森岛通夫（Michio Morishima）与凯特弗里斯（Catephores）应用马尔可夫链现代数学分析工具进行了不断地价格校正的分析。他们的分析证明，迭代过程保证了只要序列｛Pt｝从Po＝A开始，在总价值＝总价格、总剩余价值＝总利润这两个条件都始终得到满足的严格而绝对的标准下，收敛于长期均衡价格向量。这一数学收敛均衡表明，参与交换（因为均衡价格存在意味着参与市场交换才形成价格）的总价值与总价格相等。这里我们还仅讨论价值与价格。
从哲学理论上分析，在经济中，人们所消耗的来自市场的产品和服务不可能从虚无中产生，生产或提供服务需要劳动，市场中的产品，无论它的价格如何，它都是经过劳动，被从矿山中开采，经过劳动被提炼成初级产品，直至到最终产品，被劳动者运输到市场，劳动是一切产品和服务的唯一产生源。在市场中，所有的交换之和形成总价格，这一总价格包括了所有被交换的产品或服务，而同时所有被交换的产品或服务都是劳动的产物或结果，即所有被交换的商品同时形成总价值。由此总的交换价值等于交换价格。
森岛通夫与凯特弗里斯虽然证明了总价值＝总价格、总剩余价值＝总利润，但是在实际中确实有商品的价格不按价值来交换。物理学上，只要有一个反例就能对一个结论或假设证否。哲学上也同样。如果在实际中，实际情况与假设不符（许多商品的价格与它的价值不符，比如石油），这是对理论的巨大挑战，如果不能证明单个商品中的价格与价值关系，那么价格与价值理论整个都被证否了。那么如何证明单个商品的价格与价值的关系呢？
一、芬德里（Findlay）和维里斯（Wellisz）的模型
在《新古典主义政治经济》这本书里，芬德里和维里斯提出了一个模型。我们在这里先回顾这个模型，然后再对它进行修改和运用就能证明单个商品的价格价值关系。
他们把单个商品的正常价格与垄断价格之间的差称为寻租（rent-seeking）。他们假设生产中唯一的投入要素是劳动，总的可用劳动为
。市场中只生产一种商品Y，按照：Y＝αLy来生产。其中Ly是生产所投入的劳动，α是劳动的边际和平均生产率。除了Y之外，另一个商品M是从世界的其他地方进口的，仅仅作为在Y的生产国被消费的商品。M的价格用
表示。个人和社会的总需求以无差异曲线表示。在这些假设下，一个自由贸易的均衡如图4-1。Y的产量等于F′，相对的价格为
以斜线M表示在图中。进口为M＊，出口则为
M＊。a＊是消费，U1是效用[1]。
图4-1 社会寻租成本
假设有一个强制的进口配额
＜M＊。新的均衡价格是p＊，即图中的斜线M″F″，它的斜率等于在b＊点的U2的斜率。由于强制的进口配额，额外的进口费用是（p＊-
）。进口权的“租金”是（p＊-
）
。习惯上，这个租金被认为是从消费者到那些能够得到租金的人之间的重新分配。这个租金从来不被认为是任何的成本。这个情况下的唯一成本是消费者所损失的福利，从U1到U2，这是由强制的配额所引起的。
在这一节的稍后，芬德里和维里斯所提出的这个模型将被稍作改动，然后就能很好地解释单个商品的价格与价值关系。
二、模型与数据
商品的价值我们前面讨论过了，即商品的价值是对商品中所含劳动量的正确认识。
在芬德里和维里斯的模型中，他们也是以劳动为生产要素的，只要改动一下他们的假设就可以证明价值的存在了。
在新的假设中，依旧认为单个商品的正常价格是正常价格。但是同时认为商品的价值在商品的正常价格附近。因为商品的价值是对商品中所含劳动量的正确认识，正常的价格即是对商品价值的正常认识。当然，由于这一正常认识仍然具有主观性，所以商品的价值在正常价格附近的一个区间里。商品的正常市场价格是指市场在正常判断的情况下对商品价值的主观认识。虽然这时候对商品价值的认识仍旧是主观的，但是这个主观认识和商品的实际价值相差不大，由此正常价格附近的一个区间可以被确定为商品价值的范围。
垄断价格依旧是垄断价格。他们把单个商品的正常价格与垄断价格之间的差称为寻租（rent-seeking）。我们把单个商品的正常价格区间（价值所在区间）和垄断价格之间的差称为垄断价格与价值之间的差。
假设生产中唯一的投入要素是劳动，总的可用劳动为
。市场中只生产一种商品Y，按照Y＝αLy来生产。其中Ly是生产所投入的劳动，α是劳动的边际和平均生产率。除了Y之外，另一个商品M（石油）是从世界的其他地方进口的，仅作为在Y的生产国被消费的商品。M的价格是
。个人和社会的总需求以无差异曲线表示。在这些假设下，均衡的情况依旧如图4-2。Y的产量等于F′，相对的价格为
以斜线M表示在图中。进口为M＊，出口则为
M＊。a＊是消费，U1是效用[2]。
图4-2 垄断价格与价值之间的差
现在，石油输出国组织（OPEC）设定了一个强制的出口配额，这个强制的出口配额使得该国的石油进口量受到了限制，处在
＜M＊。新的均衡价格是p＊，即图中的斜线M″F″，它的斜率等于在b＊点的U2的斜率。由于强制的出口配额，导致进口量受到限制，额外的进口费用是（p＊-
