量子论和物理学的基础

我们这一代的理论物理学家正期望着建立一个新的物理学理论基础，它所使用的基本概念是大大不同于迄今所考查的场论的概念。其原因在于，人们发现，关于所谓量子现象的数学表示，必须采用完全新的方法。

正如相对论所揭示的，古典力学的失败是同光的有限速度（它不是∞）相联系的，另一方面，在我们这世纪的开头，又发现了力学推论同实验事实之间的其他各种不协调，这些不协调是同普朗克常数h的有限值（它不是零）相联系的。特别是，分子力学要求固体的热函和（单色的）辐射密度都应当随着绝对温度的下降而按比例减少，可是经验却表明，它们的减少比绝对温度的下降要快得多。要对这现象作理论解释，就必须假定力学体系的能量不能擅取任意数值，而只能取某些分立的值，这些值的数学表示式总是同普朗克常数h有关。而且，这个概念对于原子论（玻尔的理论）是必不可少的。关于这些状态之间的相互跃迁——有或者没有辐射的发射或吸收——不能得出因果性定律，而只能得出统计性定律；同样的结论也适用于原子的放射性衰变，对放射性衰变的缜密研究大约是同时作出的。物理学家曾花了二十多年时间，企图寻找关于体系和现象的这种“量子特征”的统一解释，而无所获。这种企图大约在十年以前成功了，那是通过两种完全不同的理论研究方法而取得的。我们把其中的一个归功于海森伯和狄拉克，另一个归功于德布罗意和薛定谔。两种方法的数学等效性不久就为薛定谔认识到。我将试图在这里勾画出德布罗意和薛定谔的思想路线，因为它比较接近物理学家的思想方法；我还要把这样的描述同某些一般性的考查结合起来。

问题首先是：对于一个在古典力学意义上被规定了的体系（能量函数是坐标q_r以及与之对应的动量p_r的既定函数），人们怎样能够给它定出一系列分立的能量数值H_σ呢？普朗克常数h把频率H_σ/h同能量数值H_σ联系起来。因此，它足以给体系定出一系列分立的频率数值。这使我们回想起这样的事实：在声学里，一系列分立的频率数值是同线性偏微分方程（对于既定的边界条件），即同正弦周期解相对应的。薛定谔给自己规定的任务是，以类似的方式，把一个关于标量函数Ψ的偏微分方程，同既定的能量函数ε（q_r，p_r）对应起来，此处q_r和时间t都是独立变量。这样，他就成功地以令人满意的方式由方程的周期解确实得出了（对于复数值函数Ψ正如统计理论所要求的那种能量H_σ的理论数值。

固然，不可能把薛定谔方程的确定解Ψ（q_r，t）同质点力学意义上的一种确定的运动联系起来。这意味着Ψ函数并不决定，无论如何并不严格决定q_r（作为时间t的函数）的经历。可是依照玻恩的见解，关于Ψ函数的物理意义的解释可能表明如下：（复数值函数Ψ的绝对值的平方）是在时间t的时刻在q_r的位形空间里所考查的那个点上的几率密度。因此，薛定谔方程的内容就可以用一种容易理解的但不是十分准确的方式表征如下：这个方程决定着体系的统计系综的几率密度在位形空间里是怎样随时间而变化的。简略地说：薛定谔方程决定着q_r的函数Ψ随时间的变化。

必须提到，这理论的结果包含着——作为极限值——质点力学的结果，只要薛定谔问题的解中所碰到的波长到处都很小，以致对于位形空间里一个波长的距离来说，势能的变化实际上都是无限小的。在这些条件下，下面的情况确实能得到证明：我们在位形空间里选取一个区域G₀，虽然它对波长来说是大的（在任何方向都如此），但对所考查的位形空间的大小来说却是小的。在这些条件下，对于起始时间t₀，可以这样来选取函数Ψ，使它在区域G₀的外面等于零，并且，依照薛定谔方程，以如下的方式来变化：在以后的时间里，Ψ还是保持着这种性质——至少大体上如此——只不过在这以后的时间t时，这个Ψ不为零的区域离开了区域G₀，而进入另一区域G。这样，人们就能以一定的近似程度来谈论整个区域G的运动，并且可由位形空间里一个点的运动来近似代表这个运动。这样，这种运动就同古典力学方程所要求的运动相符合了。

