数学与生活

第二篇　数学与生活

陈晓华

提高中学生应用数学的能力，就要求中学生用数学的眼光去观察周围的实际情景，并进行分析和归纳，从而将各种实际问题转化为数学问题，并运用已学的知识使问题获得圆满的解决。下面将阐述数学在各类实际问题中广泛应用。

一、选择职业

A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异:A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元，从经济收入的角度考虑的话，选择哪一家公司有利？

分别列出第一年，第二年，第N年的实际收入（元）:

第一年A公司10 000，B公司5 000＋5 050＝10 050

第二年A公司10 200，B公司5 100＋5 150＝10 250

第N年A公司10 000＋200（n-1）

B公司［5 000＋（n-1）100］＋［5 000＋100（n-1）＋50］＝10 050＋200（n-1）

而10 000＋200（n-1）-［10 050＋200（n-1）］＝-50

这就是说在A公司工作比在B公司工作年收入永远少50元。所以在B公司有益。

二、学生水平的评估

学生经常要参加考试，还时常要统计班上的平均分。例如，有一名学生期末数学成绩78分，全班共30人，另外29个学生的数学成绩是:一个0分，一个12分，一个40分，10个70分，15个90分，一个100分，全班的平均分是76分。如果这位学生认为因自己的成绩超过平均分，故成绩属于中上，对吗？其实，这不反映中上水平，因为他是全班倒数第四。这说明此时求平均数不能反映实际水平，因此在初三数学课的“统计初步”中，还要学习中位数、众数等概念，有了这些量才能判断该学生的真实水平，在本例中该班数学成绩中位数是90分，众数是90分，由此可见，该学生属于中下水平。

三、商品价格的调整

将某商品先涨价10%后再降价10%，所得的价格和原先的价格相比有无变化？不少同学会不假思索脱口而出:那还用问吗？肯定不变。果真如此吗？

比如:这种商品原价100元，则涨价10%后价格为100＋10＝110元，再降价10%就是110-11＝99元，可见比原先的价格便宜了。所以很多事情不能想当然贸然下结论，还是动笔算一算为好，才能做到心中有“数”。请研究下例:

某商品拟作两次调价，设p＞q＞0，有下列六种方案供选择:

（A）先涨价p%，再降价q%；

（B）先涨价q%，再降价p%；

（C）先涨价（（p＋q）/2）%，再降价（（p＋q）/2）%；

（D）先涨价pq%，再降价pq%；

（E）先涨价（（p＋q）/2）%，再降价pq%；

（F）先涨价pq%，再降价（（p＋q）/2）%；

若规定两次调价后该商品的价格最高的方案称为好方案。请判断其中哪一个是好方案？

分析 设某商品原价为1，采用方案（A），（B），（C），（D），（E），（F）调价后的商品价格分别为a，b，c，d，e，，则

所以，方案（A）是好方案。

四、平面的检测问题

几何概念是从生活中抽象出来的，有一个抽象化和理想化的特点。比如说“平面”，是一个不定义的基本概念，平静的水面、玻璃面……都是平面概念的一个现实模型，平面的性质是通过公理来确定的。例如公理1“如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内”。看似枯燥抽象，但在生活中有着大量的应用。让学生观测周围的生活，如果玻璃板是新的，将直尺在玻璃板上竖起左右推动，则尺边和玻璃板面无空隙，不透亮点。但如果另一块玻璃有一个凹坑，用这种方法推动直尺时，则有空隙和透亮点。说明这块玻璃板已经不平了。既“直线上所有的点都在这个平面内”不成立了。公理1反应了平面特有的性质，如果是球面，用一根棍穿过去，只有两个交点，直线上其他点均不在球面上，说明球面不具有平面的公理1的特性。建筑队师傅在做水泥地面时左右推动铲具，其实也应用了公理1这个原理。

