5．3．2 分维的定义及测算
1．分维的定义
维数是几何对象的一个重要特征，直观地说维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需要的独立坐标个数或独立方向数目。抽象地讲它是集合层次结构的一种量值标号，是集合空间复杂程度的一种量度。在欧氏几何中，人们已经习惯了整数维，如直线是一维的、面是二维的……而在分形几何中，用分维数来定量地描述其复杂性。分维数的概念最先是在德国数学家豪斯道夫（Hausdorff）著作（1919）中提出的，他认为“空间的维数是连续的”，Mandelbrot是最早将“分维数”用于科研中的科学家［181］。
简言之，分形的定量表征就是分维。分维是对分形对象内部不均匀性、层次结构性的整体数量特征的刻画，是对分形复杂性程度的度量。复杂的分形一般需同时用多种分维来刻画。维数是刻画图形或几何对象（集合）占有、填充空间规模和整体复杂性的度量。维数不仅能够区分整形（一般具有整数维数）与分形（一般具有分数维数），还能够区别分形的复杂程度。分形物维数介于1和2之间。度量规则的几何分形用整数维，而区分并度量分形物则必须是分维数。
2．分维数的计算
分形具有“精细的结构”、“无限不规则”、“自相似”、“分形维数大于拓扑维数”、“可迭代产生”等性质［198，200］。分形理论用于研究数学领域和自然界中，经典欧氏几何无法表述的极其复杂和不规则的几何形体与现象，并用分形维数定量刻画其复杂程度。因此分形几何研究的内容比经典几何理论更丰富、更符合实际［182］。
分形几何产生源于2个数学问题，一个是函数的可微性问题，另一个是维数问题［183］，其基本概念是分维数，数字特征是幂率关系，几何或物理特征是自相似性。它适用于自然界中一切不规则的、杂乱无章的现象，并提供了定量化的描述方法。为了表征分形，人们已经引入不同的维数定义，可以粗略地分成两大类：第一类是从纯几何需要导出的；第二类是相对于信息论的。下面介绍分维数的计算。
（1）容量维
若N（ε）是能够覆盖住一个点集的直径为ε的小球（称ε球）的最小数目，则点集的容量维定义为［184］：
根据容量维数的定义，可以得到测定分维数的最基本方法———标度变换法。其基本原理如下：根据式（5．30），取一系列不同的标度值（码尺），分别测出其相应的量度值N，在双对数坐标下画出lnN（ε）—ln（1／ε）曲线，其中直线部分斜率的绝对值就是分维数D0，斜率可采用最小二乘法计算。
Kolmogrovd容量维数定义与Hausdorff广义维数定义基本一致［185］。在许多实际问题处理中一般不管容量维与Hausdorff维数的细微差别，一律称为分维数。
（2）信息维
在容量维定义中，只考虑了所需ε球的个数，而对每个球所覆盖的点数多少却没有加以区别，没有考虑分形内部的不均匀性。
若给小盒子编上号，并知道分形中落入第i个小盒子的概率为Pi，用尺度为ε的小盒子所测算的平均信息量为［186，187］：
做一种推广，就是用信息量I取代式（5．30）定义中的盒子数N（ε）的对数，则信息维D1的定义为：
式中：Pi———表示一个点落在第i个球中的概率。
这是匈牙利数学家Renyi在20世纪50年代从概率角度对维数所做的定义，故称为Renyi信息维［187］。
（3）关联维数
Grassberger和Procaccia应用关联函数C（ε）给出了关联维数的定义［188］：
式中：C（ε）———为系统的一个解序列，也被称为相关整数（Correlation integral）。
如给定一组实测数据序列x1，x2，x3，…，xi，…，xN，则C（ε）可定义为：
式中：θ（x）———阶跃函数。
在关联维数估算中能否求出D2，关键在于ε的取值范围。若ε取值太大，所有点对的距离都不会超过它，根据式（5．34），则C（ε）＝1，logC（ε）＝0，这样的ε反映不了系统内部的性质。适当缩小测量尺子ε，可以在ε一段区间内有C（ε）＝εD，D就是D2的一种逼近。若ε值取得太小，周围一切偶然行为对系统性质的影响都将表现出来。只有当ε值取得恰到好处时，才会出现标度区间。
（4）广义维数
人们最为关心的是如何根据实验结果和观测数据来计算广义维数Dq。最常用的方法是采用覆盖法，也就是，使用尺度为ε的相同大小的盒子对整个集合进行覆盖，所需盒子总数为N，设点子落入第i个盒子的概率为Pi（ε），当给定参数q，可以计算广义熵Kq（ε）（对于q＝0，1，2，…，n）为［189］：
