数学精神的诞生

无论我们希腊人接受什么东西，我们都要将其改善并使之完美无缺。

柏拉图（Plato）

有一个故事说，一次泰勒斯（Thales）在夜晚散步时，由于全神贯注地观察星星，不小心跌到沟中成了落汤鸡。随行的一位妇女大惊失色；“您连脚下的东西都看不到，又怎么能够知道天上发生的事情呢？”然而，泰勒斯的确取得了许多卓越的成就。他在一生中，不仅奠定了希腊数学的基础，观察过星星，与志趣相投者探究自然界，而且创立了希腊哲学，提出了重要的宇宙起源理论。此外，他还作过远足旅游，为天文学做出了杰出的贡献，在经商方面也取得了极大的成功。

泰勒斯，以及大多数早期希腊数学家，都曾向埃及人和巴比伦人学习过代数和几何的原理。事实上，这些学者中有许多人来自继承了巴比伦文化的小亚细亚。另外一些出生于希腊本土的学者，则去过埃及，并在那儿学习，进行过研究。希腊人的思想毫无疑问地受到了埃及和巴比伦的影响，但是他们创立的数学与前人的数学相比较，却有着本质的区别。的确，按照20世纪的观点，数学，甚至现代文明都可以说始于希腊古典时期，这个时期约从公元前600年持续到公元前300年。

希腊时代以前所存在的数学，都以经验的积累为其特征。数学公式由经验日积月累而形成，很像我们今天医学中的实验和治疗。尽管经验无疑地是一位好老师，但是在许多情况下，它对于获得知识却几乎没有什么作用。建造一座一英里⁽¹⁾长的桥，谁会去试验一种能否支承得起这座桥的特殊钢索呢？反复试验的方法可能会一目了然，但也可能会带来危害。

经验是获取知识的惟一方法吗？经验并不给人类以推理能力。有许多种推理方法，其中普遍运用的一种是类比法。例如，埃及人相信生命不朽，所以他们在埋葬死者时，要陪葬衣服、家具、宝石和其他物品，以供死者在另一个世界（阴间）中使用。他们的论据是，由于生活在世上需要这些物品，所以死后也同样需要。

类比推理是有用的，但也受一定的限制，并不是在所有情形中都能使用类比方法：我们几乎不可能通过类比方法发明飞机、无线电、潜水艇。另外，在可以进行类比推理的情形中，也存在着许多细微的差别。尽管人类和猿相似，但是，一些关于人类的结论却不能从对猿的研究中得出。

使用得更为广泛的另一种推理方法是归纳法。一个农民看到，接连几个春天，透雨过后随之而来的是好收成。因此他总结出这样的结论：透雨对农作物是有利的。看看一个例子，某人在与律师打交道时，曾有过不幸的经历，所以他得出结论：所有的律师都令人讨厌。一般说来，归纳过程的本质就在于，在有限个例子的基础上概括出一些总是正确的结论。

归纳法在实验科学中是基本的推理方法。假设一个科学家将一定量的水从40℃加热到70℃，他看到水的体积增加了。如果他是一位优秀的科学家，就不会过早地作结论，而会多次重复试验。假定他看到在这种情况下水每次都同样地膨胀了，那么他会得出结论：当水由40℃加热到70℃时，体积增大。这个结论就是通过归纳推理得到的。

尽管由归纳推理得到的结论，似乎被事实证明是正确的，但是还不能说这些结论就确定无疑。从逻辑上看，这些结论并不会比通过对4亿中国人⁽²⁾的观察后，得出所有的人都是黄皮肤的一般结论更准确。换句话说，通过归纳推理得到的结论，并非确凿无疑。归纳推理的方式也还有其他的限制。我们不能采用归纳方法将一项未经试验的法律对社会的作用做出结论。我们不能像某位不负责任的观察家一样，当某次看到印度人排成单行走路时，就使用归纳法得出结论：所有的印度人走路时都排着队。

