回转体的三视图及表面上的点和线

3.2.2　回转体的三视图及表面上的点和线

回转体是由单一回转面或回转面和平面围成的立体。回转面是由一动线绕与它共面的一条定直线旋转一周而形成的。这条动线称为回转面的母线，母线在回转过程中的任意位置称为素线，与其共面的定直线称为回转面的轴线。

组成回转体的基本面是回转面，在绘制回转面的投影时，首先用点画线画出轴线的投影，然后分别画出其相对于某一投射方向转向线的投影。所谓转向线是回转面在该投射方向上可见部分与不可见部分的分界线，其投影称为轮廓线。因此，常见回转体的三面投影的作图过程如下：

（1）分析形体，找出对称面，绘制对称面有积聚性的投影和轴线的投影——用点画线表示；

（2）对于圆柱，绘制顶面、底面的三面投影；

（3）对于圆锥，绘制底面和锥顶的三面投影；

（4）绘制相对于某一投射方向转向线的投影；

（5）整理图线。

1.常见回转体的三视图

1）圆柱

圆柱表面有圆柱面、顶面和底面。圆柱面由直线绕与它相平行的轴线旋转而成。

如图3.6（a）所示，当轴线为铅垂线时，圆柱面上所有素线都是铅垂线，圆柱面的水平投影积聚成一个圆，圆柱面上的点和线的水平投影都积聚在这个圆上。圆柱的顶面和底面是水平面，它们的水平投影反映实形，互相重合。

图3.6　圆柱的投影

圆柱的顶面、底面的正面投影都分别积聚成直线；圆柱的轴线和素线的正面投影、侧面投影仍是铅垂线，用点画线画出轴线的正面投影和侧面投影。圆柱的正面投影的左右两侧是圆柱面的正面投影的转向轮廓线a′a′₁和c′c′₁，它们分别是圆柱面上最左、最右素线AA1、CC₁的正面投影；AA1和CC₁的侧面投影a″a″₁和c″c″₁则与轴线的侧面投影相重合。圆柱的侧面投影的前后两侧是圆柱面的侧面投影的转向轮廓线b″b″₁和d″d″₁，它们分别是圆柱面上最前、最后素线BB₁和DD1的侧面投影；BB1和DD1的正面投影b′b′₁和d′d′₁则与轴线的正面投影相重合。

2）圆锥

圆锥的表面有圆锥面和底面。圆锥面由直线绕与它相交的轴线旋转而成。

如图3.7（a）所示，当圆锥的轴线为铅垂线时，底面的正面投影、侧面投影分别积聚成直线，水平投影反映它的实形——圆。

用点画线画出轴线的正面投影和侧面投影；在水平投影中，用点画线画出对称中心线，对称中心线的交点，既是轴线的水平投影，又是锥顶S的水平投影s。

图3.7　圆锥的投影

圆锥面正面投影的转向轮廓线s′a′、s′c′是圆锥面上最左、最右素线SA、SC的正面投影；SA、SC的侧面投影s″a″、s″c″与轴线的侧面投影相重合。圆锥面侧面投影的转向轮廓线s″b″、s″d″是圆锥面上最前、最后素线SB、SD的侧面投影；SB、SD的正面投影s′b′、s′d′，与轴线的正面投影相重合。

在图3.7（b）中，清楚地表明了锥顶S的正面投影s′、侧面投影s″和水平投影s。圆锥面的水平投影与底面的水平投影相重合。显然，圆锥面的三个投影都没有积聚性。

3）球

球的表面是球面。球面由圆以其直径为轴线旋转而成。

如图3.8（a）中的图形所示，球的三面投影都是直径与球直径相等的圆，它们分别是这个球面的三个投影的转向轮廓线。正面投影的转向轮廓线是球面上平行于正面的大圆（前后半球面的分界线）的正面投影；水平投影的转向轮廓线是球面上平行于水平面的大圆（上下半球面的分界线）的水平投影；侧面投影的转向轮廓线是球面上平行于侧面的大圆（左右半球面的分界线）的侧面投影。在球的三面投影中，应分别用点画线画出对称中心线，对称中心线的交点是球心的投影。

图3.8　球的投影

2.常见回转体表面取点、取线

回转体由回转面（如圆球等）或由回转面和平面组成（如圆柱、圆锥等），当求回转面上点的投影时，应首先分析回转面的投影特性，若其投影有积聚性，可利用积聚性法求解；若回转面没有积聚性，则需用辅助素线法或辅助圆法求解。

1）积聚性法

例3.3　如图3.9（a）所示，已知点A、B的正面投影a′和b′，求其余两投影。

图3.9　圆柱表面取点

分析：图示的圆柱，由于圆柱面上的每一条素线都垂直于水平面，水平投影有积聚性，故凡是在圆柱面上的点，其水平投影一定在圆柱有积聚性的水平投影（圆）上。已知圆柱面上点A的正面投影a′，其水平投影a必定在圆柱的水平投影（圆）上，再由a′和a，可求得a″。用同样的方法可先求点B的水平投影b，再由b′和b求得b″。

