无理数的诞生与第一次数学危机

人类对数的认识经历了一个不断深化的过程，在这一过程中数的概念经历了多次扩展。在前面的叙述中，我们已经把数的概念从自然数推广到分数又推广到负数，于是我们有了有理数这一庞大的数集。对于日常生活来说，有理数是足够用了。甚至对于一般的科学研究而言，仅有有理数也够用了。然而，对数学来说，这还不够。远在公元前6世纪的古希腊，人们就已意外并懊丧地认识到了这一点。

当时，在数学界占统治地位的是我们前面已多次提到的毕达哥拉斯学派。这一学派坚持认为整数及整数的比是度量一切事物的“尺子”。他们认为：一切事物和现象都可以归结为整数与整数的比。这就是所谓的“数的和谐”，而他们相信宇宙的本质就在于这种“数的和谐”。同时在哲学上他们提出“万物皆数”的论断。而数，在他们观念中仅仅指的是整数或整数的比。与此相对应，在数学中他们提出任意两条线段的比都可表为整数或整数的比，用他们的话说就是：任意两条线段都是可通（公）约的或可公度的。这可能是一个让人感到陌生的名词，让我们先来简单解释一下。给出两条线段AB和CD，如果能找到一条小线段EF作单位将AB和CD都均匀分割成整数段，我们就说线段AB和CD是可公约或可公度的。换一种说法就是，可以找到两个整数p和q，使得AB是由p段等于EF的线段组成；而CD是由q段等于EF的线段组成。在这种情况下，线段AB的长与线段CD的长之比就等于两个整数p、q的比，即p／q了。由于这是两个正整数之比，我们说，可公度线段的长度比是“有理数”。顺便提一下：把整数和分数叫做“有理数”，是由于一开始翻译时的讹误。原来，有理数中的有理一词，英文是Rational。这个词本来有两个含义，其一是“比”，其二是“合理”。照数学上的原义，分数可以表成两整数之比，把有理数叫做比数是更确切与恰当的。可是，日本学者在19世纪翻译西方的数学书时，把这个词译成了有理数。后来，在中日文化交流中，中国又从日本引进了有理数和无理数这两个词，长期应用到现在。也有人考证出有理数、无理数最早出现于中国，并非由日文转译。理字是ra‐tio之音译，意即指“比率”。不管如何，有理数中的“理”字不是道理之意，而是“比”的意思。而对此有前者那种想当然的想法其实是很自然与普遍的。我以前就是这样想当然的，如果你也如此想当然，那么到现在实在应该改正过来了。

好了，让我们再转回古希腊。是什么原因使得毕达哥拉斯学派坚信“任意两条线段都是可通约的”这一观念呢？理由可能有几点：

Ⅰ.数学原子论的观点。毕达哥拉斯学派有一种质朴的观念：线是由原子次第连接而成的，有如项链是由一串珠子组成一样。原子可能非常小，但都质地一样，大小一样，它们可以作为度量的最后单位。这一认识构成了毕达哥拉斯学派的几何基础。

Ⅱ.早期希腊数学家认为任何量都可公度的思想还基于另一个原因。那时，有一个比较数量的方法，即今天的辗转相除法。假如A和B是两条线段的长，根据数学原子论，他们相信按照辗转相除法做下去，总会碰到一个正整数，使得A和B都是这一正整数的若干整数倍。

Ⅲ.更重要的是，这样的结论符合我们的直觉常识。

对此，让我们举一个例子来说明一下：

给你一把尺子去量黑板的长和宽。假设结果是，长2米零8分米，宽1米6分米还零8厘米。那么你来考虑这样一个问题“能否找到第三条线段——也许很短——使得给定的上面两个线段都是这个线段的整数倍。”我们可以这样分析：如果第三条线段用一米做单位，长宽都不是整数倍，如果第三条线段取一分米的线段去量长和宽，则长是它的28倍，但宽是16.8倍，还不是整数，但如果用厘米长的线段去量长和宽，长是280倍，宽是168倍，都是整数倍。你看，答案是肯定的。或许你说，上面用尺子量太不准确了。好，拿出你的新式武器：游标卡尺或螺旋测微器来试试怎么样？我在这里抱着手，等着你的结果。最后你的精确结果出来了，是：长为2.816米，宽为1.684米。这次你的结果想必精确些了。但我只需从容地答复你说：取第三条线段为一毫米即可。如果你对自己的精确程度还不满意，我可以静心等你给出更好更精确的结果。当你费了九牛二虎之力时，我只需轻描淡写地说：毫米不行，你可以取微米（你知道1毫米＝1000微米），这总行了吧。

最终，当你玩够了这一把戏时，你或许就会相信：似乎在任何情况下，这样的第三条线段都应该是存在的，只需将第三条线段取得很短很短就行了。如果有人胆敢反驳你，你也可以从容地让别人拿出尺子或别的什么去量一件物体，那么可以预料到反驳者很快就会成为你的同盟军。毫无疑问，我们总可以使得前两条线段是第三条线段的整数倍！这样的结论怎么可能错呢？我们已经通过实验的方式证实了，任何两条线段都是可通约的，这一命题显然是对的。无论凭直觉还是通过实验我们都已经证明这是颠扑不灭的真理。于是，你可以明白，当毕达哥拉斯学派提出：“任何两个量都是可公度的”时，古希腊人是如何坦然地接受了这一似乎是无可怀疑的结论。怀疑第三条线段EF的存在，似乎是十分荒谬的。不是吗？

