物理实验的数据处理方法

第六节　物理实验的数据处理方法

物理学的许多重大发现都是从分析实验数据中得出的。特别是物理定律的公式，基本上都是从对实验数据的处理中得到的。所以，在物理实验中要认真采集、记录实验数据，实验之后要对实验数据正确地进行分析和处理，对实验结果作出正确的评价。

只有这样，才能获得关于研究对象的正确认识。总之，我们要从认识论和方法论的高度，而不是从单纯的技术角度来看待实验数据的采集、处理，实验结果的评价等问题。

列表法

列表法处理数据是把实验测得的数据和计算结果，以表格形式一一对应地排列起来，以便分析各量之间的关系，从中找出规律性的联系。

例如，1879年发表的霍耳效应，就是运用列表法处理实验数据得到霍耳公式的。霍耳通过实验得到如下表所列的数据。

通过对数据的分析，霍耳得出结论：汤姆逊电流计的作用与磁力和通过金箔的电流之积成比例。即横向电动势：。

表

又如，用一只电压表和一只毫安电流表来研究一个定值电阻的电压一电流关系，从而求出该电阻的阻值，由于在研究过程中，需要从零开始改变定值电阻上的电压、电流，所以将变阻器接成分压器的形式。设实验中电压依次取值为2.00V，4.00V，6.00V，8.00V，10.00V，测得通过定值电阻的电流依次为15.4mA，31.0mA，47.2mA，68.8mA，76.6mA。下面先把这些数据是如何采集的分析一下。

因为在电压、电流两个变量中有一个是独立的，为了处理方便，不妨使其中的一个取计算方便的值，在此就控制电压为整数值；因为电阻上的电压、电流基本上是线性关系，所以，可以使所取的电压值均匀分布，这样就可以比较清楚地反映整个实验取值范围内电阻上电流随电压的变化情况。

采集到实验数据之后，还要用正确的方法把它记录下来，才便于整理、分析。试把上面测得的电压、电流值记录成如下表的格式。

显然，这样一张数据表很难给人一个清晰的印象。但如把记录表格改成如下表的格式，就使人一目了然（表中电阻一项是以后通过计算得到的）。

从这个表格的设计中还可以看出，一份完整的数据表除了将各组数据合理地排列外，通常应该包括以下内容：

①所测得的数据或数据组的编号；

②直接测量和间接测量的物理量的名称、符号、单位；

⑧间接测量的物理量的计算式。

在采集数据时，应该尽可能使数据点合理地分布在所研究的整个区域里。如果所研究的几个物理量之间不是线性关系，则在一个量随着其他的量变化较快的区域，数据点应取得密一些；变化较慢的区域，则可以取得疏一些。

例如，在研究物体所受外力一定的条件下加速度与物体质量的关系时，按相同的间隔将物体的质量取100g，150g，200g，250g，300g，350g，然后用作“α－1/m”图线的方法来检验加速度是否与物体的质量成反比关系。从表面上看起来，数据的分布是均匀的，但实际上，由于加速度和物体的质量呈反比关系，当用上面的数据作成“α－1/m”图线时，数据点将集中在质量大，即1/m值较小的区域。为了使作图时数据点在“α－1/m”图线中基本上能均匀分布，应使连续两次所取的物体质量的倒数之差大致上是一常量。

例如，将物体的质量取为100g，120g，140g，180g，250g，350g就比较合理了。

误差理论是进行实验数据处理的依据

（1）各个物理量的测量不可避免地都存在误差。

我们对常用的仪器和一般的测量方法误差的大小要有一个初步的概念。例如，用带毫米刻度的米尺来测量物体的长度，测量的误差一般可以控制在±0.5mm之内；用最小分度为0.02A的电流表来测电流，测量的误差一般可以控制在土0.01A之内，等等。这样，就能对自己测得的数据的合理性有一个基本的估计，而不是去拼凑实验的数据了。

（2）用绝对误差或相对误差来表示误差大小时是如何反映测量的精确程度的。

设用皮尺来测量一条百米跑道的长度，误差为10cm，用螺旋测微器来测粗细约为0.07mm的头发的直径，误差为0.01mm，就绝对误差来说，后者要小得多，但就实际的精确程度来说，前者就要高得多了。

在间接测量中，如果要测量的是几个直接测量的量的和或差时，测量的精度主要由直接测量的量中绝对误差最大的量决定，因此，测量中应首先考虑提高绝对误差最大的量的精确程度。例如，测“单摆”的摆长时，摆线长度测量的绝对误差显然要比摆球直径测量的绝对误差大得多，因此，首先要测准摆线的长度。而如果间接测量的量是几个直接测量的量的积或商时，测量的精度主要由直接测量中相对误差最大的量的精确程度决定。