在得出结论的几种方法中，每一种无疑地都会在一定的情形中有用，但它们又都有一定的适用范围，即使经验中的事实，或作为类比、归纳推理基础的事实是完全确定的，但得到的结论依然可能不确定，不正确。在要求确定性是最为重要的推理中，这些方法几乎是无用的。

幸运的是，有一种推理方法的确能保证它所导出的结论具有确定性。这种方法被称为演绎法。我们来考察一些例子。如果接受这样的事实：所有的苹果都易腐烂。此刻在我们面前的这个物体是一个苹果，那么就能够必然断定，这个物体是易腐烂的。看看另一个例子，如果所有的好人都是仁慈的，如果我是一个好人，那么我一定是仁慈的；如果我不仁慈，那么我一定不是一个好人。再看一个例子，如果坚持这样的归纳前提：所有的诗人都是聪明人，而没有一个聪明人会蔑视数学，那么无疑地有这样的结论：没有任何一位诗人会蔑视数学。

就所讨论的这种推理而论，是否同意前提无关紧要，关键在于，如果接受了前提，就必须接受结论。不幸的是，许多人混淆了结论的可接受性、真实性与得出这个结论的推理方法的合理性之间的区别。假如所有智力发达的生物都是人，而这本书的读者是人，从这个前提出发，我们可以断定，这本书的所有读者都是智力发达的，这个结论无疑是正确的，但是所使用的这种演绎推理却不合理，因为这个结论不是根据前提得来的。思考一下就可以看出，即使所有智力发达的生物是人，但也有人智力不发达，而在前提中并没有告诉我们这本书的读者属于哪一类。

因此，演绎推理包括这样一些方法：从已认可的事实推导出新命题，承认这些事实就必须接受推导出的命题。在这里，我们不考察人们为什么会在心理上相信这种推理的问题。现在，重要的是，人类获得了这种推导出新结论的方法，而且如果作为出发点的事实是确定无疑的话，则结论也必定确定无疑，千真万确。

演绎法，作为一种获得结论的方法，与反复试验法、归纳法和类比推理相比，有许多优点。突出的优点我们早已提到了，那就是，如果前提确定无疑则结论也确定无疑。如果能够获得真理的话，那么它必定具有确定性，其结论没有丝毫可疑的或近似的推断性质。其次，与实验相反，即使不利用或缺乏昂贵的仪器，演绎也能进行下去。在建造一座桥，或用机枪进行扫射之前，利用演绎推理就能确定结局。演绎法具有的这些优点，使得它有时成了惟一有效的方法。计算天文距离不可能使用直尺。而且另一方面，试验使我们只能局限在很小的时空范围内，但是，演绎推理却可以对无限的时空进行研究。

尽管演绎法有如此多的优点，但它并不能取代实验法、归纳法或者类比推理。确实，当前提能保证百分之百的准确时，那么由演绎法推出的结论也百分之百的准确。但是这样确定无疑的前提却不一定是有用的。而且遗憾的是，没有一个人能够发现这样的前提，从该前提出发能够演绎出治疗癌症的方法。不过，从实用目的来说，完全的、确定无疑的演绎推理有时超越了现实的需要。具有较大的可能性也许就足够了。埃及人数百年来都利用从经验中得到的数学公式，如果他们等待演绎证明、那么今天在吉萨（Giza）的金字塔就不会屹立在沙漠上。

因此，获得知识的各种各样方法都有其利弊。尽管如此，希腊人却仍然坚持，所有的数学结论只有通过演绎推理才能确定。由于坚持这种方法，希腊人抛弃了通过经验、归纳或其他任何非演绎的方法得到的所有规则、公式和程序步骤，而这些方法在以前数千年的文明里，一直被看作是数学整体中的有机组成部分。这样，我们将看到，与其说希腊人是在创建文明，倒不如说是在摧毁旧文明。当然，我们现在还不能过早地下结论。

