第二定律的再生

还是让我们回到启动我们整个探索的问题：第二定律是怎么起源的？首先要指出我们将面临一个难题。不管CCC如何，我们似乎都要面对这个难题。问题的根源在于这样的事实：我们宇宙——或者，考虑CCC时，我们这个世代——的熵似乎在巨大地增长着，尽管极早期宇宙和极遥远未来彼此相似而令人不安。当然，它们的相似还说不上真的近乎一样，但从欧几里得几何中普遍运用的“相似”一词的意思来看，它们的确是惊人地“相似”，即两者之间的区别主要在于巨大的尺度变化。而且，任何整体的尺度改变根本说来并不关乎熵的度量——即玻尔兹曼的奇妙公式（见1.3节）所定义的量——因为根据3.1节末尾指出的重要事实，相空间体积在共形标度变换下是不变的。[3.40]不过，在我们的宇宙里，熵确实通过引力聚集效应而巨大地增长着。我们的难题就是认识这些显然的事实是如何相互协调的。有些物理学家指出，我们宇宙最终达到的极大熵不会来自黑洞的聚集，而是来自宇宙学事件视界的贝肯斯坦-霍金熵。我们在3.5节讨论这种可能性，我将在那儿指出它不会否定本节的讨论。

我们更仔细来看看早期宇宙的可能状态，它满足某个适当的条件，能清除大爆炸时的引力自由度，从而我们在早期宇宙看到的引力熵很低。我们需要考虑宇宙暴胀吗？读者会看到，我很怀疑那个假想过程的现实性（2.6节），不过这没关系，在眼下的讨论中，它无关紧要。我们既可以忽略暴胀的可能性，也可以认为（见3.6节）CCC只不过提供了暴胀的一种不同解释，其暴胀相是前一世代的指数式膨胀阶段，甚至我们还可以只考虑紧跟在暴胀停止的那个宇宙“时刻”（大约在10-32秒）的状态。

我在3.1节开头说过，有理由假定这个早期的宇宙态（约10-32秒）由共形不变物理学主导，分布着几乎无质量的物质。不论2.6节托德的建议是否在所有细节正确，如果认为早期宇宙态（其引力自由度实际上被大大压缩了）中，共形延伸能为我们提供一个光滑的仍然由无质量成分（也许主要是光子）构成的非奇异状态，似乎也不会错得太远。我们还需要考虑暗物质的额外自由度，而且也认为它们在早期时刻几乎是无质量的。

在时间尺度的另一端，我们有一个最终会指数式膨胀的德西特式的宇宙（2.5节），主要还是分布着无质量成分（光子）。可能还有其他零散的由稳定的有质量粒子组成的物质，但熵几乎全在于光子。如果假定我们能共形地压缩遥远未来，从而得到一个光滑的宇宙态——与我们从共形延伸大爆炸的邻近态（例如在10-32秒）得到的宇宙态没有什么根本的不同，似乎也不会错得太远（借助3.1节所引的弗里德里希的结果）。如果要说有什么不同的地方，那就是在延伸的大爆炸中可能存在更多被激活的自由度，因为除了也许在暗物质里被激活的自由度外，托德的建议还容许存在非零（但有限）外尔张量C的引力自由度，而不是CCC所要求的C=0（见2.6节和3.2节）。但假如这些自由度真的出现，只会使我们的境遇变得更加严峻，我们将要面对的问题是，极早期宇宙的熵几乎不可能小于（即使不会真的大于）遥远未来的熵，尽管实际上在10-32秒和遥远未来之间肯定必然会出现绝对巨大的熵增。

为恰当说明这个难题，需要认识在我们所预期的熵增里，主要的贡献有什么性质，有多大数量。眼下，宇宙熵的主要贡献似乎来自大多数（或所有？）星系中心的巨大黑洞。很难一般地精确估计星系黑洞的大小。就其本性来说，黑洞是看不见的！但我们自己的星系也许是一个相当典型的例子，它包含了一个大约4×106M⊙（见2.4节）的黑洞；根据贝肯斯坦-霍金熵公式，这个黑洞贡献给我们星系的熵大约是每个重子1021（这里的“重子”指质子或中子，为简便起见，我假定重子数是守恒的——还没发现这个守恒原理被破坏的证据）。所以，我们拿这个数字作为宇宙当前每个重子的熵的一般的合理估计。[3.41]如果还记得熵的第二大贡献来自CMB（每个重子的熵大约不超过109），那么我们会看到，自解耦以来——更不用说10-32秒以来——熵经历了多么令人惊奇的增加，而对那巨大熵增起基本作用的正是黑洞的熵。为使这一点更醒目，我可以用更普通的符号把它写出来。CMB的每个重子的熵大约是1 000 000 000，而（根据上面的估计）眼下每个重子的熵大约为

