让基础型课程沐浴阳光

一、走进经典课程

走进经典课程是语文基础课程的延伸支脉，课程的设计目的在于引导学生逐步建立课外阅读的兴趣，指导其赏析、评价文学作品，形成健康的审美意识、审美情趣和审美能力，树立正确的价值观，提高比较辨别能力和鉴赏评价能力，塑造健全的人格。

表3-3　走进经典课程建设方案

二、初中数学概念导入教学的实践研究

概念教学在数学教学中具有关键地位。概念教学的导入阶段，是教师组织学生学习概念活动的开始，是学生在特定的背景下建构数学意义的重要时机。它是一个引导学生模拟创造的过程，是培养学生用数学的眼光看待问题、思考问题的关键时段。概念教学导入的质量直接影响着学生学习概念的质量。

20世纪70年代，C·特耐等人提出导入的功能为：引起注意、激起动机、构建教学目标、明确学习任务以及建立联系。理查德·阿兰兹等人指出，新课的开始在课堂教学中具有至关重要的价值，它的重要性表现在引起学习欲望、激发学习兴趣两方面。詹姆斯·库拍提出，导入环节使用情境设置的最终目的是激发学生兴趣和唤起学生进入课堂学习的热情，它的主要功能就是把学生的注意力集中于教师的课堂教学，而教师的导入往往借助于活动、事件、模型或者有利于激发学生兴趣、唤醒过去经历的人物等。

国内的研究比较注重对导入的方式方法和注意事项的研究。如王杰航在《初中数学课堂引入的实证研究》中提出课堂引入的十个实例；龙敏信在《浅析中学数学教学的课堂引入方法》中提出引入的常用方法；赵玉华在《浅谈课堂教学中如何引新课》一文中提到引入新课要遵循的原则，如引入新课必须使学生明确学习新课的目的，必须符合从特殊到一般、从具体到抽象、从现象到本质等研究的原则。

成功的导入教学可以引起学生的认知冲突，唤起学生的有意注意，激起学生的学习欲望，创设愉快的学习氛围，产生积极的情感体验，建立知识之间的联系，起到目标定向作用，对于提高数学课堂教学质量和传播数学思想文化都有着重要的意义。

数学概念的导入教学是指数学教师根据不同的学习对象和概念内容，为引导学生进入积极学习的准备状态，让学生明确学习概念的内涵、外延、目标和意义，而设计并在课堂中实施的师生双边活动。学校数学教研组在2014～2016年的两年间，通过在课堂上不断实践、反复论证，掌握初中阶段的核心概念，概括概念导入教学的基本原则，形成概念导入教学的主要策略，揭示数学概念导入教学的含义和论证数学概念导入教学研究的重要性。

本研究通过梳理初中数学核心概念，明确这些概念的核心地位、蕴含的思想和方法，建构符合初中学生认知水平和认识规律为核心的概念导入教学基本原则，归纳出符合初中生认知基础和心理需求的概念导入教学思路，进而掌握符合初中生学情的导入策略和过程性评价方法。

本研究的实际意义在于探索有效的初中数学概念导入教学的途径与策略，培养学生理解和掌握数学概念的能力，避免概念教学落入“满堂灌”“注入式”的陈旧教学模式，促进教学方法和模式的创新，可以为区域开展“创智课堂”研究和开展教师专业化培训提供丰富而翔实的素材和成果。

【案例】

“锐角的三角比”概念导入教学中的语言交流与表达

本文以课本中的“锐角的三角比”（第一课时)^[1]为例，谈谈概念导入教学中的数学语言交流与表达。

本课时的概念导入阶段要达成的教学目标是：经历猜测、比较、归纳和证明等活动，让学生领会学习锐角的正（余)切概念的必要性和重要性，正确理解概念含义及其符号语言表达形式，感悟数学抽象、数学化归、推理证明和数学模型等一般性数学方法。理解锐角的正（余)切概念的意义是本课时的教学重点和难点。

一、历史的溯源和教材的启示

从公元前600年左右泰勒斯在埃及用日影及比例关系测金字塔高，到公元前200年左右“三角学之父”希帕霍斯为天文观测需要做“弦表”，再到公元1748年欧拉在单位圆中用线段比定义三角函数，足见三角学的发展史是从静态到运动、从具体到抽象、从古希腊文化到欧洲文明的变迁。在此历史演进过程中，“三角比”与“测量”结下了不解之缘。

在课堂上，教师难以完整复现先哲们的科学探索过程，学生第一次接触“三角比”概念时，教师应当巧妙设计交流与表达活动，让学生感受“三角比”概念与“测量”之间的历史渊源。

