圆柱面在该投影面的投影积聚为一圆周，其上所有素线的投影都积聚在这个圆上。因此，在圆柱表面定点，可直接利用素线的积聚投影来作图。

如图9－13（a）所示，已知圆柱表面上的点A的V投影a′，要求其H投影a及W投影a″。如图9－13（b）所示，可过点A作素线BC交圆柱上、下底圆于B、C两点，分别作出素线BC的V、H、W三投影，则点A的H、W投影即可求得。

图9－13　用素线法在圆柱表面取点

如图9－13（c）所示，首先过点A的V投影a′作素线b′c′交圆柱上、下底圆于b′、c′；由于a′未加括号，点A位于圆柱面的左前方，点A的H投影a应位于圆柱面H面积聚投影圆周的左前部分，即素线BC的H面积聚投影b（c）及其上的a均位于圆周的左前部分，由于点A位于点B的下方，因而其H投影表示为（a）；最后作出素线BC的W投影b″c″，点A的W投影a″在b″c″上，点A属于圆柱表面的左半部分，因而a″可见。

在圆柱表面上定线，只要定出若干个特殊点（如线的端点、转向点等）及一般点的投影，再用光滑的曲线连接即可。

【例9－2】　如图9－14（a）所示，已知圆柱的三面投影及其表面上线AB的V投影a′b′，试作出AB的H、W投影。

解　（1）分析：由于A、B两点均位于圆柱表面，且点A位于左、下、前方，点B位于右、上、前方，故其连线为曲线。该曲线可视为由无数多个点组成，分别求出其端点A、B，转向点C及一般点D、E的H、W投影，在判别可见性后，再用光滑的曲线连接即为所求线的另外两投影。

（2）作图步骤：该圆柱的轴线垂直于W面，圆柱面的W投影具有积聚性，因而可利用素线法定点，具体作图如图9－14（b）所示。

①求曲线端点A、B的H、W投影：利用素线法求出a″、b″，再根据点的三面投影规律求出（a）、b。

②求曲线在上、下转向轮廓素线上的转向点C的H、W投影：点C位于圆柱最前素线上，直接由c′求出c″及c。

③求曲线一般点D、E的H、W投影：在b′c′、a′c′中部取d′、e′，然后利用素线法求出d″、e″，再根据点的三面投影规律求出d、（e）。

④判别可见性并连线：将以上求出的H投影和W投影中各点光滑连接；点C在圆柱面的上、下转向轮廓素线上，因此其H投影c是曲线的H投影可见与不可见的分界点，其中aec段不可见，应用虚线表示，而cdb段可见，用实线表示。

图9－14　在圆柱表面上取线

9.3.2　圆锥体

1.圆锥体的形成

圆锥体（简称圆锥）是由一个垂直于旋转轴的平面截切圆锥面而形成，如图9－15（a）所示。其中，圆锥面可认为是由直母线MN绕与其相交的旋转轴（又称轴线）OO₁旋转一周而形成，直母线MN旋转到圆锥面上任意位置时均称之为圆锥面的素线。圆锥面通常有上、下两支，形成倒圆锥面和正圆锥面两部分。MN与旋转轴OO₁的交点S，称为圆锥的锥顶。圆锥面上各素线均相交于点S，圆O₁称为圆锥的底面，如图9－15（b）所示。

图9－15　圆锥面的形成

2.圆锥的投影画法

圆锥是由圆锥面及底面构成，因此绘制其投影图就是绘制圆锥面及底面的投影图。表示其投影时，除外形轮廓素线的投影外，其余素线在投影图中不予画出，投影图中对称的部分应用点画线表示其中心线。

与绘制圆柱投影图一样，画圆锥投影图时，首先用细点画线画出各投影的中心线、轴线，然后画出投影为圆的那个面的投影，最后根据圆锥的高度及“长对正、高平齐、宽相等”的投影关系绘出其余投影。

3.圆锥的投影分析

如图9－16所示，当圆锥轴线垂直于H面时，其H投影为一个圆，该圆既是圆锥底圆的实形投影，又是圆锥面的投影，其半径等于圆锥底面的半径；圆锥面轴线的投影积聚在该圆的圆心上，规定用相互垂直且平行于投影轴的细点画线画出该圆的中心线，交点为圆心，锥顶S的H投影也与圆心重合。

图9－16　圆锥体的投影分析

圆锥的V投影和W投影是两全等的等腰三角形，底边是圆锥底圆的积聚投影，其长度等于底圆的直径，其高等于圆锥的高，中心线为轴线的实形投影，用点画线绘制。圆锥的V投影是圆锥的前半个圆锥面与后半个圆锥面的重合投影，等腰三角形的左、右边线s′a′、s′c′分别是圆锥面的最左、最右轮廓素线SA、SC的实形投影。圆锥的W投影是圆锥的左半个圆锥面与右半个圆锥面的重合投影，等腰三角形的左、右边线s″d″、s″b″分别是圆锥面的最后、最前轮廓素线SD、SB的实形投影。