）。由此形成垄断价格与价值之间的差（p＊-
）
。这个价格与价值的差不是成本。这个垄断价格与价值之间的差是从消费者，从石油进口国，到石油输出国之间的重新分配。
这种重新分配导致了石油进口国和石油出口国之间的国内生产总值的再分配。于是模型推导如下：
自由市场石油价格区间可以被认为是石油的价值所在的区间。
两边各取对数，方程成为线性方程：
其中，a，b，c，d是系数，A，L，K，O分别是多重要素生产力、劳动投入、资本存量、石油使用量。
使用的数据是美国的。石油的正常价格区间取1970年代之前25年的美国石油市场价格，为（20-30）美元/桶。如图4-3。
图4-3 美国国内石油价格（2011美元/桶）[3]
从1946年开始，美国国内的石油价格一直在20—30美元每桶（通货膨胀调整之后的，2011年不变美元价格）之间。之后，价格在30美元每桶以上的情况是由石油输出国组织的出口配额和地区冲突引起的，地区冲突也被石油输出国加以利用。
我们之所以认为石油输出国组织的行为是垄断行为，是从石油输出国组织对自己的定义中认定的。在它的定义中，石油输出国组织这样写道：
“石油输出国组织是一个长期的跨国组织。在1960年9月10—14日的巴格达会议期间，由伊朗、伊拉克、科威特、沙特阿拉伯和委内瑞拉共同设立。之后又加入9个其他国家……
“石油输出国组织的目的是调整和统一各国的石油政策，以对石油生产者保证公平和稳定的价格；……”[4]
从上面的定义中，显然石油输出国组织的主要目的是保证石油生产者的价格垄断。由此导致了国际石油价格的非市场化。从石油输出国组织的定义中可以知道，石油输出国组织是一个明显的垄断组织。虽然在1960年代，石油输出国组织的表现不怎么样，但是借助1970年代的中东冲突和苏联（石油净出口国）的支持下，石油输出国组织成为了一个实际上的垄断生产组织。之所以提到苏联，是因为在国际关系中，如果没有主要大国的支持，发展中国家是绝对没有可能成功挑战其他的世界大国的，比如1990年和2003年时候的伊拉克。
美国的劳动投入和资本存量的数据是从美国劳工统计局获得的，同时乘以美国私人部门和国内生产总值的比。美国的国内生产总值来自美国经济分析局。石油价格来自Tim McMahon，的“Historical Crude Oil Prices（Table）”[5]。石油进口量来自美国能源信息局（the U.S.Energy Information Administration）。
表4-1 基本数据（1948—2011）
②U.S.Imports of Crude Oil and Petroleum Products［OL］.iea，http://www.eia.gov/dnav/pet/hist/LeafHandler.ashx？n＝PET＆s＝MTTIMUS1＆f＝M［accessed 1May 2013］
（续表）
（续表）
（续表）
表4-2 价格价值差与GDP的变化（1974—2011）
（续表）
（续表）
图4-4 石油与GDP的变化（1974—2011）
Y轴代表GDP的变化
X轴代表石油价格价值差的变化
与汉密尔顿（Hamilton）在2003年发表的论文中的图4-5相比（他的图在第368页）[6]。汉密尔顿的图显然是没有数学关系的。为了得到一个结果，汉密尔顿强行凑出一个数学方程来计算。
图4-5 汉密尔顿的数据点状图
Fig.2.Simulated data when oil prices can go up or down.True relation（dashed line）：yt＝2＋utif ot≤0and yt＝2-0.1ot＋utif ot＞0.Estimated relation（solid line）：Eq.（1.4）.
最后使用的数据如表4-3所示：
表4-3 计算机输入的数据
（续表）
（续表）
代入计算机的方程为：
log（修正后的GDP）＝c（1）＋c（2）×log（总劳动投入）
＋c（3）×log（总资本存量）
＋c（4）×log（总石油使用量）
其中，c（1）是常数项，c（2），c（3），c（4）是各项的系数。修正后的GDP＝价格GDP＋总的石油价格价值差。
三、结论
通过计算机计算的结果如图4-6所示。
图4-6 计算结果
图4-6的t值和P值都清楚地表明了结果在数学上的显著性，证明了垄断价格高于市场价格区间（劳动价值区间）对美国国内生产总值的再分配的影响。
在证明了单个商品的价格高于其价值时，存在的是不等价交换，美国经济于是受到了再分配的影响。同时也证明了单个商品中的价值存在于正常市场价格附近的区间里，即证明了单个商品的价值的存在。
证明价值的存在，是认识资本主义制度的一个理论基础。价值的存在将证明资本主义的现有分配制度是否合理，以及资本主义的最优分配制度应该以什么为基础。
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