曲面立体及其表面上的线和点

2．6．3　曲面、曲面立体及其表面上的线和点

1．曲面

1）曲面的概念、形成及分类

与平面相区别，不是平面的“光滑面”统称为曲面。曲面可以看成是描绘一条动线的连续轨迹。它也可以看成是—系列曲线的集合。在一定的约束条件下，产生曲面的动线称为母线。在形成曲面轨迹中任一位置的母线统称为素线。控制（或约束）母线运动的点、线、面分别称为定点、导线和导面，它们统称为导元素。导线可以是直线或曲线，导面可以是平面或曲面。如图2．6．6所示，规则曲面中，确定曲面形状的几何要素是母线和导元素，只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影，就可确定一个曲面。因为母线和导元素确定后，形成的曲面是唯一的。

图2．6．5　按给定条件作出铅垂圆的两面投影

（a）已知条件；（b）作图过程和作图结果

图2．6．6　曲面的形成

根据曲面与母线的性质、形成方法等的不同，曲面的分类如下：

①按母线的形状分类，曲面可分为直线面和曲线面两大类；

②按母线的运动方式分类，曲面可分为移动面和回转面；

③按母线在运动中是否变化分类，曲面可分为定母线面和变母线面；

④按曲面是否能无折皱地摊平在一个平面上来分类，曲面可分为可展曲面和不可展曲面；

⑤按母线运动是否有规律来分类，曲面可分为规则曲面和不规则曲面。

2）曲面投影表示的方法

画曲面的投影时，一般应画出形成曲面的导线、导面、定点以及母线等几何要素的投影，如图2．6．7中的KL（k′l′，kl）、NN₁（n′n′₁，nn₁）和N₁M₁（n′₁m′₁，n₁m₁）等。为了使图形表达清晰，还应画出曲面的各个投影的轮廓线，如图2．6．7中的m′n′、m′m′₁，和mn、mm₁等。

图2．6．7　曲面投影的表示方法

3）工程中常见的曲面的投影

回转面中的圆柱面、圆锥面和球面是工程中常见的曲面，这部分将在下节详细介绍。本节介绍工程中其他常见曲面的投影。

（1）单叶双曲回转面

单叶双曲回转面是由直母线绕与它交叉的轴线旋转所形成的曲面，如图2．6．8所示。

单叶双曲回转面在形成过程中，母线上各点的运动轨迹都是圆，其圆心在轴线上。母线上距离轴线最近点的运动轨迹圆称为喉圆。在同—个单叶双曲回转面内，有两组不同方向的素线，如图2．6．9所示。同组的素线互不相交，相邻的两素线相互交叉。

图2．6．8　单叶双曲回转面

图2．6．9　不同方向的素线

单叶双曲回转面的投影画法如下。

①巳知直母线MN和铅垂的轴线的两面投影，如图2．6．10（a）所示。首先将M、N两点所在纬圆的两面投影画出，如图2．6．10（b）所示。

图2．6．10　单叶双曲回转面的投影画法

（a）已知条件；（b）作过母线两端点的纬圆投影；（c）作素线PQ的两面投影；（d）完成全图

②把过M、N的纬圆分别12等分，找到12个分点的两面投影。直母线MN绕轴线旋转，端点M按顺时针在小圆周上旋转，端点N同样也按顺时针在大圆周上旋转。画出另一素线PQ的两面投影，如图2．6．10（c）所示。

③依次作出每旋转十二分之一圆周后各素线的两面投影。

④作出V面投影的轮廓线。用光滑曲线作为包络线与各素线的V投影相切，这对包络线是双曲线。单叶双曲回转面的形成亦可以看成是由这对双曲线绕它的虚轴旋转而形成的。曲面各素线的H投影的包络线是曲面喉圆的H投影，该圆与每一条母线均相切。

