偏好需满足的三个假定，无差异曲线的理解

前面我们介绍了一些西方经济学家如何以基数效用论来考察消费者均衡。在那些论述中，效用是可以用具体数字进行计量和比较的。另一些经济学家认为，效用是无法用具体数字表示的，只有大小次序的区别。就是说，效用大小可表示为序数，无法表示为基数。这样，就有了序数效用论。

序数效用理论认为效用是心理现象，不可以度量，只能根据偏好的程度排列出第一、第二……的顺序。因此，效用的大小只与偏好排列的顺序有关，而与效用绝对值的大小无关。关于偏好的含义，前面已经作过介绍。为了加深对序数效用的理解，我们再用经济学中偏好的特性作一番通俗的解释。

通常认为，偏好满足如下三个假定：

第一个假设是偏好的完全性。偏好的完全性是指消费者总是可以比较和排列所给出的不同商品组合。如果消费者被限制在两个消费组合里，每一个都包括不同数量的各种商品。例如，一个消费组合可能包括一张篮球比赛的入场券和两个苹果。另一个则有三瓶苏打水和—张巴士车票。那么消费者总是可以做出，而且也仅仅只能做出以下三种判断中的一种：对第一个组合的偏好甚于第二个；对第二个组合的偏好超过第一个；对两个组合的偏好并无差别。

第二个假设是偏好是可传递的。例如，如果一个人喜欢百威啤酒超过燕京啤酒，喜欢燕京啤酒又超过了青岛啤酒，那么与青岛啤酒比起来他一定就更喜欢百威啤酒。一旦偏好不是可传递的，那就意味着他的偏好将是矛盾的和不一致的。与此相类似，如果一个消费者对碎肉馅饼和南瓜馅饼的偏好是无差别的，而且南瓜馅饼和苹果馅饼对他也是无差别的，那么碎肉馅饼和苹果馅饼对他也一定是没有差别的。

第三个假设是偏好的非饱和性。例如，如果一个商品组合包括15个口琴和3辆自行车，而另一个组合包括5个口琴和3辆自行车，我们假设的第一个组合，显然包括了更多的商品，因此会得到人们的青睐。我们还可以假设，如果给第二个组合增加一定数量的自行车，也可以使它在消费者眼中具有同第一个组合同样的价值；也就是说，使它们对于消费者来说无差别。这些假设，像前两个一样，在序数效用理论分析中是不可动摇的。序数效用论可以通过无差异曲线进行分析比较。

无差异曲线（indifference curve）最初是由英国经济学家埃奇渥斯在1880年提出的。1900年由意大利经济学家帕累托加以发展，在20世纪30年代被艾伦和希克斯两位英国经济学家广泛应用。

无差异曲线是用来表示消费者的偏好或满足（效用）的程度，而消费者的需求行为则是一定收入（预算约束）下的追求满足或效用最大化行为。在这样的前提条件下，以序数效用为基础才能进一步推导市场需求曲线。

在上述假定条件下，用无差异曲线来表示消费者偏好。为便于几何图形分析，假定只有两种商品X和Y。对于一个消费者来说，两种商品的消费量（在既定时间内）可以有不同的组合，而它们对该消费者提供的效用或满足程度是一样的。比如有X和Y两种商品，可组成A、B、C、F四种组合，每种组合包含有不同的商品X和Y的消费量。但是，这四种组合给该消费者提供了相等的效用或满足程度。如表3-2所示。

表3-2　商品及组合

图3-3　无差异曲线

将表3-2中各种组合点连接起来，就是一条无差异曲线，如图3-3所示。

可见，无差异曲线是对消费者有相同效用或满足程度一样的两种商品组合点的轨迹，即无差异曲线上任何一点所表示的特定商品组合对消费者的总效用都是相同的，是没有差异的。

消费者不是仅有一条无差异曲线，而是有无数条无差异曲线。由原点开始逐渐向外排列，形成一个无差异平面图。一条既定的无差异曲线只表示某一既定的总效用水平，离原点较远表示效用程度或满足程度较大，但是，并没有准确表明效用大多少，无差异曲线仅仅提供了消费者的偏好顺序。

第一，无差异曲线向右下方倾斜，斜率为负，并凸向原点。根据无差异曲线的定义，位于曲线上的商品组合能够给予消费者完全相同的满足程度。那么，当沿着无差异曲线由左上方向右下方移动时，减少一定的商品Y，为了维持原有的满足程度或效用不变，必须相应增加一定量的商品X，因此无差异曲线向右下方倾斜，斜率为负。放宽前面的假定，在特殊的情况下无差异曲线也可能表现为水平的、垂直的，甚至是向右上方倾斜的。

无差异曲线的形态呈凸向原点的特征，可以这样说明：假设消费者沿图3-3中的无差异曲线由左上方向右下方滑动。显然，向下滑动的过程就是用商品X替代商品Y的过程。一开始，消费者拥有很多的商品Y和较少的商品X，消费者愿意用较多的商品Y交换较少的商品X。随着这个过程的继续，消费者拥有的商品X的数量愈来愈多，而商品Y的数量愈来愈少。在用商品X替代商品Y的过程中，消费者愈来愈珍惜商品Y，趋向于用更少的商品Y交换更多的商品X。因此，无差异曲线上端比较陡峭，下端比较平缓，凸向原点。