4.圆锥可见性的判别

如图9－16所示，圆锥的H投影是一个圆，该圆是圆锥面与底圆投影的重合投影，圆锥面及其上的点和线可见，底圆及其上的点和线不可见。圆锥的V投影为前半个圆锥面与后半个圆锥面的重合投影，其前半个圆锥面及其上的点和线可见，后半个圆锥面及其上的点和线不可见。圆锥的W投影为左半个圆锥面与右半个圆锥面的重合投影，其左半个圆锥面及其上的点和线可见，右半个圆锥面及其上的点和线不可见。

5.圆锥表面上点及线的投影

在圆锥表面上取点与在圆柱表面取点一样，其作图原理与平面上取点的作图原理相似，即过圆锥表面上的点作辅助线，点的投影必在辅助线的同面投影上。圆锥表面上素线和纬圆是常用的辅助线，采用这两种辅助线来求点的投影的作图方法分别称为辅助素线法和辅助纬圆法。

如图9－17（a）所示，已知圆锥表面上的点M的V投影m′，求作其余两投影，下面采用两种方法分别作图。

（1）素线法。如图9－17（b）所示，因点M处于圆锥表面的一般位置上，为确定该点位置，可连接点M与锥顶S，并将其延长交底圆于点A，则点M位于素线SA上。作图时，首先将m′与s′连接并延长交底圆的积聚投影于a′，由于m′可见，则过m′的素线的投影s′a′亦可见，素线SA位于圆锥面左前部分，点A位于底圆的左前部分；然后过a′向下作投影连线交底圆的H投影于a，连接sa为素线SA的H投影；再过m′向下作投影连线与sa相交于m，即为所求点M的H投影；最后根据点的投影规律作出m″，作图过程如图9－17（c）所示。

图9－17　用素线法在圆锥体表面取点

（2）辅助纬圆法（简称纬圆法）。如图9－18（a）所示，为确定点M位置，可过该点作一个辅助纬圆，该纬圆将与最右轮廓素线交于点B，则点M位于该纬圆上。作图时，首先过m′作水平纬圆的正面积聚投影交圆锥最右素线于b′；然后过b′向下作投影连线交圆锥最右素线的H投影于b，以sb为半径作出该纬圆；再过m′向下作投影连线交纬圆的H投影于m，即为所求点M的H投影；最后根据点的投影规律作出m″，作图过程如图9－18（b）所示。

图9－18　用纬圆法在圆锥体表面取点

在圆锥表面上定线，只要定出若干个特殊点（如线的端点、转向点等）及一般点的投影，再用光滑的曲线连接即可。

【例9－3】　如图9－19（a）所示，已知圆锥的三面投影及其表面上线MN的V投影m′n′，试作出MN的H、W投影。

解　（1）分析：由于M、N两点均位于圆锥表面上，且点M位于左、前、下方，点N位于右、上、前方，故其连线为曲线。该曲线可视为由无数多个点组成，分别求出其端点M、N，转向点A及中间点B、C的H、W投影，在判别可见性后，再用光滑的曲线连接即为所求线的另外两投影。

（2）作图步骤：具体作图如图9－19（b）、（c）、（d）所示。

①求曲线端点M、N的H、W投影：利用纬圆法求出m，再根据点的三面投影规律求出m″；因点N位于最右轮廓素线上，可依据从属性直接求出n、（n″）。

②求曲线在左、右转向轮廓素线上的转向点A的H、W投影：点A位于圆柱最前素线上，直接由a′求出a″，再利用纬圆法或根据点的三面投影规律求出a。

③求曲线中间点B、C的H、W投影：在m′a′、a′n′中部取b′、c′，然后利用素线法分别求出b、c，再根据点的三面投影规律求出b″、（c″），点C位于圆锥面的右半部分，因而表示为（c″）。

④判别可见性并连线：将以上求出的H投影和W投影中各点光滑连接；因整个圆锥面的H投影均可见，因而曲线的H投影mbacn可见；而点A在圆柱面的左、右转向轮廓素线上，因此其W投影a″是曲线W投影的可见与不可见的分界点，其中a″c″n″段不可见，应用虚线表示，而m″b″a″段可见，用实线表示。

图9－19　在圆锥表面取线

9.3.3　圆球体

1.圆球体的形成

圆球体（简称圆球）是由圆球面围成的封闭立体，如图9－20所示。其中，圆球面是由一圆周（曲母线）以它的任意一条直径为旋转轴（又称轴线）旋转一周而形成的。

图9－20　圆球面的形成

2.圆球的投影画法

圆球是由圆球面围成，因此绘制其投影图就是绘制圆球面的投影图。圆球面的三个投影是三个投影面平面圆的实形投影，该三个投影面平行圆的其余两个投影积聚为过球心的水平线或竖直线，但在投影表示时，不绘出这两条直线，而保留球的中心线。

与绘制圆柱及圆锥投影图一样，画圆球投影图时，首先用细点画线画出各投影的中心线，然后逐个画出各投影图中外形轮廓纬圆的投影，各投影应满足“长对正、高平齐、宽相等”的投影关系。