⑤整理素线的两面投影，将投影图中素线不可见的部分绘制成虚线，如图2．6．10（d）所示。

（2）柱面

一直母线沿曲导线滑动时始终平行于一直导线，形成的曲面为柱面。曲导线可以不闭合，也可以闭合，如图2．6．11（a）所示。

图2．6．11　柱面的形成和投影

（a）柱面的形成；（b）柱面的投影

柱面的投影应画出直导线MN、曲导线和一定数量的素线的投影，其中包括不闭合柱面的起始、终止位置的素线和各投影的转向素线等，如图2．6．11（b）所示。

（3）锥面

直母线沿曲导线滑动，并始终通过定点S所形成的曲面为锥面。同柱面类似，曲导线可以不闭合，如图2．6．12（a）所示；也可以闭合，如图2．6．12（b）所示。锥面上相邻两条素线是相交直线。

图2．6．12　锥面的形成

（a）曲导线不闭合；（b）曲导线闭合

锥面的投影应画出锥顶S、曲导线和一定数量素线的投影。其中包括不闭合锥面的起始、终止位置的素线和各投影的转向素线等（图2．6．13）。

图2．6．13　锥面的投影

（4）双曲抛物面

一直母线沿着两交叉直导线滑动．并始终平行于一个导平面所形成的曲面。如图2．6．14（a）所示，直母线AB沿着曲导线滑动，并始终平行于铅垂的导平面P。双曲抛物面上的所有素线都平行于导平面P。该曲面用水平面截得的截交线为双曲线，如图2．6．14 （b）所示。用正平面和侧平面截得的截交线为抛物线。

双曲抛物面的画法如下。

①将直导线AB的水平投影分为若干等分，过分点作平行线，即得素线的水平投影，如图2．6．15（b）所示。

图2．6．14　双曲抛物面

（a）双曲抛物面的形成；（b）双曲抛物面的投影及截交线

②根据素线的水平投影，分别作各素线的正面投影，如图2．6．15（b）所示。

③在V面投影中作出与各素线相切的包络线——抛物线。

④整理图线，将V面投影中不可见的素线绘制成虚线，完成全图，如图2．6．15（c）所示。

图2．6．15　双曲抛物面的画法

（a）已知条件；（b）求素线的两面投影；（c）完成投影图

（5）柱状面

一直母线沿两条曲导线滑动，并始终平行于一个导平面所形成的曲面为柱面。如图2．6．16（a）所示，直母线沿着曲导线L₁、L₂滑动，并始终平行于铅垂的导平面P。柱状面上的所有素线都平行于导平面P。图2．6．16（b）为导平面与W面平行的柱状面的三面投影。

图2．6．16　柱状面的形成及投影

（a）柱状面的形成；（b）柱状面的投影

（6）锥状面

一直母线沿着一条直导线和一条曲导线滑动，并始终平行于一导平面所形成的曲面为锥状面。如图2．6．17（a）所示，直母线沿着曲导线L₁和直导线L₂滑动，并始终平行于铅垂的导平面P。锥状面上的所有素线都平行于导平面P。图2．6．17（b）为导平面与W面平行的锥状面的三面投影。

图2．6．17　锥状面的形成及投影

（a）锥状面的形成；（b）锥状面的投影

2．曲面立体及其表面上的点和线

在建筑工程中常见的曲面立体是回转体。回转体是由回转面围成或由回转面和平面围成的立体，主要包括圆柱、圆锥、球、环等。本节主要研究回转体的图示方法与表面的点和线问题。

回转面是母线绕轴线旋转所形成的曲面。母线上任意点回转时的轨迹是一个圆周，称之为纬圆。纬圆所在的平面垂直于轴线，纬圆的半径为母线上的点到轴线的距离。回转面上半径最大的纬圆称为赤道圆，回转面上半径最小的纬圆称为喉圆，如图2．6．18（a）所示。图2．6．18（b）是回转面的投影图。

