6.1 直线与平面及两平面平行
直线和平面平行的几何条件：直线平行于平面内的任一直线。
两平面平行的几何条件：一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行。
利用上述几何条件，可以判别直线与平面或平面与平面是否平行，也可以作直线或平面平行于已知平面。
6.1.1 直线和一般位置平面平行
几何条件：当平面外一直线与属于平面的任一直线平行时，则该直线与该平面平行。如图6－1（a）所示，直线DE平行于平面Q上的直线AB，所以直线DE∥平面Q。
判定方法：若要判断直线与平面是否平行，只要看能否在该平面上作一直线与已知直线平行。如图6－1（b）所示，由于ab∥de，a′b′∥d′e′，则AB∥DE，而AB属于平面ABC，故DE∥平面ABC。
图6－1 直线与平面平行
根据直线与投影面相对位置的不同，直线与平面平行的几何条件还可有如下几种情形。
（1）过空间一点且与一般位置平面平行的一般位置直线的集合是一个一般位置平面，它与这个已知的一般位置平面平行，因此过空间一点且与一般位置平面平行的一般位置直线有无数条。
（2）过空间一点且与某投影面平行的直线的集合是该投影面的平行面（记为平面α），则过空间一点且与一般位置平面（记为平面β）平行的某投影面平行线是这样的一条直线：过该点且平行于平面α与β交线的直线，且是唯一的。
（3）过空间一点且与某投影面垂直的直线只有一条，它与任何一般位置平面都相交，故过空间某点不存在和一般位置平面平行的投影面垂直线。
【例6－1】 如图6－2（a）所示，已知直线DE及平面ABC的两面投影，试判断直线DE是否平行于平面ABC。
解 （1）分析：若能在△ABC中找到一条与DE平行的直线，则直线DE平行于平面ABC；否则直线DE不平行于平面ABC。此类问题的解题思路是先假设直线平行于平面，然后利用两直线平行的投影特征来作图。
（2）作图步骤如下：
①过点c′作d′e′的平行线交a′b′于f′，利用直线上点的投影规律求出点F的H面投影f，连接cf，如图6－2（b）所示；
②因为cf∥de且c′f′∥d′e′，所以空间直线CF∥DE，而直线CF是平面ABC内的线，因此直线DE平行于平面ABC。
图6－2 判断直线DE是否平行于平面ABC
【例6－2】 如图6－3（a）所示，已知平面ABC及该平面外点D的两面投影。（1）试过点D作一直线平行于平面ABC；（2）试过点D作一水平线平行于平面ABC；（3）试过点D作一正平线平行于平面ABC。
图6－3 过已知点作直线平行于已知平面
解 （1）分析：由直线和平面平行的几何条件可知，本题的三个小题所采用的方法都一样，都是找过点D且和平面ABC内某一直线平行的直线。不难看出，符合第（1）小题的解有无数多个（因为过点D且与平面ABC平行的直线的集合是一个平面，这个平面平行于平面ABC），只需找到其中一个解即可；第（2）小题中，过点D水平线的集合是过点D的水平面，由图可知，平面ABC不是水平面，故过点D且平行于平面ABC的水平线只有一条；第（3）小题与第（2）小题类似，过点D且平行于平面ABC的正平线也只有一条。
（2）作图步骤如下。
①过点D作一直线平行于平面ABC，如图6－3（b）所示。
a.过点d作直线ab的平行线de（de长度不限，满足投影相关规律即可）；
b.过点d′作a′b′的平行线d′e′，注意e和e′的连线应垂直于OX轴。直线DE即为所求。
②过点D作一水平线平行于平面ABC，如图6－3（c）所示。
a.在平面ABC中找一条水平线FG，并作出它们的两面投影fg和f′g′；
b.过点d作直线fg的平行线dh（dh长度不限，满足投影相关规律即可）；过点d′作f′g′平行线d′h′，注意h和h′的连线应垂直于OX轴。直线DH即为所求。
③过点D作一正平线平行于平面ABC，如图6－3（d）所示。
a.在平面ABC中找一条正平线CJ，并作出它们的两面投影cj和c′j′；
b.过点d作直线cj的平行线di（di长度不限，满足投影相关规律即可）；过点d′作c′j′平行线d′i′，注意i和i′的连线应垂直于OX轴。直线DI即为所求。
6.1.2 直线和特殊位置平面平行
几何条件：由于特殊位置平面都有积聚投影，当直线和特殊位置平面平行时，在特殊位置平面有积聚投影的投影面上，直线的投影和平面的积聚投影平行。如图6－4（a）所示，AB∥平面P，若平面P为投影面垂直面，则平面P∥平面ABba，则由初等几何知识可知ab∥PH。
