点在平面上的投影怎么求空间

2．7．1　轴测投影的基本知识

在工程上广泛应用的正投影图（三视图），可以准确完整地表达出立体的真实形状和大小（如图2．7．1（a）所示）。即它作图简便，度量性好，这是它最大的优点，因此在实践中得到广泛应用。但是它立体感差，对于缺乏读图知识的人难以看懂。而轴测图（立体的轴测投影图）能在一个投影面上同时反映出物体三个方面的形状，所以富有立体感，直观性强，但这种图不能表示物体的真实形状，度量性也较差（如图2．7．1（b）所示），因此，常用轴测图作为正投影图的辅助图样。在土建工程中，给排水、暖通等的管道系统图常以轴测图为主要表达方法。

图2．7．1　正投影图与轴测图的比较

（a）正投影图；（b）轴测图

1．轴测投影的形成

根据平行投影的原理，把形体连同确定其空间位置的三根坐标轴OX、OY、OZ一起，沿不平行于这三根坐标轴和三个坐标面的方向S₁，投射到新投影面P上，所得的投影称为轴测投影（图2．7．2）。

图2．7．2　轴测投影的形成

投影面P称为轴测投影面，三根坐标轴OX、OY、OZ的轴测投影O₁X₁、O₁Y₁、O₁Z₁称为轴测轴，轴测轴之间的夹角∠X₁O₁Y₁、∠X₁O₁Z₁、∠Y₁O₁Z₁称为轴间角，轴测轴上某段长度和它的实长之比p、q、r称为轴向变形系数，轴测坐标面X₁O₁Y₁、X₁O₁Z₁、Y₁O₁Z₁为直角坐标面的轴测投影。次投影是指空间点、线、面正投影的轴测投影。正面投影的次投影称为正面次投影，同样有水平面次投影、侧面次投影。

2．轴测投影的特性

①平行性。凡在空间平行的线段，其轴测投影仍平行。其中在空间平行于某坐标轴（X、Y、Z）的线段，其轴测投影也平行于相应的轴测轴。

②定比性。点分空间线段长之比，等于其对应轴测投影上点分投影长之比。

③从属性。点属于空间直线，则该点的轴测投影必属于该直线的轴测投影。

④空间线段长之比，等于其对应轴测投影长之比。

3．轴测投影的分类

轴测图按照投影方向S与轴测投影面P是否垂直，可以分为正轴测图和斜轴测图。用正投影法（投影方向与轴测投影面垂直）得到的轴测投影称为正轴测图，用斜投影法（投影方向与轴测投影面倾斜时）得到的轴测投影称为斜轴测图。

根据轴向伸缩系数的不同，又可分为正等测、正二测、斜等测、斜二测等。

由于三测图作图极繁，很少采用，本章仅介绍广泛采用的正等测图、斜等测图和斜二测图。

4．轴测图画法

轴测图画法有以下三种。

①坐标法：根据物体的尺寸或顶点的坐标画出点的轴测图，然后将同一棱线上的两点连成直线即得形体的轴测图。

②切割法：先画出基体，然后确定切平面位置，擦去被切的部分。

③综合法：将坐标法和切割法综合使用。

画线段的轴测图，要先画出线段端点的轴测图。而在画点的轴测图时，一定要根据点的坐标值计算出点的轴测坐标值，再沿轴测轴测量，才能画出点的轴测图。这种沿轴测轴测量定位的方法，是画轴测图最基本的方法。