怎么确定立体在平面的投影

时间：2022-02-13 理论教育版权反馈

【摘要】：平面与立体相交又称立体被平面截割，在立体的表面将产生交线。分析截平面与投影面的相对位置，以确定截交线的投影特性。求解时，除了要逐个求出各截平面与平面立体表面交线的投影，还应画出相邻截平面之间交线的投影。

8.3　平面与平面立体相交

在工程实践和现实生活中，经常会遇到这样的一类物体，它们可以看成是由基本立体被平面切割而形成的。如图8－10所示的榫头，为了使构件连接紧密，利用若干平面去切割四棱柱形成榫头和孔槽，以使突出的榫头与孔槽连接紧密。要想正确地画出这类物体的投影，需熟练地掌握基本立体与平面的交线的投影分析与作图方法。

图8－10　榫头

8.3.1　截交线基本知识

1.截交线的概念

平面与立体相交又称立体被平面截割，在立体的表面将产生交线。这个用来截割立体的平面称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线，由截交线围成的平面图形称为截断面或断面。如图8－11所示，三棱锥S－ABC被平面R所截割，称平面R为截平面，三棱锥S－ABC与截平面R的表面交线DE、EF、FD为截交线，截交线所围成的平面图形△DEF为截断面。

图8－11　截交线的概念

2.截交线的性质

由图8－11可以看出，立体与平面的截交线有如下两个基本性质。

（1）闭合性：由于立体是由它的各表面围合而成的封闭空间，所以截交线必定是闭合的图形。

（2）共有性：截交线是截平面与立体表面的交线，它既属于截平面，又属于立体表面，截交线上的线是截平面与立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面共有点的集合。

3.截交线的作图方法

平面立体截交线的各顶点是平面立体的各棱线或底边线与截平面的交点，其交点数是截平面与棱线、底边线的交点数以及截平面间交线与平面立体的交点数之和；截交线的各边是平面立体的各棱面、底面与截平面的交线，以及截平面与截平面的交线，其边数是各截平面所截立体表面的数量之和，即有几个表面与截平面相交就是几边形。因此，求截交线问题的实质是求线面之交点或面面之交线，其作图时有如下两种方法。

（1）交点法：首先利用直线与平面相交求交点的原理作出平面立体的棱线或底边与截平面的交点，然后把位于同一个面上的交点依次连成线段，各线段的组合即为截交线。

（2）交线法：直接利用平面与平面相交求交线的原理作出平面立体的棱面、底面和截平面的交线，以及截平面与截平面的交线。

连点成线的同时应注意判别可见性：可见棱面上的点用实线连接，不可见棱面上的点用虚线连接。

4.截交线的求解步骤

（1）空间分析及投影分析：分析平面立体在未截割前的形状以及截平面与立体的相对位置，以便确定立体是如何被截割的以及截交线的空间形状。分析截平面与投影面的相对位置，以确定截交线的投影特性。确定截交线的已知投影，预见未知投影。

（2）求交点或交线：利用交点法求出平面立体上的线与截平面的交点或利用交线法直接求出平面立体与截平面的交线；若立体被多个平面截割，还应求出截平面间的交线。

（3）连点成线：若采用交点法求解还应依次连接同一形体表面及同一截平面上的点。

（4）判别可见性：在投影图中截交线的可见性取决于平面立体各表面的可见性，位于可见表面上的交线才是可见的，应画为实线，否则交线为不可见，应画为虚线。

（5）整理轮廓线：补全可见与不可见的平面立体轮廓线，并擦除被切割掉的轮廓线。

8.3.2　平面立体被一个截平面截割

当平面立体被一个截平面截割，截交线在单一的截平面内为平面闭合多边形，截交线与截平面具有相同的投影特性。若截平面为特殊位置平面时，它在所垂直的投影面上的投影具有积聚性。因此，截交线在该投影面上的投影被积聚在截平面的积聚投影上。

【例8－5】　如图8－12（a）所示，已知正垂面P截切正六棱柱，试完成截切后的三面投影。

解　（1）分析：截平面P是正垂面，与正六棱柱的上底面和六个棱面均相交，所以截交线的空间形状为平面七边形ABCDEFG，如图8－12（b）所示。截交线的V投影与P^V重合，H投影有六条边与棱面的积聚投影重合，另一条边是正垂线DE（截平面P与上底面的交线）。

（2）作图步骤：具体作图如图8－12（c）、（d）所示。

图8－12　六棱柱的截交线

①求转折点的投影：截交线的V面积聚投影a′、b′、c′、d′、e′、f′、g′已知，根据在立体表面定点的作图方法，分别作出其H投影及W投影。点A、B、C、F、G是棱线与截平面P的交点，分别过其V投影向下作投影连线与对应棱线的H面积聚投影重合得到a、b、c、f、g，过其V投影向右作投影连线与对应棱线的W面投影相交得到a″、b″、c″、f″、g″；点D、E为上底面与截平面P的交点，分别过其V投影向下作投影连线与上底面两底边的H投影相交得到d、e，再利用宽度Y相等求出W投影d″、e″。