为什么希腊人偏偏要坚持在数学中运用演绎证明呢？为什么他们要抛弃像归纳、试验和类比这样一些有用、富有成效的获得知识的方法呢？通过分析他们精神活动的特点，剖析希腊社会的本质，我们不难找到答案。

希腊人是天才的哲学家，他们热爱理性，爱好精神活动，这就使他们与其他民族有着重大区别。受过教育的雅典人大都致力于哲学，就像今天的社会名流注重于晚间聚会一样。公元前5世纪，雅典人热衷于讨论生与死、生命不朽、精神的本质、善恶之分等问题，这也如同20世纪的美国人热衷于物质进步一样。哲学家不像科学家是在个人实验或观察的基础上进行思考。哲学家们所关注的核心问题，是抽象概念和最具普遍性的命题。为了得到有关精神的真理而对精神进行实验，毕竟是困难的。哲学家最基本的工具就是演绎推理，因此希腊人着手数学研究时也就偏爱这种方法了。

而且哲学家关心的是真理，即非物质性的少数关于永恒、不朽的问题，这些问题在错综复杂的实验、观察和感觉中都被筛选掉了。确定性是真理必不可少的要素。因此，对希腊人来说，埃及人和巴比伦人所积累的数学知识就是空中楼阁，由沙子砌成的房子，一触即溃。希腊人寻求的，是建造一座由坚不可摧的大理石建造的、永恒的宫殿。

希腊人偏爱演绎法达到了令人吃惊的程度，而这只不过是他们钟爱美的一个方面。如同音乐爱好者将音乐视为音乐的结构、音程和旋律的组合一样，希腊人将美看作是秩序、一致、完整和明晰。美像情感经验一样，也是一种心理感受。的确，希腊人在每一种情感经验中都寻找理性的因素。在佩里克利斯（Pericles）写的著名的颂词中，他颂扬在萨摩斯（Samos）岛战役中牺牲的雅典人，不仅因为他们勇敢而富有爱国心，而且因为他们认为自己的行动合乎理性。对那些将美与理性等同起来的人来说，演绎推理自然会富有吸引力，因为演绎推理富有条理性、一致性和完整性。这就足以使人相信，在结论中将会表现出真理的美。因此，希腊人认为数学是一门艺术就丝毫不足为怪了，就如同建筑是一门艺术一样，尽管它的原理可能被用于建造货栈。

希腊人偏爱演绎的另外一个原因，在他们所处社会的组织中可以找到。哲学家、数学家和艺术家具有较高的社会地位，社会高阶层或者完全鄙视商业活动和手工劳动，或者认为这些都是倒霉蛋才注定要做的事情。这些工作损害身体，而且减少了智力活动和社会活动的时间，有损于公民的责任感。

希腊的著名人物清楚地阐明了他们对劳动和商业的鄙视。毕达哥拉斯学派，随后我们将要讨论的一个有影响的哲学和宗教学派，宣称他们已经将算术——商业的工具，发展成为一门艺术，已经使之超越了商人的需要。他们寻求的是知识，而不是财富。柏拉图则说，算术应该用于追求知识，而不应该用于贸易。因此他宣称，对于一个自由人来说，从事商业贸易是一种堕落，他希望把商业贸易职业作为一种犯罪行为，应该予以惩罚。亚里士多德则宣称，在一个完美的国度里，公民不应该从事任何手工操作技艺。阿基米德虽然在实用发明方面做出了巨大贡献，但他更为珍爱的依然是在纯科学方面的发现，而认为任何一种与日常生活有联系的技艺，都是可耻的和粗俗的。在一些愚钝人中间，对于劳动也依然持十分明显的鄙视态度。而那些经商者，曾受到政府部门的排挤达10年之久。

幸亏希腊人拥有大量奴隶，替他们完成了那些必要的生产劳动，否则这种极端轻视劳动的态度，很可能使他们对希腊文化不能做出什么贡献。奴隶们经商、管理家务，做各种杂活和手艺活，管理工业，甚至从事一些最重要的诸如医生这样的职业。以奴隶为基础的古希腊社会造成了理论与实践的分离，而数学和科学在抽象性和深度方面却有了很大发展，但对实验和实际应用的轻视也随之而来了。