答案竟然是：就不是！

转折是从毕达哥拉斯提出并证明毕达哥拉斯定理（即我们所说的勾股定理）开始的。深具讽刺意味的是，正是他在数学上的这一最重要发现，却把他推向了两难的尴尬境地。他的一个学生希帕索斯在摆弄老师的著名成果时，忽然想到这样一个问题：正方形的对角线与边长这两条线段是不是可通约的呢？或者换成我们好理解的话说，两者的比是不是有理数呢？经过认真的思考，他意外地发现这两条线段竟然不是可通约的，或者说两者的比既不是整数，也不是两个整数之比。

至于这一发现的细节具有浓厚的神秘色彩，后人甚至不知道在这一过程中希帕索斯到底使用了什么样的证明。十有八九是一种几何证明而不是代数证明，因为对几何学的研究是他们的主要兴趣（当然另一个原因在于，他们还没有掌握代数语言），在欧几里得的《几何原本》中的留有一个美妙的证明，在后面一节中我们将简单介绍它。

我们所知道的是，无论如何，希帕索斯在当时毕竟做出了自己的非凡发现。作为老师的毕达哥拉斯，在此之前当有学生作出新的发现时总会很高兴地认可学生的成绩，因为他并非心胸狭窄之人。然而这次他并没有为学生的这一青出于蓝的重大发现而欢欣鼓舞，相反他陷入极度不安之中。如果赞同，感情上太难接受了。因为这一发现对他来说是致命的，它将完全推翻他自己的数学与哲学信条。这意味着：他那“一切事物和现象都可以归结为整数与整数的比”的数的和谐论的破产；他那建立在数的和谐论上的对宇宙本质的认识是虚妄的；建立在“任何两条线段都是可通约”基础上的数学结论包括他的相似三角形理论都失去了根基；这一发现粉碎了他那些建立在所有线段都可公度的假设基础之上的证明。

他感到迷惑了，竟然有一种几何量否定了他对有理数至高无上的确信。他的惊愕是如此之大，以致于有一段时间他干脆拒绝把它看作是一个数。然而，如果不赞同它，理智上又无法接受，学生的论断毕竟是找不出毛病的呀！于是这就导致了“毕达哥拉斯的两难”。在这两难处境下，他先是在学派内封锁这一发现，不让它传到外界。有一种传说认为，毕达哥拉斯因为害怕这种发现可能会给公众带来的不利影响而发誓把它作为一个严加防范的秘密。对这类数量所取的名字是最好的证据，这种不可度量的数被他们叫做“阿洛贡”（Alogon），即不可说之意。上帝创造的和谐的宇宙中竟然出现了无法解释的破绽，此事应绝对保守秘密，以免他因事情败露而把愤怒发泄到人类身上。后来当希帕索斯本人把发现泄漏后，他让学派内的成员把希帕索斯抛入了大海。其后不久的普罗克拉斯曾如此描述这一不幸的事件：

“听说，首先泄漏无理数的秘密者们终于悉数覆舟丧命。因为对不可说的和无定形的必须保守秘密。凡揭露了或过问了这种生命的象征的人必定立遭毁灭，并万世受那永恒的波涛的摆布。”

唉，这就是聪明的学生从伟大的老师那里获得的“奖赏”！被后人尊为“智慧之神”的毕达哥拉斯不是有勇气承认自己的错误，而是想通过暴力压制真理，这一作法令他一生蒙羞，成为他一生中的最大污点。然而正如我们所熟知的，真理是扑不灭的，希帕索斯所提出的问题（史称“希帕索斯悖论”或“毕达哥拉斯悖论”）并没有随同主人一起抛入大海，而是在社会上流传开来。时间过去不到一百年，这一不可说的秘密已经成为古希腊人所共知的了。

于是，伴随着不可通约量的发现，一个全新的数——我们现在知道这个数是——也就诞生了。这是人类历史上诞生的第一个无理数。它的诞生是人类对数认识的一次重大飞跃，是数学史上的伟大发现。

然而，正如已经提到的，这一伟大发现对毕达哥拉斯学派是一个致命的打击。实际上，不但是对于他们，对于当时所有古希腊人都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数，这不但在当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展，可以测量得高度精密的时候，这个断言，似乎也是毫无例外地正确的！你应该不会忘记在前面我们是如何从容地通过实验验证这一点的吧。可是居然发现了有不可公度的两条线段！为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！要把这种“荒谬”的事承认下来是多么困难啊！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

事实上，这类新数，在许多不同民族的数学发展史上也都碰到了。下面我们所要叙述的是面对这类新的数时，不同的民族所采用的不同的解决办法。