图2．6．18　回转面的形成及投影

（a）回转面的形成；（b）回转面的投影

1）圆柱

（1）圆柱的形成

如图2．6．19（a）所示，矩形（AA₁OO₁）以其边（OO₁）为轴旋转运动的轨迹称为圆柱体。与轴垂直的两边（OA和O₁A₁）的运动轨迹是上、下底圆，与轴平行的一边（AA₁）运动的轨迹是圆柱面。其中，AA₁称为母线，母线在圆柱面上任一位置称为素线，圆柱面是无数条素线的集合。圆柱体由上、下底圆与圆柱面围成。上、下底圆之间的距离称为圆柱体的高。

（2）圆柱的投影

圆柱的投影与圆柱的空间位置有关。如图2．6．19（b）所示，当圆柱的轴线铅垂时，圆柱的上、下底面与H面平行，其H投影反映圆的实形，而与V面和W面垂直。在V面和W面上的投影有积聚性，积聚成水平的线段。该线段的长度为上、下底面圆的直径。而圆柱面是一个回转面，与H面垂直，其H投影有积聚性，积聚在圆周上，其V面和W面投影是两个全等的矩形。V面投影中的a′a′₁、b′b′₁是素线AA₁和BB₁的投影，是反映圆柱投影轮廓的素线，称之为轮廓素线，它将柱面分为前后两部分。对于V面投影，前半个柱面可见，而后半个柱面不可见。同理，W面投影中的c″c″₁、d″d″₁是素线CC₁、DD₁的投影，它将柱面分为左右两部分。对于W面投影，左半个柱面可见．而右半个柱面不可见。作图时，先绘制顶面、底面圆的投影，再绘制圆柱面的轮廓素线，如图2．6．21（c）所示。

图2．6．19　圆柱体的形成与投影

（a）形成；（b）直观图；（c）投影图

（3）在圆柱面上定点

在圆柱面上定点，应先根据点的已知投影，分析该点在柱面的位置。充分利用圆柱面（顶面和底面）有积聚性的投影，先将该投影求出，然后利用投影规律求另外—个投影。

【例3】　如图2．6．20（a）所示，已知柱面上点A、B、C的一个投影，求其余两投影。

图2．6．20　圆柱面上取点

（a）已知条件；（b）求水平投影；（c）求另一投影，判断可见性

分析：已知A点的V面投影a′，从而可知A点应在柱面的左前表面。由B点的W的投影（b″）可知B点在柱面的右后表面上。首先利用积聚性将A、B点在H面投影a和b求出，然后再求第三投影。C点的位置比较特殊，它在圆柱面的最右轮廓素线上，其投影可以直接求出。

作图步骤：（1）利用长对正求出A点和C点的H投影a、c，利用宽相等求出B点的H投影b，如图2．6．20（b）所示。

（2）利用高平齐、宽相等求出A点的W投影a″。利用高平齐、长对正求出B点的V投影b′，利用高平齐求出C点的W投影c″，如图2．6．20（c）所示。

（3）判断投影的可见性，A点在左前表面，所以其W投影可见以a″表示，B点在右后表面，所以其V投影不可见以（b″）表示。C点在最右轮廓素线上．所以其W投影不可见以（c″）表示。

（4）圆柱的截交线

截平面切割圆柱体，与圆柱体外表面的交线为圆柱的截交线。平面切割圆柱有三种情况，如表2．6．1所示。用截平面切割圆柱体的第一种情况，截平面与圆柱的轴线垂直时，所得的截交线为圆；第二种情况，截平面与圆柱的轴线平行，截平面与圆柱的顶面、底面相切割，截交线为矩形；第三种情况，截平面与圆柱的轴线倾斜，截交线为椭圆。

表2．6．1　平面切割圆柱

对于截交线的前两种情况，截平面平行于某一个基本投影面，在所平行的投影面上可以反映断面的实形。而第二种情况．截平面与某一投影面垂直，因此不能在投影中反映断面的实形，可以通过辅助平面法求断面的实形。第三种情况截交线实形是椭圆，在截平面垂直的投影面上的投影是一倾斜的线段，在截平面倾斜的投影面上的投影，一般情况下也是椭圆，而且投影的椭圆随着截平面与轴线夹角的变化而变化，特别是当截平面与圆柱轴线夹角为45°时，其投影椭圆的长、短轴相等，此时投影变为圆，如图2．6．21所示。