考虑到希腊上层阶级对商业和贸易不感兴趣——当然，这与今天高层阶级将贸易和工业视为当务之急，形成了鲜明对照——因此，就不难理解他们对演绎法的偏爱。如果一个人不是“生活”在他周围的世界里，那么经验对他就几乎没有什么教益。同样地，为了进行归纳推理或者类比推理，他就必定会愿意尽力观察现实世界。实验对那些不赞成动手的思想家肯定是不相干的。希腊人并不是闲散的懒汉，他们的本性决定了他们会去从事适合自己兴趣的研究，从而也就决定了他们的社会态度。

J·斯威夫特⁽³⁾（Jonathan Swift）剖析了希腊文化的独特之处，但对此持一种嘲笑的态度，他分析了希腊文化对人类抽象思维在本质方面的影响，但却认为这只不过是那个时代的一种伪科学。当格列佛被人带着，领略拉布塔（Laputa）的风光时，他看到：

他们的房子建造得十分糟糕，墙壁剥落，在任何一套房子中没有一处呈直角形，这些都是由于他们轻视实用几何造成的，他们把实用几何轻蔑地看作是粗俗的东西，认为属于工程方面，而这些建筑只有通过心灵手巧的工匠的智慧才会变得高雅起来，轻视实用几何是一个致命的错误。尽管他们的双手十分灵巧，能够运用自如地在纸上使用直尺、铅笔、圆规，讨论生活中的一般行为和准则，但是我从来没有看到过这样笨拙、呆板、缺少生气的人，他们几乎在所有其他方面都反应迟钝，只是在数学和音乐方面例外。

但是，希腊人坚持演绎推理是数学证明中惟一的方法，这却是最为重要的贡献。它使得数学从木匠的工具盒、农民的小棚和测量员的背包中解放出来了，使得数学成了人们头脑中的一个思想体系。在这以后，人们开始靠理性，而不是凭感官去判断什么是正确的。正是依靠这种判断，理性才为西方文明开辟了道路。因此，希腊人以一种比其他方法更为高超的方法，清楚地揭示了他们赋予了人的理性力量以至高无上的重要性。

演绎法异乎寻常的作用，一直是数学惊人力量的源泉，而且以此将数学与所有其他知识领域的各门学科区别开来。特别是使数学与科学有了最明显的区别，因为科学还要利用实验和归纳得出结论，因此，科学中的结论经常需要修正，有时甚至遭到全盘抛弃。而数学结论则数千年都成立，尽管在有些情况下，推理过程必须进行补充完善。

即使希腊人没有更多地注重于数学的本质，而只将数学从经验科学中解放出来，从而形成演绎的思想体系，然而他们在历史上的影响依然是巨大的。但这只不过是他们贡献的序曲而已。

希腊人的第二个卓越贡献在于，他们将数学抽象化，在早期的人类文明中，人们学会了思考数字和用这些数字进行一定程度的抽象运算，但是这仅仅是一种无意识的行为，如同我们今天的小孩学会思考和进行运算一样，希腊时代以前，几何学思想几乎没有进步。例如，对埃及人来说，一条直线只不过是一段拉紧了的绳子，或者在沙地上画出的一条线，一个矩形就是将一块田地围起来的篱笆。

希腊人不仅自觉地认识了数的概念，而且他们还发展了算术，高等算术（数论）；而同时他们称计算为Logistica，但轻视这种几乎不涉及任何抽象思维的技艺，这就像我们今天瞧不起打字工作一样。同样地，在几何学中，点、线、角等词变成了思想方面的概念，这些概念只是源于物质实体，但又与这些物质实体不同，就如同财富的概念不同于土地、房屋和珠宝，时间的概念不同于对天空中太阳所经历的行程的测量一样。