②连转折点并判别可见性：将位于同一棱面或底面上的两转折点依次连接，因正六棱柱的左、上部被截切，故截交线的H投影及W投影均可见，用粗实线表示。

③整理轮廓线：将W投影中未被截切掉的截断面以下部分轮廓线用粗实线表示，右棱线被截断面遮挡部分用虚线表示。

【例8－6】　如图8－13（a）所示，已知正垂面P截切正四棱锥，试完成截切后的三面投影。

解　（1）分析：截平面R是正垂面，与正四棱锥的四个棱面均相交，所以截断面为平面四边形ⅠⅡⅢⅣ，其四个顶点是截平面R与四条棱线的交点，如图8－13（b）所示。截交线的V投影与R^V重合，为截交线的已知投影，只需求其H投影及W投影。

（2）作图步骤：具体作图如图8－13（c）、（d）所示。

图8－13　正四棱锥的截交线

①求转折点的投影：截交线的V面积聚投影1′、2′、3′、4′已知，根据在立体表面定点的作图方法，分别作出其H投影及W投影。从1′向下作投影连线交左棱线SA的H投影sa得到1，向右作投影连线交SA的W投影s″a″得到1″；同理得到3及（3″），点Ⅲ的侧面投影3″由于被左棱线SA遮挡而不可见，表示为（3″）；过2′（4′）作水平辅助线交右棱线SC的V投影s′c′得到e′，由e′向下作投影连线交SC的H投影sc得到e，再过e作底边的平行线，交于前后棱线SB、SD的H投影sb、sd上分别得到2、4，过2′（4′）向右作投影连线交SB、SD的W投影s″b″、s″d″上分别得到2″、4″。

②连转折点并判别可见性：将位于同一棱面上的两转折点依次连接，因正四棱锥的右、上部被截切，故截交线的H投影1－2－3－4－1及左半部分的W投影4″－1″－2″可见，用粗实线表示，截交线位于形体右半部分的W投影4″－（3″）－2″不可见，用虚线表示。

③整理轮廓线：将截断面以下未被截切的轮廓线AⅠ、BⅡ、CⅢ、DⅣ的H投影a1、b2、c3、d4及W投影a″1″、b″2″、c″3″、d″4″的用粗实线表示。

8.3.3　平面立体被多个截平面截割

当平面立体被多个截平面截割，不仅各截平面在平面立体表面均产生截交线，而且相邻的两截平面间也要产生交线。此时，截交线为空间闭合折线。求解时，除了要逐个求出各截平面与平面立体表面交线的投影，还应画出相邻截平面之间交线的投影。

【例8－7】　如图8－14（a）所示，已知正四棱柱被两平面截切，试完成截切后的三面投影。

解　（1）分析：截平面一个为正垂面，与正四棱柱的四个棱面相交，另一个为侧平面，与两个棱面及一个底面相交，因此截交线为空间七边形ABCDEFG，有7个转折点，如图8－14（b）所示。截交线的V投影与两个截平面的V面积聚投影重合，为截交线的已知投影，只需求其H投影及W投影。

（2）作图步骤：具体作图如图8－14（c）、（d）所示。

图8－14　正四棱柱的截交线

①求转折点的投影：截交线的V面积聚投影a′、b′、c′、d′、e′、f′、g′已知，根据在立体表面定点的作图方法，分别作出其H投影及W投影。点A、B、G是正垂截平面与棱线的交点，利用“长对正”的投影规律求出a、b、g，利用“高平齐”的投影规律求出a″、b″、g″；点D、E为侧平截平面与上底面底边线的交点，利用“长对正”的投影规律求出d、e，再利用“宽相等”及“高平齐”的投影规律求出d″、e″；点C、F是两截平面的交线与棱面的交点，利用“长对正”的投影规律求出c、f，再利用“宽相等”及“高平齐”的投影规律求出c″、f″。

②连转折点并判别可见性：将位于同一截平面且位于同一棱面或底面上的两转折点依次连接；两截平面交线与棱面的交点也应连接。因正四棱柱的左、上部被截切，故截交线的H投影及W投影均可见，用粗实线表示。

③整理轮廓线：将W投影中未被截切掉的截断面以下、以右部分轮廓线用粗实线表示，右棱线被截断面遮挡部分用虚线表示。

【例8－8】　如图8－15（a）所示，已知正三棱锥被两平面截切，试完成截切后的三面投影。

解　（1）分析：截平面P、Q分别是水平面和正垂面，均与正三棱锥三个棱面相交，因此截交线为空间六边形ⅠⅡⅢⅣⅤⅥ，有6个转折点，如图8－15（b）所示。其中交点Ⅰ、Ⅱ为水平截平面P与棱线SA、SB的交点，交点Ⅳ、Ⅴ为正垂截平面Q与棱线SB、SA的交点，交点Ⅲ、Ⅵ是两截平面的交线与正三棱锥的右前、正后棱面的交点。截交线的V投影与截平面的V面积聚投影重合，为截交线的已知投影，只需求其H、W投影。