由粒子射线产生干涉的实验，辉煌地证明了这理论所假定的运动现象的波动特征果真合乎事实。除此以外，这个理论在说明一个体系在外力作用下从一个量子态跃迁到另一量子态的统计定律时，也轻而易举地取得了成功，而从古典力学观点来看，这好像是一个奇迹。这里，外力是由势能的一些同时间有关的微小附加项来表示的。在古典力学中，这些附加项只能产生体系的相应的微小变化，而现在在量子力学中，它们却能产生任何大小的变化，无论多大都可以，只是几率相应地很小，这个结论同经验完全符合。这个理论还提供了关于放射性衰变定律的一个至少是概括性的理解。

也许以前从来没有一种理论发展成像量子理论那样，能对如此庞杂的一群经验现象提供解释和计算的钥匙。可是，尽管如此，我却相信这理论在我们寻求物理学的统一基础时，容易诱骗我们陷入错误，因为，在我的信念中，它是对实在事物的一种不完备的表示，尽管它是仅有的一种能够用力和质点这些基本概念建造起来的理论（对古典力学的量子修正）。这种描述的不完备性，必然导致定律的统计性（不完备性）。我现在要对这个意见说明我的理由。

我首先要问：Ψ函数对于一个力学体系的实在状态能描述到怎样的程度？让我们假定Ψ_r是薛定谔方程的周期解（按照能量数值增加的次序来排列）。至于单个Ψ_r对物理状态描述的完备程度问题，我暂且不加考虑。体系最初是在最低能量ε₁的状态Ψ₁。然后，在一个有限的时间里，有一个小的干扰力作用在这个体系上。那么，在更后的一个时刻，人们由薛定谔方程得到一个如下形式的Ψ函数：

此处c_r是（复数）常数。如果Ψ_r是“归一化”了的，那么｜c₁｜是接近于1,｜c₂｜等等同1相比是很小的。人们现在会问：Ψ是不是描述体系的一个实在状态？如果回答是对的，那么我们除了给这个状态以一个确定的能量ε，简直不能有别的做法，⁽¹⁰⁾具体地说，ε这个能量要比ε₁稍大些（在任何场合下，ε₁<ε<ε₂）。但这样的假定同弗朗克（J．Franck）和赫兹（G．Hertz）所做过的电子碰撞实验是矛盾的，要是人们考虑到密利根（Millikan）关于电的分立本性的证明的话。事实上，这些实验导致这样的结论：在那些量子数值之间的能量数值是不存在的。由此得知，我们的函数Ψ无论如何不是描述体系的一个均匀状态，而只不过是表示一种统计的描述，在那里，c_r表示单个能量数值的几率。因此，似乎很明白，玻恩关于量子论的统计解释，是唯一可能的解释。Ψ函数所描述的无论如何不能是单个体系的状态；它所涉及的是许多个体系，从统计力学的意义来说，就是“系综”。如果说，除去某些特殊情况，Ψ函数只提供可量度的量的统计数据，其理由不仅在于量度操作带进了一些只能在统计上掌握的未知因素，而且也因为Ψ函数在任何意义上都不描述一个单个体系的状态。不管单个体系有没有受到外界的作用，薛定谔方程都决定着系综所经历的时间变化。

这种解释也消除了前不久我自己和两位同事所说明的那个悖论⁽¹¹⁾，这个悖论同下面问题有关。

考查一个由两个局部体系A和B所组成的力学体系，这两个局部体系只在有限时间里发生相互作用。假设在它们发生相互作用以前的Ψ函数是已知的。那么薛定谔方程就会提供相互作用发生以后的Ψ函数。让我们现在通过量度，尽可能完备地来测定局部体系A的物理状态。那么量子力学允许我们由所进行的量度和整个体系的Ψ函数，来确定局部体系B的Ψ函数。可是由这样的确定所得到的结果，却要取决于已被量度的A的物理量（可观察量）究竟是哪一个（比如究竟是坐标，还是是动量）。既然B在相互作用后只能有一个物理状态，要认为这个状态竟取决于我们对那个同B分隔开的体系A所进行的量度，那是不合理的，所以可以下结论说：Ψ函数同物理状态不是无歧义地相对应的。几个Ψ函数同体系B的同一物理状态的这种对应关系，再一次表明Ψ函数不能解释为对单个体系的物理状态的一种（完备的）描述。在这里，也正是Ψ函数同系综的对应关系消除了一切困难。⁽¹²⁾