可见性的判别：因a′可见，且其处于轴线左边，所以点A位于前、左半圆柱面上，则a″可见。因b′不可见，且其处于轴线左边，所以点B位于后、左半圆柱面上，则b″可见。

例3.4　如图3.10（a）所示，已知圆柱表面上线段AC和CF的正面投影a′c′、c′f′，求其余两投影。

分析：由图可知，线段AC和CF均处于圆柱面上，故其水平面投影积聚在圆柱面有积聚性的圆上。为能较准确地画出其侧面投影a″f″，可在AC和CF上的适当位置选取若干个点，并判别可见性，连线。

曲线AC和CF侧面投影的可见性以左右方向的对称面为基准，左半圆柱面上的a″c″可见，加深为粗实线；右半圆柱面上的c″f″不可见，连接成虚线，如图3.10（b）所示。

图3.10　圆柱表面取线

2）辅助线法

例3.5　已知圆锥的三面投影以及圆锥面上的点A的正面投影a′，求作它的水平投影a和侧面投影a″。

分析：由于圆锥面的三个投影都没有积聚性，所以需要在圆锥面上过点A作一条辅助线。为了作图方便，应选取素线或垂直于铅垂轴线的纬圆（水平圆）作为辅助线。

（1）素线法　如图3.11（a）中的立体图所示，连点S和点A，延长SA，交底圆于点B，因为a′可见，所以素线SB位于前半圆锥面上，点B也在前半底圆上。作图过程如图3.11（b）所示。

①连s′和a′，延长s′a′，与底圆的正面投影相交于b′。由b′引铅垂的投影连线，在前半底圆的水平投影上得交点b。由b按宽相等和前后对应（y_B）在底圆的侧面投影上作出b″。分别连s和b、s″和b″，即得过点A的素线SB的三面投影s′b′、sb和s″b″。

②由a′分别引铅垂的和水平的投影连线，在sb上作出a和在s″b″上作出a″。由于圆锥面的水平投影可见，所以a也可见；又由于点A在左半圆锥面上，所以a″亦为可见。

图3.11　圆锥表面取点

（2）纬圆法　如图3.11（c）中的立体图所示，通过点A在圆锥面上作垂直于轴线的水平纬圆，这个圆实际上就是点A绕轴线旋转所形成的。作图过程如图3.11（d）所示。

①过a′作垂直于轴线的水平纬圆的正面投影，其长度就是这个纬圆的直径的实长，它与轴线的正面投影的交点，就是圆心的正面投影，而圆心的水平投影则重合于轴线的有积聚性的水平投影上，与s相重合。由此就可作出这个圆的反映实形的水平投影。

②因为a′可见，所以点A应在前半圆锥面上，于是就可由a′引铅垂的投影连线，在水平纬圆的前半圆的水平投影上作出a。由a′引水平的投影连线，又由a按宽相等和前后对应（y_A），即可作出点A的侧面投影a″。

例3.6　如图3.12（a）所示，已知圆锥面上线段AB和BE的正面投影a′b′和b′e′，求其余两投影。

分析：由图可知，线段均处于圆锥表面上。AB为一段水平圆弧，其投影ab为一段圆弧，a″b″为直线。BE为一部分椭圆，可在线段的适当位置取若干个点，依次求出这些点的投影，然后光滑连线。

可见性的判别：AB和BE的水平投影均可见，连成粗实线。侧面投影可见性的分界面为左右的对称面，左半锥面可见，右半锥面不可见，故直线a″b″、曲线b″c″可见，为实线。曲线不可见，为虚线，如图3.12（b）所示。

图3.12　圆锥表面取线

例3.7　如图3.13（a）所示，已知球面上点A的水平投影a，求其余两投影。

分析：球面没有积聚性，必须利用辅助线法求解。球面上没有直线，因此，在球面上只能作辅助圆。为了保证辅助圆的投影为圆或直线，只能作正平、水平、侧平三个方向的辅助圆。由于球面转向线的投影是已知的，所以转向线上的点其投影可以直接求出。

过点A作平行于水平面的辅助圆，其水平投影为圆的实形，正面投影为直线m′n′，a′必在该直线上，由a求得a′，再由a和a′作出a″。当然，过点A也可作一侧平圆或正平圆求解。

可见性的判别：因点A位于球的左前方，故a′、a″都可见。

图3.13　球表面取点

例3.8　如图3.14（a）所示，已知球表面上线段AD正面投影a′d′，求线段其余的投影。

分析：线段AD在球的表面上，其正面投影为直线，水平投影和侧面投影均为一段椭圆弧。为了能较准确地画出椭圆弧，可在其上的适当位置选取若干个点，依次求出这些点的其他投影，然后判别可见性，连线。

图3.14　球表面取线

如图3.14（b）所示，在正面投影a′d′上，取b′、c′。B、C分别在球面的转向线上，可以直接求出其水平投影b、c和侧面投影b″、c″。A、D均为球面上一般位置点，可以利用辅助圆法求出其水平投影和侧面投影。

可见性的判别：水平投影的可见性，是以上下的对称面为基准，上半球面上BCD的水平投影bcd可见，为粗实线，下半球面上AB的水平投影ab不可见，为虚线。侧面投影的可见性是以左右的对称面为基准，左半球面上ABC的侧面投影a″b″c″可见，为粗实线，右半球面上CD的侧面投影c″d″不可见，为虚线。