平行判断：若空间一直线的一个投影与某投影面垂直面的同面积聚投影平行，则直线与该投影面垂直面平行。如图6－4（b）所示，如果△ABC为铅垂面，ed∥abc，则在△ABC上可任作一直线段GH，使g′h′∥e′d′，由于gh积聚在△ABC的积聚投影abc上，必有gh∥ed，则ED∥GH，因此ED∥平面ABC。因此，要作一特殊位置平面平行于已知直线，只要使平面的积聚投影平行于已知直线的同面投影即可。
图6－4 直线与特殊位置平面平行
为了便于作图，先了解过空间某点且与特殊位置平面平行的直线的几种情形。
（1）一般位置直线与三投影面均相交，即一般位置直线与任何投影面平行面均相交，故过空间某点不存在和投影面平行面平行的一般位置直线。
（2）过空间一点且与某投影面垂直面平行的一般位置直线的集合是一个与已知平面平行的平面，它也是该投影面的垂直面。也就是说，过空间一点且与某投影面垂直面平行的直线有无数条。
（3）过空间一点且与某投影面平行面平行的直线的集合也是该投影面的一个平行面，也就是说，过空间一点且与某投影面平行面平行的直线有无数条。
（4）过空间一点的某投影面平行线的集合是该投影面的平行面（记作平面α），因此，过空间一点且与某投影面垂直面（记作平面β）平行的该投影面平行线只有一条，它平行于α与β的交线。
（5）过空间一点的某投影面垂直线只有一条，它与另外两个投影面的任何平行面都平行，同时它也平行于任何该投影面的垂直面。
【例6－3】 如图6－5（a）所示，已知平面ABC及该平面外直线DE的部分投影，且平面ABC与直线DE平行，试补绘DE的正面投影。
解 （1）分析：由图可知平面ABC为正垂面，由于平面ABC与直线DE平行，由上述原理可知，平面ABC与直线DE的V面投影相互平行。
（2）作图步骤：过点d′作直线a′b′c′的平行线与过e所作的OX垂线相交于e′，d′e′即为所求，如图6－5（b）所示。
图6－5 过已知点作直线平行于已知的投影面垂直面
6.1.3 平面和一般位置平面平行
几何条件：若一平面内的两相交直线与另一平面内的两相交直线分别平行，则此两平面平行。如图6－6（a）所示，AB与CD相交，AB、CD属于平面P，EF与GH相交，EF、GH属于平面Q，且AB∥EF，CD∥GH，则平面P∥平面Q。
判定方法：检查一平面是否平行于另一已知平面，只要看能否在该平面上作两相交直线与已知平面的两相交直线平行。如图6－6（b）所示，△ACM上的两相交直线AB、CD分别与△EFG上的两相交直线EF、GF平行，即AB∥EF、CD∥GF，则△ACM∥△EFG。
图6－6 平面与一般位置平面平行
【例6－4】 如图6－7（a）所示，已知平面ABC及该平面外一点D的两面投影，试过点D作一个平面平行于已知平面ABC。
解 （1）分析：由平面与平面平行的几何条件可知，如果能找到两条过点D的直线分别与平面ABC内的两条相交直线对应平行，则过点D的这两条直线所确定的平面即为所求。
（2）作图步骤如下。
①过点D作一直线DE平行于直线BC：首先过点d作直线bc的平行线de（de长度不限，满足投影相关规律即可）；再过点d′作b′c′的平行线d′e′，其中ee′⊥OX轴。
②过点D作另一直线DF平行于直线AC：首先过点d作直线ac的平行线df；再过点d′作a′c′的平行线d′f′，其中ff′⊥OX轴。
③平面DEF即为所求，如图6－7（b）所示。
图6－7 过已知点作平面平行于已知的平面
6.1.4 平面和特殊位置平面平行
几何条件：与特殊位置平面平行的平面也是特殊位置平面，因此当两个特殊位置平面平行时，它们的积聚投影在同面投影上也相互平行。如图6－8（a）所示，若平面P∥平面Q，则它们的积聚投影相互平行，即PH∥QH。
平面判断：若两特殊位置平面的积聚投影平行，则该两特殊位置平面相互平行。如图6－8（b）所示，若平面P与平面Q的同面积聚投影相互平行，即PH∥QH，则平面P∥平面Q。
图6－8 平面与特殊位置平面平行
【例6－5】 如图6－9（a）所示，已知平面ABC及平面DEFG均为水平面，试补全V面投影。
解 （1）分析：与特殊位置平面平行的平面也是特殊位置平面，根据特殊位置平面的投影特征即可作图。在此，两个平面均为水平面，它们的V面投影均平行于OX轴。
（2）作图步骤如下：
①过点c′作OX轴的平行线，点a′、b′就在这条直线上，利用直线上点的投影规律确定点a′、b′的位置；
②过点f′作OX轴的平行线，点d′、e′、g′就在这条直线上，利用直线上点的投影规律确定点d′、e′、g′的位置，如图6－9（b）所示。
图6－9 过已知点补全平面的投影
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