量子力学以这种简单的方式提供了那些关于从一个状态到另一状态的（表观上）不连续跃迁的陈述，而实际上并没有对特殊过程作出描述——同这个事实联系在一起的还有另一个事实，那就是这理论实际上并不对单个体系起作用，而只对许多体系的总和起作用。我们的第一个例子中，系数c_r在外力作用下实际上变动很小。根据量子力学的这种解释，人们就可以理解，为什么这理论能轻而易举地说明这样的事实：微弱的扰动力能够使一个体系的物理状态产生任何大小的变化。这种扰动力在系综中实在只产生统计密度的相应的微小变化，因此也只产生Ψ函数的无限微弱的变化，这件事的数学描述，同那个关于单个体系所经历到的非无限小变化的数学描述相比，碰到的困难要少得多。这种考查方式对于单个体系所发生的情况，实在是完全弄不清楚的；这个谜一样的事件被统计的方法从描述中完全排除了。

但现在我要问：难道真有哪位物理学家会相信，我们永远丝毫也不能洞察到各个单个体系中，各个单个体系的结构中，以及它们的因果联系中的这些重要变化，而不管威耳孙云室和盖革计数器这些奇迹般的发明已经把这些单个事件展示在我们的眼前这一事实吗？要相信这一点，在逻辑上是可能的，并且不会有矛盾；但是，它同我的科学本能非常格格不入，我不能放弃对更完备的概念的探求。

在这些考虑之外，我们还应当加上属于另外一类的一些考虑，这另一些考虑看来也表明量子力学所采用的方法对整个物理学不大可能提供出有用的基础。在薛定谔方程中，绝对时间，以及势能，扮演着决定性的角色，而这两个概念已由相对论认识到是原则上不能允许的。如果人们想摆脱这种困难，就必须把这个理论建立在场和场定律上，而不是建立在相互作用力上。这就引导我们把量子力学的统计方法用到场上来，也就是说，用到那些有无限多个自由度的体系上来。尽管迄今所作的尝试都局限于线性方程，而我们从广义相对论的结果知道，这还是很不够的，但是这些非常巧妙的尝试到目前为止所碰到的复杂性已经够吓人的了。如果人们想服从广义相对论的要求，这些复杂性肯定还会增加，而这种要求的合理性原则上是没有人怀疑的。

的确，已经有人指出，空间-时间连续区的引进，从一切在微小尺度上出现的东西都具有分子结构的观点来看，可以认为是违反自然的。有人认为：海森伯方法的成功，也许指出了描述自然界的一种纯代数的方法，那就是要从物理学中排除连续函数。但由此我们也必须在原则上放弃空间-时间连续区。可以设想，人类的才能总有一天会找到一些方法，使人们有可能沿着这条道路前进。可是目前这个时候，这种纲领看来就像是企图在真空里呼吸一样。

没有疑问，量子力学已抓住了许多真理，对未来的任何理论基础来说，它都将是一块试金石，因为它必须能够作为一个极限情况从那个基础推演出来，正像静电学能够从麦克斯韦电磁场方程推演出来，或者像热力学能够从古典力学推演出来一样。可是我不相信量子力学能够用来作为探求这种基础的出发点，正像人们不能相反地从热力学（关系到统计力学）中找到力学的基础一样。

鉴于这样的情况，严肃地考虑是不是场物理学的基础用任何办法也不能同量子现象协调起来这个问题，看来是完全合理的。场论难道不是用目前已有的数学工具能够适应广义相对论要求的唯一的基础吗？认为这种尝试是没有希望的，这种信念在今天的物理学家中间流行着，它的根源也许在于一个无根据的假定，即认为这种理论，在第一级近似中必须导致微粒运动的古典力学方程，或者至少要导致全微分方程。事实上，到现在为止，用不带奇点的场的理论来描述微粒，我们还从未取得成功，而且我们不能先验地断言这种实体的行为。但有一件事是肯定的：如果有一种场论对微粒终于作出了不带奇点的表示，那么这些微粒在时间上的行为，就唯一地由场的微分方程来决定了。