图2．6．21　截平面与圆柱轴线夹角为45°

【例4】　己知斜截圆柱的正面投影和侧面投影，如图2．6．22（a）所示，求其水平投影。

图2．6．22　圆柱截交线

（a）已知条件；（b）作图

分析：从已知投影可知，圆柱的轴线与W面垂直，圆柱水平放置。从V面投影可以看出，该圆柱是被正垂面切割，截平面与轴线倾斜，且与轴线的夹角不是45°。可以判断出．截交线的水平投影是椭圆。

作图步骤：（1）画出圆柱完整的水平投影。

（2）求截交线水平投影。

先求截交线上特殊点的投影。立体图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四点，Ⅰ、Ⅱ点既是圆柱最高、最低轮廓素线上的点，也是断面椭圆长轴的端点，Ⅲ、Ⅳ点既是圆柱最前、最后轮廓素线上的点，也是断面椭圆短轴的端点。利用这些点在轮廓素线上的特点，直接求出该四点的水平投影1、2、3、4。

再求适当数量中间点的投影。为了使作图准确，在特殊位置点之间的适当位置取截交线上的一般点。一般情况下，一般点可以对称取，如立体图中的Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ四点。利用长对正、宽相等求出一般点的水平投影5、6、7、8。

连接截交线。根据W投影上各点的次序，将水平投影中的各点依次用光滑曲线相连1 －5－3－7－2－8－4－6－1，求得截交线的水平投影。

（3）判断可见性，整理形体的轮廓素线，去掉被截切的部分。

圆柱水平投影的最前、最后轮廓素线由右端面到3、4为止，其余部分擦去。水平投影其余所有图线均可见。

（4）检查、加粗、加深投影。

检查无误后，按照要求加深图线，完成全图，如图2．6．22（b）所示。

2）圆锥

（1）圆锥的形成

圆锥是由圆锥面和底面圆所组成。圆锥面是一直母线绕一条与之相交的轴线回转而成，如图2．6．23（a）所示。

图2．6．23　圆锥投影

（a）立体图；（b）投影图

（2）圆锥的投影

如2．6．23（b）所示，当圆锥的轴线铅垂时，圆锥的底面与H面平行，其H投影反映圆的实形，而在V面和W面上的投影有积聚性，积聚成一条直线，该线段的长度为底面圆的直径；圆锥面的V面和W面投影是两个全等的等腰三角形，素线SA、SB、SC、SD分别是圆锥面的最左、最右、最前和最后的轮廓素线，反映在V面投影中是等腰三角形的两个腰，反映在W面投影中是等腰三角形的两个腰。作图时，先确定锥顶S的投影和底面圆的投影，再连接两腰线即可。

（3）在圆锥表面上定点

圆锥面与圆柱面的投影相比较，其最大的区别是圆锥面的投影无积聚性。因此在圆锥表面上定点的方法与圆柱面不同，其方法更具有一般性。在面上定点，首先应该在面上过该点作一条辅助线。在圆锥表面上定点，根据圆锥的形成和投影特点，所采用的辅助线有两种，一是圆锥面的素线（直线），二是圆锥面的纬圆（圆）。

方法一：素线法

过M点作圆锥的素线SⅠ，其三面投影分别为s1、s′1′和s″1″，点M的三面投影必在素线的同名投影上，即可以求出M点另外的投影。

方法二：纬圆法

作过M点的圆锥面的纬圆，该纬圆与圆锥底面平行，同时与圆锥的轴线垂直，当圆锥轴线为铅垂时，该纬圆与H面平行，其H投影反映纬圆的实形，且与底面圆同心；纬圆与V面和W面垂直，其投影积聚成一条直线，长度反映纬圆的直径。