因此，测量中应首先考虑如何提高相对误差较大的量的精确程度，例如，用天平称出一不规则物体的质量，再用量筒量出物体的体积，然后由式ρ＝m/V求出物体的密度，显然体积测量的相对误差要比质量测量的相对误差大得多，实验中就应首先考虑提高体积测量的精确程度。

（3）系统误差、偶然误差的初步概念、特点和消除的方法。

系统误差的特点是在同一条件下（方法、仪器、环境和观测者不变）、多次测量同一量时，误差的大小和符号总按一定的规律变化，消除的方法或者是校准仪器，或者是改进测量的原理，或者是改善实验的环境，或者是克服观测者的不良习惯。

例如，用“伏安法”测导体的电阻，用电压表内接的电路，不论经过几次测量，测量值总是偏小。解决的办法或是换用内阻更大的电压表或是根据电压表的内阻值对测量结果进行修正，或是改用电桥法进行测量等等。偶然误差是由于各种难以确定的因素引起的特点是每次测量偏大或偏小的机会差不多，因此，消除的方法可以在相同的条件下对同一个量进行多次测量，然后取它们的平均值。

例如，用螺旋测微计测一片金属片的厚度，或者由于每次的测量时施加的压力不同，或者每次估读时有偏差，每次的读数可能偏大或偏小，但若取多次测量结果的平均值，误差就小得多了。

需要说明，偶然误差不是没有因果关系可以追寻的，只是有时观测者对实验中的各种因素不能完全把握，或者虽然知道某种因素对实验结果有什么影响，但处理起来过于复杂，不能或不便于对测量结果进行修正罢了。同时，系统误差和偶然误差的区分也不是绝对的。

例如，用一只电流表来测量一个电路里的电流，由于指针转动时轴上有摩擦，每次测量同样大小的电流时，指针并不准确地停在同一刻度上，这样造成的误差大小和符号是不能确定的，这就属于偶然误差。

电流表表头内磁铁的磁场沿半径方向的分布并不是绝对均匀的，这使得表头的刻度也不是绝对准确的。如果已经用高一级的电流表对每一个刻度进行了校正，则测量时就可以根据校正值对凑数进行修正，这时电流表读数的误差就属于系统误差；如果没有对电流表进行校正，则对每个电流值进行测量时误差的大小就无法预计，这样造成的读数误差就作为偶然误差来处理。

处理实验数据的几种方法

（1）用计算法求测量的平均值处理实验数据。

在相同条件下对某—物理量进行多次的直接测量，各次测量值的算术平均值就是最终的测量值（有时还要涉及加权平均问题）。当然在对某—物理量进行间接测量的情况下，求平均值时要慎重处理。

例如，测定了—个定值电阻上的若干组“电压—电流”值来求该电阻的阻值，正确的方法是先根据各组电压、电流值计算出电阻数目，然后再求电阻的平均值。

例如，先求得

R₁＝2.00V/15.4mA＝128Ω

R₂＝4.00V/31.0mA＝129Ω

R₃＝6.00V/47.2mA＝127Ω

R₄＝8.00V/68.8mA＝116Ω

R₅＝10.00V/76.6mA＝128Ω

通过比较，第四组数据和其余各组平均值相差太大，超过所用仪表的基本误差很多（假定所用电流表是2.5级的），说明测量中有某些差错，应舍弃不用。这样，求得电阻的测量值

R＝（R₁＋R₂＋R₃＋R₅）/4＝（128＋129＋127＋128）/4＝128Ω

如果用以下的方法求平均值：先求电压的平均值

U＝（2.00＋4.00＋6.00＋8.00＋10.00）/5＝6.00V

再求电流的平均值I＝（15.4＋31.0＋47.2＋68.8＋76.6）/5＝42.2mA

然后求得电阻R＝U/I＝142Ω。显然，这种方法是毫无意义的。

又如，在用打点计时器测量匀加速直线运动物体的加速度时，可以用“逐差法”。设连续6个时间间隔T内物体的位移依次是s₁，s₂，s₃，s₄，s₅，s₆。先求得

a₁＝（s₄－s₁）/3T²

a₂＝（s₅－s₂）/3T²

a₃＝（s₆－s₃）/3T²。

再求得

之所以这样，而不是先按下面的方式来求得各加速度值

a₁一（s₂－s₁）/T²

a₂－（s₃－s₂）/T²

a₃＝（s₄－s₃）/T²

a₄＝（s₅－s₄）/T²

a₅＝（s₆－s₅）/T²。

再由式）/5来求加速度的平均值，是因为这样做的话，如果用各组加速度的值代入平均加速度公式，将会发现除了s₁及s₆以外，其余各位移值都被消去，即这些数据都损失了，显然这种做法是错误的。