1 000 000 000 000 000 000 000

这主要来自黑洞。而且，我们可以预期这些黑洞连同宇宙的熵在未来一定会显著地增大，从而这么大的数字也会被未来淹没。于是，我们的难题等于这样一个问题：这个数字如何才能与本节前面说的那些东西和谐一致？这个黑洞熵最终会发生什么事情？

我们必须努力去明白那个熵最终怎么会看起来缩小了那么多个数量级。为看清那些熵跑哪儿去了，我们回想一下，主导巨大熵增的那些黑洞，在遥远的未来会遭遇什么样的命运。根据2.5节讲的东西，大约10100年之后，所有黑洞都不见了，通过霍金辐射过程蒸发了。每一个黑洞大概最终都在“砰然”声中消失。

我们必须记住，黑洞吞噬物质产生的熵增以及黑洞面积（和质量）因为霍金辐射的减小，都完全满足第二定律。不仅如此，这些现象还是第二定律蕴涵的直接结果。一般性地认识这一点，我们不必详细了解霍金1974年关于黑洞（假定形成于遥远过去的某些引力坍缩）温度和熵的原始论证。如果不管贝肯斯坦-霍金熵公式（2.6节）里的精确系数8kGπ2/ch，而满足于某种近似，那么我们有理由相信单从贝肯斯坦1972年的原始物理论证[3.42]——它完全基于第二定律、量子力学和广义相对论，将它们用于物体形成黑洞的假想实验——得到的黑洞熵的一般形式。这样，只要接受了熵公式，那么根据标准的热力学原理就能得到霍金的黑洞表面温度TBH。对质量为M的非旋转黑洞，TBH为（常数K实际上由K=1/（4π）决定）。这是从无限远处看到的温度。然后，黑洞的辐射率可以通过假定温度在球面均匀扩散来确定——球面半径等于黑洞的史瓦西半径（见2.4节）。

我这儿重复那几点，只是为了强调，黑洞的熵和温度以及这些奇异物理量的霍金辐射过程——尽管有着我们陌生的特征——不管怎么说都是我们宇宙的物理学的一部分，满足我们熟悉的基本原理——特别是第二定律。我们可以预期黑洞拥有的巨大熵，这既因为它们的不可逆特征，也因为这样一个显著的事实：稳定黑洞的结构只需要很少几个参数就能刻画它的状态。[3.44]因为对应于这些参数的任何一组特殊的数值都一定存在一个体积巨大的相空间，玻尔兹曼公式（1.3节）意味着它有巨大的熵。根据物理学作为整体的一致性，我们有充分理由相信当前关于黑洞角色和行为的一般图像肯定是正确的——只有黑洞最终的“砰然”一响可能还是猜想。不过，也很难想象那时它还会发生别的什么事情。

但我们真的需要相信那一声砰响吗？只要黑洞描述的时空还是经典的（即非量子的）几何，辐射就会继续以极高的速率从黑洞汲取质量/能量，从而使黑洞在有限时间里消失——对质量为M且没有更多物质落进的黑洞来说，时间大约是2×1067（M/M⊙）3年。[3.45]但能指望经典时空为我们提供多长时间的可靠图像呢？一般的预期（仅根据量纲的考虑）是，只有当黑洞趋近微小的普朗克尺度lp（大约10-35m，质子经典半径的10-20）时，我们才会触及某种形式的量子引力。但不管在那个阶段发生什么，剩下的唯一质量可能就相当于普朗克质量mp，能量为普朗克能量Ep，而很难看到它的持续时间会比普朗克时间tp长多少（见3.2节末尾）。有物理学家考虑，终点也许有可能是质量约为mp的稳定残余物，但这会给量子场论带来一些困难。[3.46]而且，不论黑洞的命运是什么，它的最终存在状态似乎都与黑洞的原始尺寸无关，而只取决于黑洞质量/能量的一个极其微小的部分。关于黑洞的那个微小残余的最终状态，物理学家们好像还没达成一致的观点，[3.47]但CCC要求的是，有残余质量的东西都不会坚持到永远。所以，从CCC的观点看，“砰响”图像（连同在砰响中产生的任何有质量粒子的最终衰变）是非常可以接受的，而且满足第二定律。