从而广义维定义为：
显然，当q＝0，1，2时，Dq分别等于容量维D0，信息维D1，关联维D2。事实上，令q＝2时，则［190］：
例如，Grassberger使用广义维研究了Henon映射，在标度范围2－12＜ε＜2－4，求得广义维数：D0＝1．29±0．02，D1＝1．26±0．02，D2＝1．23±0．02，D3＝1．20±0．02。
（5）自相似维数［187］
众所周知，一直线段的欧氏维数是1。让一直线段的长度为X，并分成N＝b个等长的小线段。每一小线段就是区间。
（k－1）X／b≤x≤kX／b， （k＝1，2，…，b）
显然，每一小线段是整个直线段的比例缩小，这个比例称为相似比r，并可得到r＝1／b＝1／N。再考虑二维的具有长宽分别是X、Y的平面，类似地分成N＝b2个小方块，这些小方块相似于整个平面，并可表述为：
（k－1）X／b≤x＜kX／b， （k＝1，2，…，b）
（k－1）Y／b≤y＜kY／b， （k＝1，2，…，b）
其相似比为：
r（N）＝1／b＝1／N（1／2）
对于三维的六面体，类似地，可获得相似比为：
r（N）＝1／N（1／3）
类推之，对于Ds维柱体，其相似比为：
r（N）＝1／N1／Ds （5．40）
这样， Nr（N）Ds＝1
大量研究已表明：对于分形物体（具有分数维），只要物体形状具有自相似性，则相似比关系式（5．40）仍然成立。因此可以使用式（5．41）直接计算自相似分形的分维数。
在有关分维数的论文中，还有不少关于维数的定义。不同定义对应于不同计算分维数的方法。在处理实际问题时，往往还涉及到根据所研究的对象和采用的测试手段，选择合适的分维数求解方法。
3．不同几何要素的分形测算
分形几何区别于经典几何的最基本点就是维数可以不是整数，人们如何直观地想象维数不是整数的分形结构或分形物体呢？最经典的例子之一就是海绵立方块。从表面上看海绵立方块是一个3维的立方体。但它是以某一构造规则而形成的具有许多孔洞的高度无序结构。在一定压力下，它能被压实在一个平面上，成为2维的。这说明表观看上去充实的立方体实际上是部分充实的3维结构，其真实维数界于2．0～3．0。可见，经典几何的整数维数只能反映物体的表观现象（立体是3维的，平面是2维的），而分形维数能刻画物体的本质特性。事实上，自然物体很少具有整数维数的。
在欧几里德几何中，能够很容易量测长度为L的直线，如果用码尺δ去量测，则
L＝Nδ＝const （5．42）
式中：N———用码尺δ测量L直线所需要的次数。
然而许多自然物体是不规则的、粗糙的，不存在上述简单的量测关系。
（1）对于线状要素，Mandelbrot提出了一种统计性分维数估计公式，例如，象海岸线这样极不规则的自然曲线，其Nδ并不为常数。事实上，当δ取得越小，被量测的海岸线长度L就越大，乃至趋向无穷大。
从式（5．43）出发，对其两端取自然对数得到：
ln［L（δ）］＝ln（Nδ）＝ln（L0）＋（1－D）lnδ （5．44）
在此基础上可以构造一个递减的尺码序列，用来度量分形曲线，求得与之相对应的欧氏长度序列。在lnδ－lnL平面上，对（lnδ，lnL）点列以线性回归模型进行处理，用最小二乘法经过计算线性拟合线的斜率，此时分维数D的值为1与斜率之差，一般地，1≤D≤2。分维数D反映了自然物体的不规则程度，D值越大，说明曲线的复杂程度越大。
比较式（5．42）和式（5．43），发现用欧氏经典几何分析不规则物体时，结果不精确，难以令人满意。式（5．43）才是不规则曲线的正确量度。显然，当D＝1时，即对于一条光滑曲线，式（5．43）还原为式（5．42）。
（2）对于形状图斑情形，可以采用以下公式：
D———图斑的分维数。
对于线状要素情形和形状图斑情形，由分形理论可知1＜D＜2。特别应当指出的是分维数D是自然图形复杂程度的一个量化指标，D的数值越接近2，意味着自然图形的复杂程度越大。
将分形曲线量测推广到多维情况，设E是欧几里德维数，式（5．43）进一步推广为：
G（δ）＝G0δE－D （5．46）
式（5．46）适用于分形曲线、分形面积和分形体积的量测，当E＝1时，G和δ对应于线；当E＝2时，G和δ对应于面积；当E＝3时，G和δ对应于体积。
式（5．46）还可作为滤饼孔隙分形特征研究的理论方程。
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