教材导言部分提供的“梯子问题”形象且贴近生活，用直角三角形两直角边比值的大小来刻画梯子的倾料程度，能较直接地让学生感受到锐角正切的意义，但它不能适时地体现锐角的三角比在测量中的应用价值。同时，教材中提供的“金字塔问题”是一个经典的目标物测量问题，它深刻展现了数学的应用价值，但它未涉及锐角的具体度数，对大部分学生而言比较抽象，思维跨度大，因而在引导学生考察边角关系时会显得不够顺畅。

二、学生情况分析

从学生的认知基础情况来看，他们有较强的数学学习热情和求知欲，有主动思考和交流的意愿；已掌握了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等基本知识；已具备灵活运用匀股定理和相似三角形的性质求线段长的基本技能；有基本的逻辑推理和判断能力。但学生的数学语言与符号交流表达的能力一般，数学建模和抽象思维能力有待提高，刻苦钻研和严谨细致的品格有待培养。

通过在课前与学生的个别交流与访谈，教师了解到学生有两个基本学习需求，即想知道“什么是锐角的三角比”以及“为什么要学习锐角的三角比”。

三、数学语言交流表达活动设计中的困惑

教师在设计学生交流与表达活动时产生了以下三个困惑：

困惑1：直接用直角三角形的直角边长之比来定义正（余)切太突兀，该如何让学生自然联系线段之比?

困惑2：怎样才能让学生顺畅地将直角三角形中锐角的对边与邻边的比值和锐角的大小联系起来?

困惑3：如何让学生欣然理解并认同锐角三角比的意义?

受课本第76页练习的启发，教师设计了以下“课前练习”。因课堂时间有限，故将此问题解决方案的设计作为课前一天的作业，教师提前完成批阅并在课堂上重点交流。

图3-1

课前练习：如图3-1，为测量铁塔AD的高度，在离铁塔底部D点160米的E处，用高为1.2米的测角仪CE测得水平线CB和视线CA的夹角为35。，问铁塔的高度约为多少米?运用你所学过的知识设计测量方案（可使用量角器、刻度尺和计算器等文具)。

四、数学语言交流与表达的课堂实录

师：（课前先在黑板上画好Rt△ABC，其中一个锐角为35。，字母暂不标注)昨天我们布置了课前练习，下面请同学们来交流一下解决方案。

A生：画一个Rt△A′B′C′，使∠B′＝90。，∠C′＝35。，可以证出Rt△A′B′C′∽Rt△ABC，于是就可以得到因为BC＝DE＝160（米)，BD＝CE＝1.2（米)，A′B′和B′C′长度都可用刻度尺测量得到，所以只要把数据代入比例式中就可以求出AB的长度，再加上BD的长度就可得到铁塔的高度。

师：A同学的解决方案非常好!让我们送点掌声给他!其实，A同学解决这个测量铁塔高度问题的基本依据与古希腊数学家测量地球半径、埃及大金字塔等的基本依据是相同的，就是我们之前学过的“相似三角形的对应边成比例”。

此时，A同学脸上露出颇有成就感的表情。

师：不过，我有个疑问，按照A同学的做法，全班同学所画的直角三角形的大小是不尽相同的，在忽略画图、测量等误差因素的情况下，运用此方案能确保每位同学求出来的铁塔高度相等吗?

此问题一抛出，很多同学转而露出疑惑的表情，A同学也一下子愣住了。

师（继续引导)：比如，B同学画了一个比Rt△A′B′C′小的Rt△A 1B 1C 1，其中，∠B 1＝90。，∠C 1＝35。，你怎么证明解出来的线段长度和A同学求出的长度是相等的呢?请你叙述证明过程。

有的同学开始埋头打草稿，有的开始小声与周围同学交流。

师：如果其他同学画的三角形Rt△A 2B 2C 2、Rt△A 3B 3C 3……Rt△An Bn Cn都与Rt△A′B′C′相似，且锐角为35。，是否一定有呢?

众生：一定!

师：其实证明方法是相同的，于是可得到再请大家观察一下，这些分子和分母分别表示的线段在相应的三角形中和35。锐角有怎样的位置关系?

C生：分子上的线段是35。锐角的对边，分母上的线段是邻边。

师：那你们能否把刚才发现的规律用文字语言叙述一下?

学生与周边同学小声交流命题的表达。

D生：我是不是可以说“在所有锐角为35。的直角三角形中，35。这个锐角的对边与邻边的比值都是相等的”?

学生的语言一开始不太流畅，经过反复修正后逐步形成比较规范的表达。

师：大家同意吗?（众生点头同意)既然这些比值是相等的，那我们可以说这些相等的比值是一个确定的值。大家测量一下你们各自所画直角三角形的两条直角边，并互相交流一下计算出来的这个比值（求此比值为后面解释正切的意义埋下伏笔)。

学生开始与周围同学交流，大家一致认为比值约等于0.7，教师明确指出：在忽略误差因素的情况下，直角三角形中35。锐角的对边与邻边的比值是一个确定的数。

师：如果我把锐角的度数改成48。，又该怎么叙述这个规律呢?证明方法是否和之前的一样?如果推广到一般情况，该怎么表达这个命题呢?