希腊人将物质实体从数学概念中剔除，仅仅留下了外壳。他们赶走了柴郡（Cheshire）猫而留下了它的微笑。他们为什么这样做呢？显然，思考抽象事物比思考具体事物困难得多，但却可以获得一个最突出的优点——获得了一般性。一个已证明了的关于抽象三角形的定理，同时适用于由3根木棍搭成的图形，3块地所围成的三角形，以及由地球、太阳和月亮在任何时侯所形成的三角形。

希腊人偏爱抽象概念，对他们来说，抽象概念是永恒的、理想的和完美的，而物质实体却是短暂的，不完善的和易腐朽的。物质世界除了能提供一个理念的模式外，没有其他意义；人（man）的概念比人们（men）的概念更重要。简要地看看希腊最伟大的哲学家的主要思想，那么，这种对抽象的强烈偏爱，将会变得更加显而易见。

柏拉图于公元前428年出生于雅典一个显赫、有势力的家庭，当时这个城市正处于鼎盛时期。在青年时期，他遇见了苏格拉底（Socrates）并成了他的拥护者。在政治上，苏格拉底维护雅典的贵族统治，当民主派取得政权后，他被判喝毒药。苏格拉底死后，柏拉图在雅典成了一个不受欢迎的人，这使他确信，一个有良心的人在政治上不会有立锥之地——当然，政治在那个时代是不同的——因此，柏拉图决定离开雅典。在遍游了埃及，访问了意大利南部的毕达哥拉斯学派以后，他于公元前387年左右回到了雅典。在雅典，他创立了从事哲学和科学研究的学院（Academy）。柏拉图活了80岁，在其后半生的40年里，他专心致志地教学、著述和培养数学家。他的学生、朋友和追随者，都是他那个时代的伟大人物，他的传人在随后的好几代中仍兴盛不衰。在他们之中，可以找到公元前4世纪的任何一位著名数学家。

柏拉图主张，存在着一个物质世界——地球以及其上的万物，通过感官我们能够感觉到这个世界。同时，还存在着一个精神的世界，一个神所显示的世界，一个诸如美、正义、智慧、善、完美无缺和非尘世的理念世界。这种抽象的东西对于柏拉图来说，就如同神对于神秘主义者，涅槃对于佛教徒，上帝对于基督徒一样。感官所能把握的，只是具体的和逝去了的东西，只有通过心灵才能达到对这些永恒理念的理解，利用自己的精神去达到这个目的，是每一个聪明人的职责，因为只有这些独特的理念，而不是人们日常生活的琐事，才值得注意。这种理念论，就是柏拉图哲学的核心，这与数学中的抽象概念无疑地属于相同的精神层次。学会如何去考虑其中的一个，那么就知道怎样去考虑另外一个了。柏拉图把握了这种关系。

拉图认为，为了使物质世界的知识上升到理念世界，人们必须日学不辍方可奏效。一束来自最高理念世界的光——天堂之光，对于从没有经过训练去适应这种光的人来说，依然如同虚无。用柏拉图自己最著名的比喻来说，这就像长年累月住在幽深洞穴阴影中的人，突然被带到阳光中来一样。为了从黑暗过渡到光明，数学是一种理想的方法。一方面，数学属于感觉世界，数学知识与地球上的实体有关，它毕竟是物质性质的一种表示。另一方面，仅仅从理念论的角度去考虑，或仅仅作为一种智力活动，数学的确与它所描述的物质实体有区别。而且，在进行论证时，物质的含意必须剔除。因此，数学思维就为心灵做好了思考更高级思维形式的准备。通过使心灵抛弃对可感知和易逝事物的思考，而转向对永恒事物的沉思，这样数学就净化了心灵。这种超度的方式，通过数学达到了对真、善、美的理解，并进而接触到上帝。用柏拉图的话说就是：“……几何学将使灵魂趋向于真理，进而创造出哲学精神……”几何学所讨论的并不是物质性的东西，而是点、线、三角形、正方形等等纯思维的对象。

