平面势流的叠加

对于一些简单的平面势流，可以求得它们的复势以及速度势函数和流函数，对于较复杂的流动，直接求解往往很困难。通过把已知基本流动的解进行线性叠加来寻求复杂流动的解是一种很常用的方法。例7-8和例7-10都是运用叠加方法求解的例子。本节介绍几种典型基本流动的叠加组合，这几种叠加解都具有一定的实际应用背景。

1.直线流与点源流的叠加

把沿x轴正方向，速度为V∞的均匀直线流与位于坐标原点，强度为Q的点源流叠加，根据式（7.52）和（7.57），其复势

相应的速度势函数和流函数

令ψ=C，得到流线方程。图7-25所示是均匀直线流的流线（平行于x轴的直线）、点源流的流线（自点O向外的射线）以及两者叠加后的流线（曲线）。

流线方程中常数C取不同的值，它给出不同的流线。从理论上说，由于流体的流动不会穿过流线，因此可以把流场中任意一条流线看成是物体的壁面，但是当流体绕物体流过时在物体前端的壁面上会存在着驻点（即速度等于零的点），因此把过驻点的那条流线当成物体壁面更具有实际意义。为了求出过驻点的流线，首先求驻点的位置。采用极坐标，由式（7.38）求出速度

图7-25 直线流与点源流以及两者的叠加

均匀直线流与点源流叠加后其流线分为两组，一组由坐标原点O引出，另一组来自上游，两组流线由过驻点S的流线分开。可以把过驻点的那条流线当做物体壁面，于是所讨论的叠加解对应于绕半无穷钝头物体的流动。过驻点流线的外侧是流场区域，上面求出的解在流场区域中才有意义。

2.螺旋流

把位于原点、强度为Q的点汇与位于原点、强度为Γ的点涡叠加，根据式（7.57）和（7.61），其复势螺旋线由外向内流向同一点，因此这种流动称为螺旋流。水轮机引水室内的旋转水流、旋风燃烧室中的旋转热气流以及除尘器中的旋转气流都可以简化为这种螺旋流。如果用点源流与点涡流相叠加，流体沿螺旋线由内向外流动，水泵压水室内的旋转水流就是这种螺旋流。由于流线是对数螺旋线，把水泵涡壳做成对数螺线形可以减小壳内流动的损失。

3.均匀流绕圆柱体的无环量流动

把沿着x轴正方向、速度为V∞的均匀直线流与位于坐标原点、强度为M的偶极子相叠加，由式（7.52）和（7.63），叠加后的复势

图7-27 绕圆柱体的无环量流动

将压强在x和y方向的投影分量分别沿整个圆表面积分，得到来流方向和垂直于来流方向的压强合力。来流方向的压强合力就是圆柱体在静止流体中运动时流体对它所作用的阻力，垂直于来流方向的压强合力则称为升力。注意到流体在圆表面上的压强分布前、后对称，上、下对称，于是很容易得到以下结论：在均匀来流绕圆柱体无环量流动时，圆柱体上既没有流体所作用的阻力，也没有升力。由于是在忽略流体粘性影响的基础上假设流动无旋的，因此上述结论仅对于理想流体的绕流运动适用。常识告诉我们，任何物体在流体中运动都会受到流体所作用的阻力。这是因为真实流体都具有粘性，粘性流体绕圆柱体流动时，流体与圆柱表面之间存在着摩擦阻力，而且从前驻点开始在圆柱体表面形成逐渐加厚的边界层，当边界层发生分离则会在圆柱体后面形成尾涡区，这就导致后半圆表面上的压强下降，从而又产生压差阻力。与此相关的内容已在第四章中介绍过，图4-37给出了理想流体和粘性流体绕圆柱流动时柱表面的压强的分布。

虽然绕圆柱势流的阻力计算结果与实际现象不相符合，但是研究这种流动仍然具有重要的意义，因为它是研究粘性流体绕流现象的基础。

4.均匀来流绕圆柱体的有环量流动

如果把圆柱无环量绕流流场上再叠加一个位于圆心的平面点涡，则所有的边界条件仍然可以得到满足。因为在点涡流中，无穷远处的速度为零，圆周上没有法向速度，叠加任意强度的平面点涡流后，得到的还是均匀来流绕圆柱体流动的势流。可见，圆柱绕流的势流解并不是惟一的。现在叠加一个强度为Γ的点涡，流动的复势可以写为

由此求出速度分量

在上两式中令r=R，得到圆表面的法向和切向速度分量

由于圆表面切向速度分布改变了，所以驻点的位置也会相应地发生变化，新的驻点位置取决于点涡强度Γ。

当0＞Γ＞-4πRV∞时，速度环量沿顺时针方向。设驻点在圆表面θ=θ0处，在式（7.83b）中令vθ=0，得

其中，θ0有两个解，所对应的两个驻点分别位于坐标平面内的第三象限和第四象限，如图7-29（a）的点A和点B所示。随着点涡强度|Γ|增大，两个驻点沿着圆壁面同时向下移动。当Γ=-4πRV∞时，两个驻点在圆的下壁面中央相遇，此时θ0只有一个解。驻点位置如图7-29（b）所示。随着点涡强度|Γ|继续增大，当Γ＜-4πRV∞时，驻点离开圆壁面继续向下移动。此时θ0没有解。这说明驻点已经不在圆壁面上了。由图7-29（c）中的流

图7-29 绕圆柱体的有环量流动

（a） 0＞Γ＞-4πRV∞ （b） Γ=-4πRV∞ （c） Γ＜-4πRV∞

线交叉点可知，流场中存在一个驻点，它位于圆的下方。

沿包围圆柱体半径为r的圆形封闭曲线的速度环量

环量不等于零，它等于点涡的强度。在这种流动中，沿包围圆柱体的任意封闭曲线的速度环量都不为零，因此称它为有环量绕流。

把式（7.83）中的圆表面速度代入伯努利方程，得到圆表面的压强分布为

把压强投影到x方向，并沿圆表面积分就得到阻力，阻力的大小为

实际上，由图7-29可以看出，流动对称于y轴，所以阻力必然为零。把压强投影到y方向，积分后得到升力

升力的大小等于流体密度、来流速度和速度环量三者的乘积。这就是著名的库塔-儒柯夫斯基（Kutta-Joukowsky）定理。升力的方向为：由来流方向逆环量方向旋转90°，如图7-30所示。

旋转的圆柱体在静止流体中运动时，柱体表面上的流体在粘性作用下随柱体一起旋转，如果流动不发生分离，它就相当于圆柱体的有环量绕流，因此，旋转圆柱体向前运动时会受到垂直于运动方向的横向力。德国物理学家马格努斯（G.Magnus）在1852年通过试验首先发现了这一现象，因此许多人都把这种现象称为马格努斯效应。库塔-儒柯夫斯基定理对马格努斯效应给予了理论上的证明。旋转的圆球形物体同样也会产生马格努斯效应，例如，旋转的排球、足球、乒乓球等会在横向力的作用下改变其飞行方向。

图7-30 绕圆柱体有环量流动的升力