然而，虽然有那么多的一致，黑洞还是有它离奇的地方，例如时空的未来演化——在向未来演化的众多物理现象中似乎是独一无二的——会不可避免地导致内在的时空奇点。尽管奇点是经典广义相对论的结果（2.4节、2.6节），我们也很难相信这个经典的描述会从量子引力的考虑得到多大的修正，除非遇到巨大的时空曲率，时空的曲率半径减小到极端微小的普朗克长度lp的尺度（见3.2节末尾）。特别是，对巨大的星系核黑洞，那个小曲率半径开始显现的地方，其实是经典时空图像里的奇点周围的一个极其微小的区域。经典时空描述中的所谓“奇点”的位置，可以真的看作“量子引力发力”的地方。但实际上这无关紧要，因为没有普遍接受的数学结构能取代连续时空的爱因斯坦结构，所以我们不问进一步发生什么，而只是连接有着野蛮发散的曲率的奇异边界，其作用也许符合BKL式的混沌行为（2.4和2.6节）。

为更好理解奇点在经典图像里扮演的角色，我们最好考察一下图3.13的共形图，它的两个部分分别重新画在图2.38（a）和2.41。这些图作为严格共形图来看，包含了完全的球对称，不论出现什么样的不规则性，它都不太可能继续保留。然而，如果允许我们假定强宇宙监督（见2.5节末尾和2.6节）能一直坚持到黑洞的“砰响”，[3.48]那么奇点在本质上将是类空的，图3.13的图像就能定性地作为适当的共形草图，尽管在经典奇点附近的时空几何里存在着极端的不规则性。

图3.13　不规则共形图（表现黑洞对称），用以说明（a）向黑洞的引力坍缩；（b）坍缩后的霍金蒸发。根据强宇宙监督假设，奇点将保持为类空的。

我们预期量子引力效应驱逐经典时空图像的区域，实际上非常接近奇点，那儿的时空曲率开始达到极端，经典时空物理将不再可信。这时候，几乎没有希望站在CCC的“3维界面”所涉及的立场——在那儿，时空可以光滑延伸到奇点，从而实现向“另一边”的某种延拓。实际上，托德的建议就是为了区分在大爆炸遭遇的很“驯服”的奇点和某种可能会在黑洞的奇点出现的东西（也许具有BKL的混沌本性）。虽然斯莫林提出过3.3节描述的刺激性建议（图3.12），但我看量子引力也救不了我们，它不会让我们得到某种形式的“反弹”，让“出来的”时空在任何直接的意义上都镜像地反映“进来的”时空，满足某种根本时间对称的基本物理过程。假如量子引力能救我们，那么生成的就将是某种具有白洞（图2.46）特征的东西或我们在2.6节考虑过的一团分岔的白洞（对比图3.2）。这种行为当然最不像我们在宇宙中看到并熟悉的那种情形，它也不会具有任何像我们经历的第二定律的东西。

尽管如此，实际发生的却是物理学在那样的区域走到了终结——至少从我们能想象的任何物理演化来说。假如不是那样，那么它会继续形成某种宇宙结构，有着完全不同于我们熟悉的任何结构的特征。不论哪种情形，遭遇奇点区的物质都将从我们知道的宇宙中失去。但它真的丢失了吗？也许它能从图3.13（b）的某个“邪门”溜出去——在那儿，偏离正统时空几何观念的量子引力大概会允许某种正常因果律（2.3节）所禁止的类空传播？即使如此，也很难看到那个信息会在黑洞砰响之前老早就冒出来——假如那样，那么形成巨大黑洞（例如数百万个太阳质量）的那些材料所包含的大量信息，也能在那个时刻左右从那个构成“砰响的”小区域里涌出来。就个人而言，我觉得这是难以置信的。在我看来，更合理的是，所有向着未来时空奇点演化的过程所包含的信息，都会遭到毁灭。