关于算术，柏拉图也说：“有非常重大和崇高的作用，它迫使大脑去对抽象的数进行推理，不让那些可见的和可接触的对象进入论证之中。”他建议：“我们国家的统治者要重视和精通算术，并且不应仅仅作为一种业余爱好，而必须从事研究，直到他们依靠心灵就能看到数的本质。”

柏拉图的观点总结起来就是：几何和计算中一小部分就已经为实用提供了足够的需要，但是，更高级和更主要的部分，应有助于使精神超脱于对世俗的思考，而且能够了解哲学的最终目的——善的理念。基于这一原因，柏拉图劝告未来的哲学王必须花费10年时间——从20岁到30岁——专攻精确科学：算术、平面几何、立体几何、天文学及和声学。他强调，数学是为哲学作准备的，他不仅对其追随者和同时代人是这样说的，而且对整个古希腊时代都提出了这样的忠告。

希腊人偏爱抽象和理想化，这在哲学和数学中充分显示出来了。在艺术中也充分展示了这一特点。古典时期希腊人的雕塑，并不注重个别的男人或女人，而是注重理想模式（插图1和插图2）。这种理想化加以扩展后，就导致了身体各个部位比例的标准化。在波利克里托斯（Polyclitus）规定的比例中，任何一个手指和脚趾的比例都没有被忽略。现代选美比赛中，获奖姑娘身体各部分的比例，最接近希腊人在古代早已确定的标准，因此，这种选美比赛可以看作是希腊人对理想身材比例追求的继续。

古典时期希腊人的面部和姿态，不管是穿上衣服的还是赤身裸体的画像，至少到沮丧的“拉奥孔”（Laocoön）塑像出现之前，都没有明显的情感流露的表现。从面部表情来看，希腊的神和希腊人是既不冥想，不苟言笑，也不忧虑。看上去举止十分宁静，甚至雕刻中所描绘的戏剧场面也是如此。他们的面部十分安详，如同我们想像的正在进行抽象思考的人的面部表情。特殊情形中的激情，甚至即使是一刹那间的激情，都被雕刻家们描绘成了人们永恒的本性。这种史诗般的雕刻风格，与被发掘出来的罗马时代的军事、政治领袖们的半身像、雕像形成了鲜明的对比（插图3）。

如同将雕刻标准化一样，希腊人使他们的建筑也标准化了。他们简朴的建筑总是呈长方形，甚至长、宽、高的比例都是确定的。“雅典的废墟”（The Parthenon of Athens）（插图4）就是几乎所有希腊庙宇共有的风格和比例的典范。顺便说一句，希腊人坚持理想的比例与坚持抽象的形式紧密地相关，当然，这与我们今天的原则也不矛盾。在古希腊，艺术和抽象实际上是同义语。

坚持数学中的演绎法和抽象方法，希腊人创造了我们今天所看到的这门学科，而这两个特点都由哲学家们加以传播了。尽管数学脱胎于古希腊哲学，但是，许多大数学家和某些二三流的数学家却对所有的哲学玄想都极端蔑视。当然，这种态度不过是思想狭隘的一种表现。这些数学家在自己所选择的领域中，就像流向大海的河流一样，尽管冲蚀了高山，然而在大海中它们的道路却只能局限于狭窄的海峡。他们能够在水底穿行探索，但是却被自己无法看到的峭壁、岩石阻挡。这些轻视哲学的数学家没有意识到，最深、最大的河流也是由云雾凝聚的雨水而形成的，哲学思想就像云雾一样，凝聚成丝丝细雨，注入数学的溪流之中。

希腊人对数学发展产生影响的另一个重要方面，是他们对几何学的重视。他们仔细、全面地研究了平面几何、立体几何。但是，简便的表示数量的方法，却从未得到发展，他们也没有处理数的有效方法。的确，在计算方面，他们甚至没有利用巴比伦人已经创造出的技巧。今天，代数意味着高度有效的符号系统、大量确定的解题程序，这些在当时却未曾预料到。希腊人对几何与代数厚此薄彼的态度非常明显，对此，我们必须寻找其中的原因。这其中的原因主要有以下几个方面。