在验证碰撞中动量守恒的实验中，教材中是用这样的方法来求小球的平均落点的：作一个最小的圆，将小球的各次落点恰好包围在内，这圆的圆心就作为小球的平均落点，这也可算作是求平均值的一种方法，这个方法虽然粗糙，但还是体现了数据处理的基本思想，所以也是很巧妙的。

在处理实验数据时，既要尊重客观，不允许随便修改、拼凑数据，又要对数据有所取舍。当然这取、舍都必须在经过认真的分析之后来确定。例如，上面计算电阻的平均值时舍弃了第四组数据；又如，上面求小球的平均落点时，如有个别的点偏离其他点的平均位置太远时也应舍弃。在必要时，还应对存在疑问的数据重新测量。

（2）用解析法处理数据。

解析法也是常用的一种数据处理方法。例如，在原子物理学的发展中，人们发现从氢气放电管获得的氢原子光谱，在可见区和近紫外区有多条谱线构成一个很有规律的线系。谱线的间隔和强度都向着短波方向递减，其中有四条谱线的波长为

谱线　　　 颜色　　　波长（A）

Hα　　　　红　　　　6562.10

Hβ　　　　深绿　　　4860.74

Hγ　　　　青　　　　4340.10

Hδ　　　　紫　　　　4101.20

1885年巴耳末发现这些谱线的波长可以归纳为下列简单的关系式λ＝Bn²/n²－4（n＝3、4、5、…；B＝3645.6A）

此式可得的波长数值为：实验洪差内州所测数值一致，后人称此式为巴耳末公式。

（3）用图线法处理实验数据。

图线法因其简单、直观、物理意义明显，在物理实验中得到广泛应用。用图线法处理实验数据时，要注意以下几个问题：

①正确选择坐标，尽量使图像“线性化”。

用图线法处理实验数据时，为了更清楚地显尔物理量之间的关系，首先要合理地建立坐标。一般可以直接按所研究的物理量来建立坐标，但在有些情况下，用这样方法建立的坐标往往不能直观地显示物理量之间的关系.这时就要将坐标进行转换。

例如，在研究牛顿第二定律的实验中，预期当物体所受外力一定时，物体的加速度和物体的质蜒成反比。如果按加速度a和质量m取坐标（“a—m”坐标），则理论上实验图线应是一条以O—a轴和O—m轴为渐近线的双曲线。但已知渐近线的条件下，实际上可作无数条双曲线，凶此，要检验实验罔线是否为一条双曲线是非常困难的。现在改用“a—1/m”来取坐标，则理论上实验图线应是一条过坐标原点的直线，而检验实验图线是否为过原点的直线，就很容易了。

这种方法叫做实验图线的改直，是实验中用以寻找物理量之间关系的常用方法。坐标的转换还可以有多种方式，例如，检验单摆的周期T摆长L之间的关系时，可以用“”来取坐标，也可以按“T²－L”来取坐标；又如，检验初速为零的匀变速直线运动中位移是否与时间的平方成正比，可以按位移s和时间平方t²来取坐标。还有更复杂的情况，例如，按指数、对数取坐标等。

②合理选择坐标原点，恰当选择标度单位。

建立适当的坐标后，还必须合理地作出标度。例如，上述研究电阻上电压和电流关系的实验，如果用伏特V和安培A等基本单位作标度，结果作出的图线大致上如下图（1）所示的那样，显然从这样的图线，是很难看出电压和电流之间的关系的；但如用伏特V和毫安mA为单位作标度，则作出的图线如下图（2）所示，就清楚得多了。

图

为了充分利用作图空间，使图线作得更精确，坐标的原点不一定取在零点。

例如，在研究电池的路端电压和输出电流的关系时，设当电流从0变化到0.45A时，路端电压从1.05V变化到1.42V，则“U—I”坐标的电流轴的标度可取0到0.50A，而电压轴的标度最好取1.0V到1.5V。