然而，还有一个大家经常争论的不同建议：[3.49]信息很久以来就已经“泄露”了，藏在所谓的“量子缠绕”里，它可以用来自黑洞的霍金辐射的微妙的相关性来表达。从这个观点看，霍金辐射不完全是“热的”（或“随机的”），但也许永远丢失在奇点的所有信息都以某种方式算在（重复？）洞外了。关于这类设想，我还是充满疑虑。根据那些观点，不管什么信息跑到奇点附近，似乎都必然“重复”或“复制”为外面缠绕的信息，那本身就违背了基本的量子原理。[3.50]

此外，霍金在1974年证明黑洞存在热辐射的原始论证中，[3.51]明确运用了下面的事实：以试验波形式流进的信息，肯定会分散为逃离黑洞的部分和落进黑洞的部分。落进黑洞的部分会永远地丢失——正是从这个假定我们相信跑出来的信息肯定有热的特征，而且有着一定的温度，即我们现在所称的霍金温度。这个论证依赖于运用图2.38（a）的共形图，这使我清楚地看到，流入的信息实际上分化为落进黑洞和逃向无限远的两部分，而落进洞的部分丢失了——这是我们讨论的基础部分。实际上，霍金本人多年来一直是信息在黑洞丢失的坚强支持者，但2004年在都柏林举行的第17届国际广义相对论与引力论大会上，他宣布他改主意了，公开承认他（和索恩（Kip Thorne））与普雷斯基尔（John Preskill）的打赌输了。[3.52]他坦白他以前错了，现在相信信息肯定会在黑洞外重新找回来。不过在我看来，霍金应该坚持他的立场，他原来的观点更接近真相！

不过，霍金修正的观点更符合量子场论专家们所谓的“传统”观点。实际上，物理信息的破坏并没有吸引多数物理学家。人们常说的“黑洞信息疑难”指的是信息可能在黑洞中以那样的方式被破坏。物理学家困惑信息丢失的主要原因是，他们坚信适当的关于黑洞命运的量子引力描述应该能够满足量子理论的一个叫幺正演化的基本原理，那基本上是一种时间对称[3.53]的确定性的量子系统演化，由基本的薛定谔方程决定。就其本性说，信息不可能在幺正演化过程中丢失，因为它是可逆的。于是，信息丢失作为霍金黑洞蒸发的必要元素，实际上不满足幺正演化。

量子力学特别令人感到陌生的就是这种奇异的混合特征，其中，量子态的行为仿佛在两个迥然不同的数学过程之间摇摆：连续的确定性的U和不连续的概率式的R。一点儿不奇怪，物理学家对这种情况也不舒服，他们有着这样那样的哲学立场。据（海森堡）说，薛定谔本人说过，“如果这讨厌的量子跳跃真是去不掉的，那么我为曾经深陷量子理论感到遗憾。”[3.55]其他物理学家虽然欣赏薛定谔发现演化方程的巨大贡献，也赞同他对“量子跳跃”的厌恶，却不同意他的量子演化图景还没完全显现的观点。实际上，大家普遍认为，全部演化图景几乎就包含在U中，当然还需要对ψ的意义进行某种恰当的“解释”——而R会以某种方式从中涌现出来，也许是因为真正的“态”不仅涉及我们考虑的量子系统，还涉及它的复杂环境，包括测量设施；也许还因为我们——系统的最终观测者——本身也是那个幺正演化状态的一部分。

我不想卷入那些不同的观点或争论，那会把U/R问题彻底弄乱；我只想说自己的意见，基本站在薛定谔一边，也和爱因斯坦一致。更令人吃惊的是，也许还跟狄拉克一路[3.56]——我们今天的量子力学的一般形式，[3.57]都要归功于他——我抱有的观点是，今天的量子力学是一个临时理论。这个观点根本无视了理论的成果：它做出了那么多被证实了的惊人预言，解释了不同领域的观测现象，而且没有发现反对它的任何观测证据。更具体地说，我的观点是，R现象意味着大自然偏离了严格的幺正演化，当引力的作用变得重要[3.58]（尽管微妙）时，这种偏离就会出现。实际上，我很长时间以来一直认为，黑洞的信息丢失以及由此引起的对U的破坏，强有力地说明了，对U演化的严格遵从不可能是（尚未发现的）正确的引力的量子理论的组成部分。