我们早已提到，在古典时期，工业、商业、财政都由奴隶管理。因此，虽然受过教育的人可能曾经产生过一些处理数的新思想、新方法，但他们本人并不关心诸如此类的问题。如果一个人不进行测量，或一个人对贸易不感兴趣，他为什么非得要关心数学在测量或贸易中的应用呢？为了刻画所有矩形的性质，哲学家们甚至不需要任何一个矩形的大小。

像大多数哲学家一样，希腊哲学家是天文迷。他们研究天空，以探求宇宙的种种神秘现象。但是，对于天文学在航海和历法方面的应用，古典时期的希腊人却几乎没有关心过。形状、性质比测量、计算更符合他们的目的，因此几何学受到了青睐。在所有的形状中，希腊人通过粗略地观察太阳、月亮和行星，一致认为圆和球应该受到高度重视。因此对天文学的兴趣，也使得古典时期的希腊人偏爱几何。

20世纪，人们通过对物质进行分解，旁证了原子理论——希腊人希望建立的物质理论。对亚里士多德和其他希腊哲学家来说，一个物体的形状是真实的，它能在物体中找到。物质本身则是简单的、没有形状的；仅仅当它有形状时才有意义。因此，关于形状研究的几何学引起希腊人的特别关注，也就不足为奇了。

最重要的一个原因，则是由于解决了一个十分重要的数学问题，从而使得希腊数学家进入了几何学领域。我们已经谈到过，和其他早期文明一样，巴比伦文明曾使用过整数和分数，他们也熟悉由于直角三角形定理（勾股定理）的应用而产生的第三类数（无理数）。

首先，让我们看看这个定理。若一个直角三角形有长度为3和4的两条直角边，那么斜边——直角的对边（图2中AB）的长度则为5。5的平方25是3与4的平方和，即5²=3²+4²。在所有直角三角形的各边中，这种关系，即斜边长度的平方，等于其他两边长度的平方和，就是众所周知的毕达哥拉斯定理⁽⁴⁾。巴比伦人和埃及人即使未能证明这一定理，但也一定知道这一事实。

图2和图3　两个直角三角形

现在，假设一个直角三角形的两条直角边的长度都是1（图3）那么斜边长度是多少呢？记斜边长是x，根据毕达哥拉斯定理，它的长度必须是

x²＝1²＋1²＝2

因此，斜边长度x必定是其平方为2的一个数，我们将平方是2的这个数用表示，而且称它为2的平方根。但是，等于多少呢？也就是，一个什么样的数自乘等于2？

在思想史上，无理数是被严重忽略了的一个课题，无理数是数系中令人头痛的数。我们已经看到，为了表示长度，就必须使用这样的数，而且，几乎在数学的所有分支中都或多或少地涉及这些数。现在的问题是，对这些数如何进行加、减、乘、除？例如，怎样将2和相加，怎样用除以？

对这些难题，巴比伦人曾有一个权宜而实用的解决方法，他们取的近似值。例如，由于即1.4的平方是1.96，而1.96接近2，因此1.4必定接近。的一个更好的近似值是1.41，因为1.41的平方是1.988。

巴比伦人所取的的近似值，并不是给出了无理数的精确处理，因为无论取多少位十进位值小数，也不能写出一个有理数，其平方精确地为2。而且，如果数学能被称作是一门精确的科学，那么就必须发展出一套研究本身的方法，而不是取其近似值。在希腊人看来，这些是真正的难题，对他们颇具吸引力，就像食物对于一个珊瑚礁上的遇难者一样。

希腊人不愿意利用巴比伦人缺乏严密性的方法，他们正视这个逻辑上的困难。为了精确地处理无理数他们坚信所有的数都能用几何方法处理。于是，他们从这条思路着手，选择一段长度代表数1。然后其他的数就依据这段长度来表示。例如，为了表示，他们就使用两直角边是一个单位长度的直角三角形的斜边的长度。1与的和，就是在单位线段上再延长表示的线段的长度。按照这种几何形式，一个整数与一个无理数的和，并不比想像一加一的和更困难。

