线性代数的教学思路(十)——向量空间同构理论的教学思路

线性代数的教学思路(十)——向量空间同构理论的教学思路

窦永平

【摘要】本文给出非数学专业线性代数向量空间同构理论的教学思路，并且应用公理化方法和关系映射反演思想方法简要论述向量空间同构理论。

【关键词】线性代数　向量空间　同构　理论　教学思路　关系映射反演思想方法　公理化方法

高等数学的教学，不仅要教学数学的公理体系，而且要教学公理化方法;不仅要教学数学的形式体系，而且要教学数学的形式化方法;不仅要教学数学的构造体系，而且要教学构造化方法。总之，不仅要教学数学，而且要教学数学化。向量空间同构的概念和理论正好是体现和实现以上目标的绝好材料。

向量空间同构理论是线性代数的最基本和最重要的理论之一，并且也是非数学专业线性代数的重要教学内容。我们选择的教学内容包括:(1)公理化方法;(2)向量空间同构的公理化定义;(3)向量空间同构映射性质的公理化推理。(4)应用公理化方法和关系映射反演思想方法，简要论述向量空间同构理论。

在《数学教育整体思路导言》［1］的基础上，在《线性代数的教学思路(I)》［4］给出的教学思路的基础上，本文给出非数学专业线性代数向量空间同构理论的教学思路。并且应用公理化方法和关系映射反演思想方法，简要论述向量空间同构理论。教学实验证实，这一教学思路具有可行性和可操作性，并且是适宜的和有效的。更一般的理论研究和具体教学实验，请参看有关文献［1］－［5］。

公理化方法就是:(1)从一些不定义的术语出发，这些术语的性质由公理规定;(2)通过逻辑推理，目的是从这些公理推出命题或性质;(3)并且对每个系统必须确立这些公理的独立性、相容性以及结构规定性。

以下应用公理化方法给出向量空间同构概念的公理化定义，并且从这一公理化定义

出发，推出向量空间同构的命题或性质。

定义1设V和W是数域F上两个向量空间．V到W的一个映射f叫做一个同构映射，如果

(1)f是V到W上的1－1映射;

(2)对于任意ξ，η∈V，f(ξ+η)=f(ξ)+f(η);

(3)对于任意a∈F，ξ，η∈V，f(aξ)=af(ξ)．

如果数域F上两个向量空间V与W之间可以建立一个同构映射，那么就说W与V同构，并且记作V≌W．

这一定义的RMI方法的框图如下:

一个向量空间就是一个带有加法和纯量乘法的集合．如果只考虑向量空间的运算，同构的向量空间可以看成是同一的。

现在我们应用公理化方法推导出同构映射的若干基本性质。

定理6．6．2 V和W是数域F上两个向量空间，f是V到W上的一个同构映射．那么

(i)f(0)=0．

(ii)对于任意α∈V，f(－α)=－f(α)．

(iii)f(a₁α₁+a₂α₂+…+a_nα_n)=a₁f(α₁)+a₂f(α₂)+…+f(α_n)，这里a_i∈F，α_i∈V，i=1，…，n．

(iv)α₁，α₂，…，α_n∈V线性相关f(α₁)，f(α₂)，…，f(α_n)∈W线性相关．

证明(i)在定义1的条件(3)中取a=0，那么

f(0)=f(Oα)=Of(α)=0．

(ii)由定义1的条件(2)，f(α)+f(－α)=f(α+(－α))=f(0)=0，所以

f(－α)=－f(α)．

(iii)直接由定义1，利用数学归纳法即得(iii)．

(iv)由(i)及(iii)，如果

a₁α₁+a₂α₂+…+a_nα_n=0

那么

a₁f(α₁)+a₂f(α₂)+…+f(α_n)=f(a₁α₁+a₂α₂+…+a_nα_n)=f(0)=0．

反过来，如果

a₁f(α₁)+a₂f(α₂)+…+f(α_n)=0

那么由(iii)，f(a₁α₁+a₂α₂+…+a_nα_n)=f(0)=0．因为f是单射，所以由(i)，必须

a₁α₁+a₂α₂+…+a_nα_n=0

这一定理内容的RMI方法的框图如下:

定理6．6．2'V和W是数域F上两个向量空间，f是V到W上的一个同构映射。那么，f的逆映射f^－1是W到V上的同构映射．定理6．6．2'中'是'，f^－1中的－1是上标。以下改排如下:

证明参考文献［6］。

下面的定理给出数域F上两个有限维向量空间同构的充要条件．

定理6．6．3数域F上两个有限维向量空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数．

证明参考文献［6］。

定理6．6．1数域F上任意一个n维向量空间都与Fⁿ同构．

证明参考文献［6］。

根据定理6．6．3，数域F上具有同一维数的向量空间是同构的，因此，数域F上具有同一维数的向量空间可以看成是同一的．根据定理6．6．1，F上每一个n维向量空间都与Fⁿ同构，因此，n维向量空间和Fⁿ可以看成是同一的．并且，Fⁿ可以作为F上n维向量空间的代表．

此文中的Vⁿ、Fⁿ，n是上标。

参考文献

［1］窦永平．数学教育整体思路导言［J］．兰州商学院学报，2002(4)．

［2］平云．高等学校数学教学中的德育教育初探［J］．兰州商学院学报，1993增刊(1)．

［3］窦永平．线性规划模型建立的教学思路［J］．兰州商学院学报，1990(2)．

［4］窦永平．线性代数的教学思路(I)［J］．高等理科教育，2004，教育教学研究专辑(二):8－10．

［5］平耘．教学组织论的研究与建立［J］．社科纵横，1992(5)．

［6］张禾瑞，郝炳新．高等代数［M］．北京:人民教育出版社，1979．

注:本文是兰州商学院2006年度科研项目(编号609050)的研究成果之一。