实验数据拟合原理与方法

（1）最小二乘法原理

最小二乘法原理是一个统计学原理。 用来解决从一组测定值中决定最佳值或最可信赖值的问题，它在工程实际中有着广泛的应用。 1806年，Legendre提出了使误差平方和为最小以限制极限误差的思想。1809—1826年Gauss又独立地阐述了最小二乘法的全部主要内容。 严格地说，最小二乘法作为一种最似然方法，仅在正态分布误差的情况下才成立。 然而在与正态分布差异不大，以及在误差很小的任意分布时，也常采用最小二乘法来处理实验数据。

设某一元独立变量x的函数表示为

y＝f（x；a1，a2，…，an） （1．10）

式中a1，a2，…，an是常数参量，而且是测量求解值。测量时，改变x，相继取x1，x2，…，xn，测量出对应值y1，y2，…，yn。若测量无误差，则将n次测量值yi和对应值xi代入式（1．10）中，就可以得到n个方程。联立求解n个方程，就可以确定a1，a2，…，an等共n个参数。

然而yi的测量不可避免地含有误差ξi，因而解出的a1，a2，…，an也必然包含有误差。为了简化讨论，假定xi的取值无误差，则真实误差为

ξi＝yi－f（xi；a1，a2，…，an） （1．11）

设在等精度测量中，各测定值的出现是彼此独立的，互不相关，ξi为正态分布，故所有误差同时出现的概率为

根据正态分布的特性，在一组测量中，测量结果的最佳估计值乃是概率P为最大时所求出的计算值。 为使P最大，显然令

实际上，测定位的真值不可知，常用算术平均值x代替数学期望M，以剩余误差νi代替真误差ξi，并以估计值σ＾代替标准偏差σ，将式（3．13）改写为

式（1．14）说明测量结果中最佳估值出现的条件是剩余误差平方和为最小，这在数学上称为最小二乘法。也就是说，在yi有误差的情况下，a1，a2，…，an各参数的最佳估值是在将各估值a1，a2，…，an代入关系式（1．10）之后，所得到的剩余误差

νi＝yi－f（xi；a1，a2，…，an） （1．15）

的平方和为最小的条件下产生的。 或者说，最佳值就是那些能使各测定值的误差的平方和为最小的那些值。

将式（1．15）代入式（1．14）整理，则要求估计值满足最小二乘法的条件就是

为了使参数的估计值满足最小二乘法，则

当实际测量次数m不小于函数中未知常系数的个数，即m≥m＋1时，上述方程组恒有唯一解。 这些解就是诸参数在最小二乘法意义上的最佳估值。

（2）线性拟合

设未知函数接近于线性函数，取表达式

y（x）＝ax＋b （1．18）

作为未知函数的拟合曲线。若实验数据为（xi，yi），i＝1，2，…，n。则每一个实验数据的点与拟合曲线的偏差为

y（xi）－yi＝axi＋b－yi， i＝1，2，…，n （1．19）

而偏差的平方和为

根据最小二乘法原理，应取a、b使F（a，b）有极小值，即a与b应满足的条件为

即

由方程组式（1．22）解出a，b的值，代入式（1．18），即可得到由给定实验数据所确定的拟合曲线的表达式。

（3）多项式拟合

设实验数据可以用一个m次多项式（1．23）表示。

实验数据为（xi，yi），i＝1，2，…，n。要求n远大于m。与线性拟合相同，作误差的平方和

根据最小二乘法的原理，为使误差的平方和最小，则分别对a0，a1，…，am求偏导数，并使之为0，得

即

式（1．26）中：k＝0，1，2，…，m。式（1．26）中m＋1个方程通常被称为法方程。 方程组（1．26）的系数矩阵是一个对称矩阵，并且是正定的，并可以证明该方程组的系数行列式不为0，该方程组有唯一解。因此，将实验数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n）代入方程组，就可以唯一地解出a0， a1，…，am，将a0，a1，…，am代入式（1．23）可以得到由实验数据所确定的近似多项式。

在多项式拟合中，需要注意的是高次多项式的拟合会引起数值的不稳定。 因此，高次多项式拟合在工程应用中没有实用价值。

（4）利用正交多项式作最小二乘法拟合

在多项式拟合中，用最小二乘法得到的方程组式（1．26），其系数矩阵是病态的。 为了避免解病态方程组式（1．26），在实际应用中，通常利用正交多项式来拟合实验数据。

设给定的实验数据为（xi，yi）（i＝1，2，…，n）。需要求一个m次的最小二乘法拟合多项式

如果能构造出一组次数不超过m的正交多项式函数系Qj（x）（j＝0，1，2，…，m），则可以首先用Qj（x）（j＝0，1，2，…，m）作为基作最小二乘法拟合，即

Pm（x）＝q0Q0（x）＋q1Q1（x）＋q2Q2（x）＋…＋qmQm（x） （1．28）

其中的系数qj（j＝0，1，2，…，m）为

将式（1．28）中的各Qj（x）展开就可以化成一般多项式（1．27）。

可以通过递推的方法来构造次数不超过m的各正交多项式：

式中的αj和βj的定义为

在实际计算过程中，根据递推式（1．30）逐步求出各正交多项式Qj（x），并用式（1．29）计算组合系数qj。同时，逐步将每次计算得到qjQj（x）的值累加到拟合多项式中。