③准确地描绘图线。

一个物理量的连续变化会引起与其相关的另一个物理量的连续变化。但在实验中只能测出有限的几组物理鲢，再加上测量误差，就会使按数据描点作图时不一定落在一条光滑的曲线上。这就要求根据大多数测量数据点的分布画出平滑的曲线，使数据点在图线两边均匀地分布。

图

在作实验图线时，先要把代表各组数据的点尽可能准确地标在坐标平面上，然后通过这些点的平均位置（而不足通过各个点）作出图线，即使得数据点在图线两侧的分布基本均匀，如上图（2）所示那样。注意到上图（2）中第四个点由于偏离其余各点所确定的图线较远，说明数据有差错，所以，舍弃不用；同时，由于当电阻上电压为零时必定电流为零，所以，图线一定通过坐标原点。

作实验图线时必须注意观察物理量间关系的变化趋势，例如下图中，数据点在图线A和图线B两侧的分布都基本均匀，但显然图线B更确切地反映了两个物理量之间的关系。

④正确解释图线的物理意义。

要对图线的斜率、截距等的物理意义作出正确的解释。

图线上的一个点：一般代表某一网线上的一个线段：一般代表某一过程或某一区间两个物理量间的关系。

图线在某一坐标轴上的截距：一般代表物理量的某一特殊值，例如，电源的路端电压和输出电流关系的图线（“U－I”图）在电压轴上的截距代表电源的电动势等。

图线的斜率：一般代表一个物理世对另一个物理鲢的变化率，例如，做直线运动物体的“位移—时间”图线（s—t图）中，剖线的斜率代表.段时间里的平均速度，某一点上切线的斜率则代表某一时刻的即时速度等。需要说明，在有些资料里常常把物理图线的斜率说成图线与水平轴交角的“正切”（tanθ），这是不恰当的。因为物理图线是代表一种函数关系，而不是空间的几何图形，一般说来它的两个坐标的标度并没有可比的关系。例如，一个阻值为1Ω的定值电阻，它的“伏—安曲线”，（U—I图）可以作成如下图（1）那样，也可以作成如下图（2）那样。就是当两个坐标代表同一种性质的物理量时，也不一定用同一标度。

（1）

（2）

例如，在作“波形图”的时候，表示每个质点对平衡位置的位移的坐标轴可以用米作单位，而表示质点的平衡位置到震源距离的坐标轴可以用米作单位。在某些情况下，甚至同一个坐标轴在正、反两个方向可以取不同的标度。

例如，要作出一只小型半导体二极管的“安—伏曲线”，由于它的正向导通电压只有零点几伏，而反向击穿电压可以达到数百伏，同时正向电流很大而反向电流很小，如果坐标轴的正反向用同一个标度就无法把图线作好，因而常常把标度取成如下图那样。可见，图线的“倾斜角”是没有意义的。

图

图线所包围的面积：一般代表一个物理量的累积值。例如，气体的“p—V”图线所包围的面积代表气体对外界所做的功；电容器放电时“I—t”曲线下的面积代表放电的电量等。

（4）用计算机处理实验数据。

随着计算机的普及，应用计算机进行物理实验数据的处理是一种快捷、有效的方法。

对实验结果作出恰当的评价

对实验结果作出正确的评价，既要有一定的理论修养，又需要有关误差理论的系统知识。我们不能不管实验的实际结果如何，盲目地对实验结果作出肯定的评价；或者认为只有实验结果和理论完全相符，实验才算完满。尤其在有些实验中，由于各种差错造成的影响恰好相互抵消，把实验中存在的问题掩盖了，使得实验结果看起来非常理想，这时对实验结果的评价就更加困难。为了对实验结果进行正确的评价，要建立正确的观点，养成良好的习惯。

（1）实验结束后，要对整个实验进行一番回顾。

从整个实验的设计到每一步具体的操作、数据的汁算等是否都正确，每一步测得的数据是否都合理。即使实验的最后结果看来十分理想，但如果椎个实验中有一个环节存在问题，则这个实验结果仍然是可疑的。同时，在发现实验过稚存在比较火的问题时，要考虑重新进行实验。

（2）根据实验中所用仪器的精确程度及采取的方法，对实验结果的合理性有一个基本的估计。

例如，用带毫米刻度的直尺来测量物体的长度，如果误差超过儿个毫米，则肯定操作中存在问题了；又如用移位法来测量凸透镜的焦距，如果所得的值比用远方物体成像的方法得到的粗测值还大，则结果一定是不正确的了。

（3）当发生实验结果不理想的情况时，应返回到实验过程的各个环节中去寻找原因，甚至重做部分或全部实验，而不能含糊过去。