3.圆球的投影分析

如图9－21所示，不论圆球在三面投影体系中如何放置，它的三个投影均为直径等于圆球直径的圆。但这三个圆并不是圆球上同一个圆的三个投影，而是三个过球心，在球面上互相垂直且平行于对应投影面的最大赤道圆的实形投影。

图9－21　圆球体的投影分析

圆球的H投影轮廓圆abcd是球面上平行于H面的最大赤道圆ABCD的实形投影，其中心线aec（f）是正平赤道圆AECF的积聚投影，而其另一条中心线bed（f）是侧平赤道圆BEDF的积聚投影；圆球的V投影轮廓圆a′e′c′f′是球面上平行于V面的最大赤道圆AECF的实形投影，其中心线a′b′c′（d′）是水平赤道圆ABCD的积聚投影，而其另一条中心线b′e′（d′）f′是侧平赤道圆BEDF的积聚投影；圆球的W投影轮廓圆b″e″d″f″是球面上平行于W面的最大赤道圆BEDF的实形投影，其中心线a″b″（c″）d″是水平赤道圆ABCD的积聚投影，而其另一条中心线a″e″（c″）f″是正平赤道圆AECF的积聚投影。

4.圆球的可见性判别

如图9－21所示，圆球的H投影是一个圆，该圆是上半个球面与下半个球面的重合投影，其上半个球面及其上的点和线可见，下半个球面及其上的点和线不可见。圆球的V投影也是一个圆，该圆是前半个球面与后半个球面的重合投影，其前半个球面及其上的点和线可见，后半个球面及其上的点和线不可见。圆球的W投影也是一个圆，该圆是左半个球面与右半个球面的重合投影，其左半个球面及其上的点和线可见，右半个球面及其上的点和线不可见。

5.圆球表面上点及线的投影

由于球面是曲纹曲面，表面不可能有直线，因而球面上定点时常采用纬圆法，即以过该点并与某投影面平行的纬圆为辅助线，先求出辅助纬圆的其他投影，然后根据“位于纬圆上的点，其投影必在纬圆的同面投影上”，求纬圆上点的投影。该纬圆在其所平行的投影面上的投影反映实形，在其他投影面上的投影积聚为线段。

如图9－22（a）所示，已知圆球表面上的点M的V投影m′，要求其H投影m及W投影m″。如图9－22（b）所示，可过点M作平行于H面的纬圆交平行于V面的赤道圆AECF于点Ⅰ，求出该纬圆H投影，则点M的H、W投影即可求得。

图9－22　用纬圆法在圆球体表面取点

如图9－22（c）所示，首先过点m′作平行于H面纬圆的V面积聚投影与平行于V面赤道圆的实形投影交于点1′；然后过点1′向下作投影连线交平行于V面赤道圆的H面积聚投影于1；以o为圆心，o1为半径，作出该纬圆的H面实形投影；再过m′向下作投影连线交纬圆的H投影于两点，因点m′可见，取前半圆上的一点m，即为所求点M的H投影；最后根据点的投影规律作出点m″。

在圆球表面上定线，只要定出若干个特殊点（如线的端点、转向点等）及一般点的投影，再用光滑的曲线连接即可。

【例9－4】　如图9－23（a）所示，已知圆球的三面投影及其表面上线MN的V投影m′n′，试作出MN的H、W投影。

解　（1）分析：由于M、N两点均位于圆球表面上，因而其连线是一条平面曲线，而圆球上的平面曲线都是圆或圆弧，所以m′n′是圆弧MN的投影，由于MN所处平面倾斜于H、W投影面，因而其投影均为椭圆弧。分别求出其端点M、N，转向点A、B及中间点C的H、W投影，在判别可见性后，再用光滑的曲线连接即为所求线的另外两投影。

（2）作图步骤：具体作图如图9－23（b）、（c）、（d）所示。

①求曲线端点M、N的H、W投影：因点M位于平行于V面的赤道圆上，可依据从属性直接求出（m）、m″；然后利用纬圆法求出n，再根据点的三面投影规律求出（n″）；因点M位于圆球面的下半部分，因而H投影表示为（m）；点N位于圆球面的右半部分，因而W投影表示为（n″）。

图9－23　圆球表面取线

②求曲线在平行于H面、W面赤道圆上的转向点A、B的H、W投影：点A位于平行于H面的赤道圆上，直接由a′求出a，再利用点的三面投影规律求出a″；点B位于平行于W面的赤道圆上，直接由b′求出b″，再利用纬圆法或根据点的三面投影规律求出b。

③求曲线中间点C的H、W投影：在m′a′部分取c′，然后利用纬圆法求出（c），再根据点的三面投影规律求出c″；点C位于圆球面的下半部分，因而H投影表示为（c）。

④判别可见性并连线：将以上求出的H投影和W投影中各点光滑连接；因mca位于圆球面的下半部分，因而其H投影不可见；而b″n″位于圆球面的右半部分，因而其W投影不可见。