把辅助线作到空间中去的平面几何问题

平面几何问题的证明手段无奇不有。有要作辅助线的，有要作辅助圆的，有需要旋转和翻折的……不过，你见过把辅助线作到三维空间中去的问题吗？有时候，一个平面几何问题，放到三维空间中去思考反而会更容易一些。先讲一个我最喜欢的例子吧。

问题 平面上有 4条直线，任意 2条不平行，任意 3条不共点。A、B、C、D这4个人分别在这4条直线上匀速行走（他们的速度可以不相同）。若A在行走过程中与B、C、D相遇，B在行走过程中与C、D相遇（当然也遇见了A），求证C、D在行走过程中相遇。

证明 作垂直于平面的直线作为时间轴，建立三维直角坐标系。由于4个人均匀速行走，因此他们的位置-时间图像是线形的。我们可以在空间中作出 A、B、C、D这4个人的位置与时间关系的图像，并分别命名为 l_a、l_b、l_c、l_d。这样，我们就能从这4条空间直线中轻易判断某一时刻4个人的位置。例如，空间中P点（x，y，t）在直线l_c上，则表明在t时刻C走到了（x，y）的位置。接下来就精彩了。A、B不是曾经相遇过吗？这就是说，l_a和l_b将会相交。这两条相交直线可以确定一个平面。C不是与A、B都相遇过吗？那就是说，l_c与 l_a、l_b都相交。于是，l_c也在这个平面上。同样地，l_d也在这个平面上。既然它们全部都共面，l_c、l_d必然会相交，即C、D将会相遇，结论得证。

如果你说，这个问题不算纯粹的平面几何问题的话，那就来看看下面这个问题吧。

问题 如图 1 所示，三角形 ABC 是等边的，P 为三角形内接圆上一点。求证，AP²﹢BP²﹢CP²为常数。

图1

证明 如图2所示，把整个图形放在三维空间里，其中A＝（1，0，0），B＝（0，1，0），C＝（0，0，1）。因此，三角形ABC位于平面x﹢y﹢z＝1上。图中的内接圆即为某个以原点为球心的球面x²﹢y²﹢z²＝r与该平面相交所得（其中r是某个常数）。

图2

如果把 P点的坐标记作（x⁰，y⁰，z⁰），由于它既在三角形上又在球面上，因而它将同时满足x⁰﹢y⁰﹢z⁰＝1和。于是，我们有：

结果是一个常数。

把平面问题扩展到三维空间，也不都只是为了借用空间直角坐标系这一工具。空间几何中的一些已知结论，也能在平面几何问题中派上用场。

问题 如图 3所示，考虑平面上的一个任意三角形 ABC，以及异于 A、B、C三点的一个点P。X、Y、Z分别是P点关于BC、AC、AB三边的中点的对称点。求证：AX、BY、CZ共点。

图3

证明 如图4所示，考虑空间中的一点P'使得PP'垂直于平面ABC。作出P'关于BC、AC、AB三边中点的对称点X'、Y'、Z'。容易看出，四边形P'AY'C、P'BZ'A和P'CX'B都是平行四边形。那么，A、B、C、P'、X'、Y'、Z'就成了一个平行六面体的其中七个顶点。AX'、BY'、CZ'是平行六面体的三条体对角线，它们是共点的。现在，把 P'、X'、Y'、Z'全部投影到平面ABC上，就是我们想要的结论了。

图4

一些非常经典的初等几何定理也有让人意想不到的“空间解法”。

问题 如图5所示，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AC、AB所在直线上，若D、E、F三点共线，则有。

证明 如图 6所示，过 DEF所在直线作一个新的平面。分别过 A、B、C作原平面的垂线，与新的平面交于点A'、B'、C'。由相似三角形的关系不难看出，，并且，另外还有。三个等式乘在一块儿，结论得证。

图5

图6

上面这个定理叫做梅涅劳斯（Menelaus）定理，是平面几何中一个非常重要的定理，我们常常用它来判断三点共线。梅涅劳斯定理的证明方法有很多，上面这种方法恐怕是最帅的一种了。它解决了其他证明方法缺乏对称性的问题，完美展示了几何命题中的对称之美。

下面则是另一个经典的几何定理，它叫做蒙日定理，是由法国数学家加斯帕德·蒙日（Gaspard Monge）首次发现的。如果是第一次看到这个定理，你一定会被它深深地迷住；而它的空间证明方法，则更是叫人为之倾倒。

问题 如图7所示，平面上有三个互相分离的圆，其中任意两个圆都有两条公切线，这两条公切线交于一点。显然，这样的交点共有三个。求证，这三点共线。

图7

证明 如图8所示，在这个平面的三个圆上放置三个球，每个球的半径都等于它底下的那个圆的半径。显然，这个平面是这三个球的一个公切面。再把三组公切线想象成这三个球两两确定的三个圆锥在平面上的投影。显然，三个圆锥的顶点都在这个平面上，我们要证明的就是，这三个顶点是共线的。注意到这三个球还有另一个公切面（想象一块薄玻璃板从上面盖下去），三个圆锥的顶点也都在这个公切面上。而这两个公切面的公共部分就是它们的交线，因此三个顶点必然都在这条交线上。

图8

最后让我们来看一个例子。下面这个平面几何问题乍看之下也很难解决，但借助“辅助球”的思想，结论变得几乎是平凡的了。

问题 平面上三个圆两两相交。试证明三条公共弦共点（见图9）。

图9

证明 分别以这三个圆为“赤道面”，作出三个球体。我们把这三个球的球心（也就是原问题中的三个圆心）所确定的平面（也就是原问题的图形所在的平面）记作α。注意到，每两个球面将会相交于一个圆圈，它们在α上的投影就是那三条公共弦。而三个球面将会交于两个点（这两个点一上一下，关于α对称），并且这两个点都同时属于空间中的三个圆圈。从投影的角度来看，这就是说，在平面α上存在一个点，它同时属于那三条公共弦。这就说明了三条公共弦交于一点。

图10