【例5】　已知圆锥和锥体上点M的投影m′，分别利用素线法和纬圆法求圆锥面上点M的另两投影，如图2．6．24所示。

图2．6．24　圆锥面上取点

（a）素线法；（b）纬圆法

作图步骤：（1）素线法。

如图2．6．24（a）所示。过m′作素线SⅠ的正面投影s′1′，然后求出素线的水平投影s1，点M在SI上，利用长对正求出M点的H投影m，然后利用高平齐、宽相等求出M点的W投影m″。

（2）纬圆法。如图2．6．24（b）所示，过m′作纬圆的正面投影——积聚成一条水平线段，然后求出纬圆与轮廓素线交点1的水平投影，画山纬圆的实形投影——H投影，点M在该纬圆上，利用长对正求出M点的H投影m，然后利用高平齐、宽相等求出M点的W投影m″。

（4）圆锥的截交线

平面切割圆锥有五种情况，如表2．6．2所示。

表2．6．2　平面切割圆锥

用截平面切割圆锥体有五种情况。第一种情况，截平面与圆锥的轴线垂直时，所得的截交线为圆；第二种情况，截平面倾斜于圆锥的轴线，且与圆锥面上所有素线都相交时，所得的截交线为椭圆；第三种情况，截平面平行于圆锥面上的一条素线时，截交线为抛物线与直线；第四种情况，截平面平行于圆锥轴线时，截交线为双曲线与直线；第五种情况，截平面通过圆锥的锥顶时，即截平面过圆锥面上两条相交的素线，截交线为三角形。

【例6】　已知圆锥被正垂面切割，如图2．6．25（a）所示，补画水平投影和侧面投影。

图2．6．25　圆锥截交线

（a）已知条件；（b）作图

分析：从已知投影可知，切割圆锥的正垂面与圆锥面的所有素线都相交，属于平面切割圆锥的第二种情况，截交线为椭圆。正垂面与圆锥最左和最右轮廓素线的交点，为椭圆长轴的端点，而椭圆短轴垂直于V面，垂直平分椭圆长轴。

作图步骤：（1）画出圆锥完整的侧面投影。

（2）求截交线水平投影和侧面投影。

先求截交线上特殊点的投影。立体图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四点，Ⅰ、Ⅱ点既是圆锥最左、最右轮廓素线上的点，也是断面椭圆长轴的端点，Ⅲ、Ⅳ点是圆锥最前、最后轮素线上的点。利用此特点直接求出该四点的水平投影1、2、3、4和侧面投影1″、2″、3″、4″。Ⅴ、Ⅵ是断面椭圆短轴的端点，但该点不在圆锥的轮廓素线上，可以利用纬圆法求其水平投影5、6和侧面投影5″、6″。

再求适当数量中间点的投影。为了使作图准确，在特殊位置点之间的适当位置取截交线上的一般点。立体图中的Ⅶ、Ⅷ两点，利用纬圆法求出一般点的水平投影7、8和侧面投影7″、8″。

最后将水平投影和侧面投影中的各点用光滑曲线相连。

（3）判断可见性。整理形体的轮廓素线，去掉被截切的部分。

圆锥侧面投影的最前、最后轮廓素线，由底面到3″、4″为止，其余部分擦去。侧面及水平投影所有图线均可见。

（4）检查、加粗、加深投影。

检查无误后，按照要求加深图线，完成全图，如图2．6．25（b）所示。

3）圆球

（1）圆球的形成

圆球的表面是圆球面。圆球面是由一个圆母线绕着它的一条直径为轴回转而成的。

（2）圆球的投影

圆球的三面投影均为等径的圆，其直径为圆球的直径，如图2．6．26（b）所示。

如图2．6．26（a）所示，圆球的H投影是水平赤道圆的实形投影。水平赤道圆与H面平行，该圆的V面和W面投影积聚成一条水平的直线，分别是投影圆的水平轴线。水平赤道圆是区分上、下球面的分界线。同理，圆球的V投影是球面上平行于V面直径最大的纬圆，也是区分前、后球面的分界线；圆球的W投影是球面上平行于W面直径最大的纬圆，也是区分左、右球面的分界线。作图时，先确定球心的三个投影，再画出三个与球等径的圆。

