基本的平面有势流动

本节研究几种简单的不可压缩流体的平面势流，也就是平面基本流动。基本流动的解也称为势流基本解。不可压缩流体势流的解是可以叠加的，通过把基本解进行线性叠加来寻求复杂流动的解是一种很常用的方法，由基本解叠加原理发展出来的有限基本解法和奇点分布法等也是工程中常用的数值求解方法。除此之外，基本流动本身也具有一定的物理意义，它是自然界中某些真实流动现象的近似。

1.均匀直线流

考虑速度为V∞的均匀直线流动，流动方向与x轴正方向的夹角为α，如图7-15所示，直角坐标系中的两个速度分量

2.平面点源流和点汇流

取极坐标系（r， θ），考虑自坐标原点均匀流向各方的流体运动。在流场中，vθ=0，单位时间内通过以坐标原点为圆心，任意r为半径的圆周的体积流量Q相等，因此径向速度分量对于这种流动，通常说在坐标原点处有一点源，它所引起的平面流动称为点源流，而流量Q则称为点源强度。

如果水平面上有一泉眼，水从泉眼涌出后在水平面上均匀地流向四周，又如果泉眼的横截面积很小，它可以近似地看成一个点，则平面上的流动就是上面所定义的点源流，而泉水的体积流量就是点源强度。

如果水平面上有一小孔，水从四周均匀地流向小孔，并从小孔漏下，则平面上的流动是点汇流。

由极坐标系中速度势函数与速度之间的关系式（7.32）以及流函数与速度之间的关系式（7.38），得积分，得

分别令速度势函数φ和流函数ψ等于常数，又得到等势线和流线。图7-16（a）、（b）分别给出了点源流和点汇流的等势线及流线。显而易见，以点源（或点汇）为圆心的同心圆是等势线，由点源（或点汇）引出的射线则是流线，流线上的箭头分别给出了两种流动的速度方向。

图7-16 点源和点汇的等势线、流线及速度方向

（a）点源 （b）点汇

由速度势函数和流函数组合得到复势

②位于点（0，-2）的点源和点涡，点源强度为Q=2π，点涡强度为Γ=-2π；

③位于点（0，2）的点源和点涡，点源强度为Q=2π，点涡强度为Γ=-2π。

例7-10设流场中有一强度为Γ的点涡，距点涡h处是一无限长的平壁，求平壁上的速度分布。

解 取坐标如图7-21所示，在平壁上y=0，在点涡处x=0，y=h。

由式（7.62），当强度为Γ的点涡位于x=0，y=h，所对应的复势

偶极子是有方向的，β就是偶极子的方向角，它是由点汇指向点源的矢量的方向角，如图7-23所示。为简单起见，只研究β=π的情况，此时点源沿x轴的正方向由左至右向点汇无穷趋近，偶极流的复势

将复势的实部和虚部分开，得到速度势函数和流函数

令φ=C1和ψ=C2分别得到等势线方程和流线方程

图7-24是平面偶极流的等势线和流线，对称于y轴的左、右两族圆周线是等势线，对称于x轴的上、下两族圆周线是流线。所有的圆周线都相切于偶极子。由于偶极子是由两个具有奇点的基本解叠加而组成，因此偶极子同样也是一个奇点。

当偶极子位于点z0，则复势

图7-24 平面偶极流

在势流的求解过程中，经常把偶极流作为叠加解中的一个基本单元。另一方面，由于解析函数求导后仍然是解析函数，因此可以通过对基本解的复势函数求导数来构造新的基本解。这样的基本解又称为高阶基本解。事实上，对比式（7.57）和（7.63）不难看出，偶极流的复势正是点源（汇）流复势的一阶导数，因此，偶极流也是由点源（汇）流所构造的高阶基本解。由于上述原因，尽管偶极流是由点源流和点汇流叠加而组成，通常还是把它归类为基本解。

分析点源（汇）流、点涡流和偶极流还可以发现，它们在无穷远处的速度都趋于零。将这些基本流的流场与别的流场相叠加时，在无穷远处速度具有渐近性，因此，只需要考虑在叠加后的流场中物面边界条件是否得到满足，而不必担心叠加这些基本解后会改变无穷远处的速度边界条件。另外，这三个基本解都具有奇异性，都会在奇点上出现无穷大的速度。由于真实流场中不应该出现无穷大的速度，因此一般要把奇点布置在流场之外（物体区域内）。