同样地，两个数的乘积，例如3和5的乘积，表示成几何形式就是具有长、宽为3和5的矩形的面积。在3和5的情形下，利用面积来思考乘积的方法并没有多大优点。但是，可以把3和的乘积也看作是面积。这样一来，考虑第二个矩形并不比考虑第一个矩形困难；至此，就提供了一个整数与一个无理数相乘的有效而精确的方法，就这点而论，这一方法也适用两个无理数相乘。

希腊人不仅用几何方法进行数的运算，而且尽可能地利用一系列的几何作图法来求解含有未知量的方程。这些作图法的答案就是线段，其长度为未知数的值。他们完全转变到了几何方面，这一点可以通过事实得到证明：在古希腊，4个数的乘积是不可思议的，因为按照一般的方式，没有相应的几何图形表示4个数的乘积，面积、体积表示的是相应的两个数和3个数的乘积。偶尔，我们现在还说某数，比如把25说成是5的平方，27是3的立方，这和希腊人的思维是一致的。

希腊人对几何学的偏爱非常明显，格列佛在他旅游拉布塔期间，曾再次评论说：

我所具有的数学知识，在学习颅相学时给予了我极大的帮助，颅相学主要依靠科学和音乐，对于后者我不是内行。他们的观点是，将一切都转变为线段和图形。例如，如果他们称赞一位妇女或其他任何动物的美丽，他们就用菱形、圆、平行四边形、椭圆和其他几何术语来描绘，或者利用音乐中的艺术词汇来描绘，在这里没有必要重复。在御膳房，我看到的全是各种各样的数学和音乐器具，他们将大块大块的肉切成各种圆形后，再送到君王的餐桌上。

由于希腊人将算术概念转变成了几何概念，而且他们终身致力于几何学的研究，所以这门学科直到19世纪一直在数学中占支配地位。到19世纪时，处理无理数这一棘手的问题，在精确的、纯算术基础上最终被解决了。从实用的观点来看，考虑到算术运算几何化的繁琐和缺乏实用价值，因而这种转换是一大不幸之事。希腊人不仅没有发展在工业、商业、财经和科学上必须应用的数字系统和代数，而且还妨碍了后代的进步，因为后代人受他们的影响，不得不接受这种更加呆板的几何方法。欧洲人变得如此习惯于希腊人的形式和风尚，以致西方文明不得不等待阿拉伯人从遥远的印度给他们引入一套数字系统。

虽然按照我们对进步的理解，希腊人对数字系统和代数的改变是一大不幸，但也不能对希腊人过于苛求，虽然我们经常可以听到对希腊人的责难。希腊人的一大缺点是，他们本身太过分强调理性化了。而且，由于他们其他的成就具有无可比拟的益处，所以这种缺点的危害就益发显得突出了。

大多数人描写希腊对现代文明的贡献时，他们所谈论的是艺术、哲学和文学方面的贡献。无疑，根据他们在这些领域遗留给我们的财富，希腊人应该受到高度的赞扬。希腊哲学今天依然像当时一样，充满活力、意义重大。希腊建筑和雕刻，特别是后者，对于20世纪一般受过教育的人来说，比当代的作品更加优美。希腊戏剧依然在百老汇上演。但是，希腊人最大限度地决定着今天文明本质的贡献，则是他们的数学。按照以上所叙述的方式，他们改变了这门学科的性质，这是为人类奉献的最好的礼物。这一点我们在下面将进行考察。

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(1) 1英里＝1609.344米。——译者注

(2) M·克莱因写作本书的时间是1950年左右，因此说4亿中国人。——译者注

(3) 《格列佛游记》作者。——译者注

(4) 中国人称为勾股定理或商高定理。——译者注