图2．6．26　圆球的投影

（a）立体图；（b）投影图

（3）在球表面上定点

在球面上定点，可以利用圆球面上平行于投影面的纬圆（水平纬圆、正平纬圆、侧平纬圆）作图。

【例7】　如图2．6．27（a）所示，已知球表面上点A、B的一个投影，求其余两投影。

分析：已知A点的V面投影a′在轴线上，从而说明A点在水平赤道圆上，其他两投影可以利用该特点直接求出。由B点的W的投影（b″）可知，B点在球面的右前上表面。其他两投影需采用纬圆法求得。

图2．6．27　圆球面上取点

（a）已知条件；（b）求A点的投影及作纬圆；（c）求B点的其他两投影

作图步骤：（1）利用长对正求出A点的H投影a，然后利用高平齐、宽相等求出A点的W投影a″。

（2）过b″作水平纬圆的侧面投影——积聚成一条水平线段，然后求出纬圆与轮廓素线交点1的水平投影，画出纬圆的实形投影——H投影，如图2．6．27（b）所示。

（3）点B在该纬圆上，利用宽相等求B点的H投影b，然后利用高平齐、长对正求出B点的V投影b′，如图2．6．27（c）所示。

（4）圆球的截交线

用平面切割球只有一种情况，也就是无论用怎样的平面切割球其截交线都是圆。只不过当截平面与投影面平行时，在所平行的投影面上反映实形；当截平面与投影面倾斜时，其投影为椭圆，如表2．6．3所示。

表2．6．3　平面切割圆球

【例8】　已知圆球被正垂面切割，如图2．6．28（a）所示，补画水平投影和侧面投影。

分析：从已知投影可知，用正垂面切割球，属于平面切割球的第二种情况，截交线为圆，其H、W投影为椭圆。

图2．6．28　圆球截交线

（a）已知条件；（b）作图

作图步骤：（1）画出圆球完整的水平投影和侧面投影。

（2）求截交线水平投影和侧面投影。

求截交线上特殊点的投影。立体图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ六点，它们都是圆球的三面投影上直径最大的纬圆上的点，其投影可以利用此特点直接求出。Ⅰ、Ⅱ两点是球面上平行于V面直径最大的纬圆上的点，同时也是截交线的最高、最低、最左、最右的点，同时也是断面圆投影所得椭圆短轴的端点；Ⅴ、Ⅵ两点是球面上平行于H面直径最大的纬圆（赤道圆）上的点；Ⅶ、Ⅷ两点是球面上平行于W面直径最大的纬圆上的点。此外，Ⅲ、Ⅳ两点是断面圆投影所得椭圆长轴的端点，是截交线的最前、最后的点。Ⅲ、Ⅳ两点的投影需要采用纬圆法求出。首先，在V投影中作过3′、4′两点的水平纬圆的投影，为与轴平行的水平线段，截取纬圆半径，在H投影中画出纬圆的实形投影，再利用长对正，求得水平投影3、4两点，然后利用高平齐、宽相等求得侧面投影3″、4″两点。

再求适当数量中间点的投影。本题所求特殊点的位置比较均匀，绘制截交线的其余投影已经满足需要，本题不再取中间点。

将W投影上各点依次相连，得到截交线的侧面投影1″－5″－3″－7″－2″－8″－4″－6″－1″，再将水平投影中的各点依次相连，求得截交线的水平投影1－5－3－7－2－8－4－6－1。

（3）判断可见性，整理形体的轮廓素线，去掉被截切的部分。

圆球的水平投影的转向轮廓素线由右面到5、6为止，共余部分擦去。侧面投影的转向轮廓线由下面到7″、8″为止，其余部分擦去。在水平投影及侧面投影中，所有图线均可见。

（4）检查、加粗、加深投影。检查无误后，按照要求加深图线，完成全图，如图2．6．28（b）所示。