五、货运车货物装载高度

图2

货运车在运输途中，要经过一个半径为2.6m的半圆形隧道。这辆车的车身宽1.6m，若这辆车要能顺利通过这个隧道，问这辆车装载货物后的高度最多不能超过多少？

解:货运车装载货物后的高度为Xm，如图设MK P N为货运车的一个纵截面，OG为山洞高，OP＝2m.由勾股定理，得

ON²＝PN2＋OP2 ∴PN²＝ON²-OP²＝2.6²-1²＝2.4（m）

当然为了使货物与隧道顶面不发生摩擦，还须使货物与顶面保持一定的距离，若这个间距是0.2m，那么货运车的高度最多只能达到2.2m。

六、地砖的铺设问题

最常见的地砖是正方形的，但现代城市的人行道除去用正方形地砖外，还常用正六边形地砖铺路。一般地，用全等正n边形铺满平面，边数n可以是哪些值呢？

如果设正n边形一个内角是a，那么为了能用全等的正n边形铺满平面，a必须是360的约数。正n边形的n个内角的和是180（n-2），所以，

a＝180（n-2）/n

由此得

360/a＝2n/（n-2）＝2＋4/（n-2）

当且仅当正多边形的边数n＝3，4，6时，上式右端的值是正整数。所以，只有三种全等的多边形能够铺满平面。这就是正三角形，正方形，正六边形。

七、旅行社的选择问题

生活中有许多事物是可以量化的，可以用数学方法讨论。例如，有几个家庭要全家去某地旅游，他们同去A，B两个旅行社打听购票办法。这两个旅行社票价一样。但优惠办法不同，A旅行社优惠的办法是:全家有一人购全票，其余人半价优待；B旅行社是全家每人按2/3的全价优惠购票。你看哪个旅行社更优惠？

应该让学生注意到:要考虑这几个家庭旅游人数不同时，对A，B两个旅行社的选择也不会相同。我们可以设家庭人数为x，若两个旅行社单人全票为m元，A旅行社全家总票价为Y a，B旅行社全家总票价为Y b；则令Y a＝Y b，

Y a＝m＋m（x-1）/2　　

Y b＝2mx/3　　　　　　

m＋m（x-1）/2＝2mx/3　

x＝3

由此可知，当全家为3口人时，两个旅行社收费相等。

观察周围的实际情况，探求它们的数学内涵，可以体现在许多方面。例如，去购物时遇到“大甩卖”，“打折”等问题，怎样计算才合适呢？比方，“一商店的某货物现按标价的九折出售，它的标价为2 640元，但仍可获得20%的利润，问它的进价是多少？”这个问题可以利用方程来解:设此货物进价为Y元，则

2 640×90%-Y＝Y·20%

Y＝2 640×0.9/1.2＝1 980

八、物资的分派问题

数学的规划决策，对日常实际问题作出判断非常重要，如A市和B市分别库存某机器12台和6台，现决定支援给C市10台，D市8台。从A市调运一台机器到C市、D市的运费分别为400元和800元；从B市调运一台机器到C市、D市的运费分别为300元和500元。

（1）设B市运到C市机器x台，求总运费W关于x的函数式；

（2）若要求总运费不超过9 000元，问:共有几种调运方案？

（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？

分析可知:

（1）从B市运往C市机器x台，则B市运往D市机器（6-x）台，A市运往C市机器（10-x）台，运往D市机器（2＋x）台。

那么W＝400（10-x）＋800（2＋x）＋300x＋500（6-x）＝200x＋8 600（0≤x≤6）

且x为整数。

（2）∵W＜9 000，∴200x＋8 600＜9 000，x＜2，

∴x＝0，1，2

即有三种调运方法。

（3）然当x＝0时，W的最小值是8 600，故最低运费是8 600元。调运方案是:B市运往D市6台，A市运往C市10台，运往D市2台。

生活处处有数学，但学生不一定能在生活中联系到所学的数学知识，教师在教学时更不能将数学孤立起来，变成为证明而证明、为计算而计算，成功的数学教育应当给学生一双数学的眼睛。所以作为数学教师，在数学教学中要有意识地、主动地教给学生以数学的眼光去观察生活，学会将实际问题转化为数学问题，用数学观点分析现实问题，用数学的方法去解决生活中的问题。联系数学实际进行教学，抽象的数学就生动、具体化了，数学教学使学生兴趣盎然，数学就不再枯燥难学了。

参考文献:

〔1〕张奠宇、戴再平，《初中数学应用问题》，华东师范大学出版社，2001年11月第三版

〔2〕任景业，《让学生体会数学的价值》，数学教学，2002.3

〔3〕何兰、孙夏，《中考新视野》数学，上海科技教育出版社，2000年1月第一版