E生：在所有锐角为48。的直角三角形中，48。这个锐角的对边与邻边的比值都是一个确定的值，证明方法和之前是一样的。

F生：在一般情况下，如果知道直角三角形的一个锐角大小，那么这个锐角的对边与邻边的比值是确定的。

教师请学生结合几何图形，运用符号语言表达命题内容。

师：归纳得太棒了!如果给定直角三角形的一个锐角，那么这个锐角的对边与邻边长度的比值就是一个确定的数。请继续思考，在直角三角形中，给定锐角的对边与邻边长度的比值会受直角三角形大小和位置的影响吗?为什么?

G生：不管三角形的大小和位置怎么改变，只要锐角给定，那么两个直角三角形就一定相似，那么对应边就成比例，从而锐角的对边与邻边长度的比值就一定相等，证明方法和之前的一样，所以说和直角三角形大小和位置没有关系。

师：论述得非常严密!在直角三角形中，如果锐角大小变化，那么锐角的对边与邻边长度的比值会随之变化吗?

H生：从刚才35。和48。两个锐角的情况来看，如果锐角大小变化，那么锐角的对边与邻边长度的比值会随之变化的。

教师利用几何画板，给学生展示当锐角确定时，锐角的对边与邻边长度的比值是确定的；当锐角大小变化时，锐角的对边与邻边长度的比值会随之变化。

师：在天文、航海和建筑等领域中，我们会经常用到直角三角形中锐角的对边与邻边长度的比值，为了便于今后学习，我们就把在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫作锐角A的正切（结合板书)。

五、对概念导入中语言交流与表达活动的反思

一个概念的来龙去脉在数学史上通常是个漫长的过程，课堂上的确不可能也没必要重走这个过程。教师的智慧往往就体现在怎样选择和浓缩这个过程，通过组织交流与表达活动，让学生感受概念的形成和发展过程，在此过程中往往包含着许多数学思想方法，这对于培养学生比较、分析、综合、抽象和概括等诸多思维能力有着积极意义。因此，教师非常有必要在概念导入阶段对数学语言的交流与表达活动做出充分的设计。

“锐角三角比的意义”一课中，用直接告诉学生定义的方法来导入正（余)切概念不会超过五分钟，但本教学设计的导入阶段共花了约20分钟，约占整堂课的50%。其中学生运用口头语言交流表达所花时间约8分钟，有8位学生独立参与了课堂交流与表达活动，约占全班28位学生的29%。

之所以设计这样的交流与表达活动，是基于对三角比历史的追溯、教材的研读、学情的分析以及对困惑的破解，旨在让学生领会为什么要学习新概念和为什么要这样定义此概念。

课前练习中的锐角并非学生所熟悉的30。、45。和60。等特殊锐角，若学生思路孤立在此直角三角形中，则必将受困。因此，该方案的设计无疑是对学生思维品质和能力的挑战。事实证明大部分学生在经历了无计可施的煎熬后通过与同伴合作交流，最终利用相似三角形的知识设计出测量塔高的方案，并自然地与线段比的问题建立起了联系，从而解决了“困惑1”。

在学生A表达了测量塔高的方案后，教师提出一个问题：同学们所画的直角三角形的大小不同，在忽略画图测量误差因素的情况下，运用此方案能确保求出来的铁塔高度一定相等吗?这个疑问的提出，可以引导学生步步逼近直角三角形中反映边角关系的重要结论，为引出锐角的正切埋下伏笔。因此，这一问题起到了很好的过渡作用，同时也顺利地解决了“困惑2”。

在什么时机、以什么方式把锐角三角比的意义呈现给学生且让学生能欣然接受?在给出正切的定义后，教师引导学生反观实际问题，让学生对比两种不同的解决方案（见表3-4)，从中体会到利用以往所学知识解决此问题需要构造相似三角形和列比例式计算等相对比较麻烦的步骤，而运用锐角正切的知识只需经历一次快捷的乘法运算。相比之下，锐角的正切在测量问题中的应用价值显而易见，这就有效地解决了“困惑3”。

表3-4　“课前练习”解决方案对比表

由于课堂上给了充足的时间让学生理解锐角正（余)切的意义，所以学生的交流与表达能力得到了充分训练，从课堂检测和评价的情况来看，运用新概念解决问题的正确率也得到了保证。

【注释】

[1]本课为2011年10月20日所开的上海市公开课。