我相信正是这一点抓住了本节开头的那个问题的关键。所以，我要请读者接受黑洞的信息丢失——以及对幺正性的破坏——在我们当下考虑的情形，它不但是合理的，而且是一个必须的事实。我们必须在黑洞蒸发的背景下重新考察玻尔兹曼的熵定义。在奇点的“信息丢失”到底是什么意思呢？更好的说法是自由度的丢失。这样，描述相空间的某些参数就消失了，那么相空间就变得比原来更小了。这是在考虑动力学行为时出现的全新现象。根据1.3节描述的通常动力学演化思想，相空间是固定不变的，动力学演化由固定空间里的动点来描述。但是，当动力学演化在某个阶段涉及自由度丢失时（如我们这里出现的情形），相空间作为演化描述的一部分，其实是要收缩的！在图3.14中，我试着说明如何用低维类比来描述这个过程。

图3.14　遵从黑洞信息丢失的相空间演化。

在黑洞蒸发的情形，这是一个非常微妙的过程，我们不要把相空间的收缩想象成某个特殊时刻（如“砰响”时刻）的突发事件，它是“偷偷”发生的。这关系着一个事实：广义相对论中，不存在唯一的“通用时间”，这在黑洞情形有着特殊的意义，因为那儿的时空几何严重偏离了空间均匀性。这一点可以用奥本海默斯尼德的坍缩图像（2.4节，见图2.24）来很好说明，其最后的霍金蒸发（2.5节，见图2.40和图2.41）我画在图3.15中。在图3.15（a）和它的严格共形图3.15（b）中，我用实线表示一族类空3维曲面（时间为常数的一个片段），丢失在黑洞的所有信息似乎都是在“砰响”的“瞬间”消失的；我用虚线表示不同的一族类空3维曲面，那儿的信息似乎是逐渐消失的，散布在整个黑洞的历史。尽管这些图像针对严格的球对称，但只要强宇宙监督成立，它们还是可以作为一种粗略的表达方式（当然，除了“砰响”本身而外）。

图3.15　霍金蒸发的黑洞：（a）传统的时空图；（b）严格共形图。可以认为内在自由度的消失只是“砰响”发生的结果，这个图像由实线表示的时间片段来代表。另外，根据虚线表示的时间片段，自由度的丢失是在整个黑洞历史中逐渐发生的。

我们不关心信息丢失究竟发生在什么时刻，这一点强调了信息丢失不影响外在的（热）动力学的事实，我们还可以坚持第二定律正常运行（熵持续增大）的观点——但我们必须小心认识“熵”的概念在我们这儿指的是什么。这里熵指的是所有自由度，包括落进黑洞的所有物质的自由度。然而，落进去的自由度迟早会遭遇奇点，因而根据上面的考虑，终将从系统消失。等到黑洞在砰响中消失时，我们必须大大地压缩相空间的尺度——就像一个国家遭遇货币贬值那样——从而整个相空间的体积将比从前小得多，尽管在远离那个黑洞的地方，局域的物理学感觉不到“贬值”的影响。因为玻尔兹曼公式里的对数，相空间体积的减小只是相对于从我们考虑的黑洞外的宇宙的全部熵里减去一个大常数。

不过，宇宙作为一个整体的相空间体积会因信息丢失而大为减小，[3.59]这基本上正是我们为了解决本节开头的难题所需要的。这是一个微妙的问题，相空间体积的减小还存在很多具体的一致性问题需要解决，才能满足CCC的要求。一般说来，这种一致性似乎并不是没有道理，因为我们当下这个世代的总体的熵增将贯穿它的整个历史，因而也将贯穿黑洞的形成（和蒸发）。尽管我还没完全看清楚该如何去计算（不论什么精度），但我猜想，我们可以估计最大黑洞可能达到的贝肯斯坦-霍金熵（只要它不在霍金辐射中丢失），并且将这个总熵作为可能相空间为开启下一个世代所需要的减小量。显然，为了明确CCC在这个方面是否可行，我们还有很多问题需要更详细的研究。但我没看出CCC与这些讨论有什么矛盾的地方。

图3.16　黑洞的信息丢失不影响相空间（比较图1.9），尽管它会影响丢失前的总熵。