图3-4　不同效用的无差异曲线

第二，在无差异曲线图中，离原点远的无差异曲线代表的效用大，而离原点近的无差异曲线代表的效用小。因为消费者对数量多的两种商品组合的偏好大于对数量少的两种商品组合的偏好，而离原点远的、位置较高的无差异曲线总是和较多数量的商品组合联系在一起，所以它所代表的效用要大于离原点近的无差异曲线所代表的效用。如图3-4所示，无差异曲线U₂比无差异曲线U₁远离原点。A是无差异曲线U₁上的一点，对应的商品X和商品Y的数量分别为X_A和Y_A。如果点A水平地向无差异曲线U₂移动，则Y_A保持不变而X_A增加；如果点A垂直地向无差异曲线U₂移动，则X_A保持不变而Y_A增加；如果点A向右上方移动到无差异曲线U₂，则X_A和Y_A的数量都会增加。因此，无差异曲线U₂的效用大于无差异曲线U₁的效用。

图3-5　无差异曲线不能相交

第三，无差异曲线图中，任意两条无差异曲线不能相交。两条不同的无差异曲线代表着不同的效用水平，两条无差异曲线相交本身与无差异曲线的定义相矛盾。这可以用反证法加以证明：假设两条无差异曲线可以相交，如图3-5所示，任意两条无差异曲线U₀和U₁相交于A点；分别另取无差异曲线U₀和U₁上各一点B和C，因为B点和A点都是无差异曲线U₀上的点，所以B点与A点代表着同等的效用水平；因为C点和A点都是无差异曲线U₁上的点，所以C点与A点代表着同等的效用水平。因此，根据效用的传递性，B点和C点具有同等的效用水平。但从图中可以看出，B点在C点的左方，B点对应的商品X的数量明显少于C点对应的商品X的数量。根据偏好的不饱和性的假定，B点代表的效用水平一定小于C点代表的效用水平。这与前面的结论相矛盾，因此，无差异曲线图中任意两条无差异曲线不能相交。

图3-6　边际替代率

无差异曲线说明当消费者增加对一种商品的消费时，为了维持效用的不变，必须减少对另一种商品的消费数量。为了描述这种替代关系，序数效用论者提出了边际替代率（Marginal Rate of Substitution，MRS）这一概念。边际替代率可以表述为，在维持效用水平不变的条件下，消费者增加消费一单位某种商品，不得不放弃的另一种商品的消费数量。商品X对商品Y的边际替代率可以表示为

当ΔX变小时，A点就沿着无差异曲线向B点靠拢。当X的变化量ΔX趋近于零时，即ΔX→0时，A点就无限趋近于B点（见图3-6），此时，无差异曲线的斜率可表示为

商品X对商品Y的边际替代率又可以表示为

可见在几何上，无差异曲线上任意一点的边际替代率，可以用该点切线的斜率来表示。因为商品X和Y的变化方向相反，所以无差异曲线的斜率为负。我们在前面加上—个负号，就得到正的边际替代率，即无差异曲线斜率的绝对值就是两种商品的边际替代率。

序数效用论者认为在两种商品相互替代的过程中，普遍存在边际替代率递减的规律（law of diminishing margianl rate of substitution ），即在维持效用水平不变的条件下，随着一种商品消费的增加，为增加每单位该商品的消费所需放弃的另一种商品的数量是递减的。之所以会出现这一规律，是因为随着这种商品消费量的增加，消费者对这种商品的偏好就会有所降低；同时一种商品数量减少，消费者对另一种商品的偏好就会增大，所以消费者为了得到一单位前者而愿意放弃的后者的量是递减的。由于边际替代率递减规律的作用，无差异曲线的斜率也是递减的，因此无差异曲线是偏向原点的。

序数效用论者还试图用边际替代率递减规律来代替基数效用论的边际效用递减规律。我们可以用边际效用递减规律来解释边际替代率递减规律。当沿着同一条无差异曲线向下移动时，由于在保持效用水平不变的前提下，消费者增加商品X所增加的效用与相应减少商品Y所减少的效用必定相等，即

由于随着商品X数量的不断增加，其边际效用MU_X递减；随着商品Y数量的不断减少，其边际效用MU_Y递增，所以这两者的比值就越来越小。而就是商品X对Y的边际替代率。这样，就用边际效用递减规律解释了边际替代率递减规律。

无差异曲线图描绘了某个消费者对两种商品不同组合的偏好。但消费者的偏好不能无限制地满足，要受到其购买力的约束。现实中，消费者只能根据商品的价格，在其有限的收入约束下，选择最优的商品组合。所以，消费者购买力的限制取决于市场上商品的价格和消费者本人的货币收入，两者共同构成了消费者的预算约束。

例如，某消费者有收入100元，市场上商品X和Y的价格分别为20元和10元。如果消费者的收入全部花在商品X上，可以购买5单位的商品X，如果消费者的收入全部花在商品Y上，可以购买10单位的商品Y。如果消费者既购买X商品，又购买Y商品，会有介于商品组合（5，0）和（0，10）之间的其他的各种组合（见表3-3）。这些商品组合有一个共同的特点，即消费者对每一个商品组合的支出都必须等于消费者的收入。否则，前者小于后者，消费者不能充分利用既定的收入；前者大于后者，意味着消费者现在的收入不能承受如此高的消费。

表3-3　某消费者的支出情况

图3-7　预算约束线

如果以商品X的购买量作为横坐标，以商品Y的购买量作为纵坐标，则上面的预算约束可以表示为图3-7中的直线AB。它表示在既定的价格水平下消费者用现有的全部收入能够买到的两种商品的最大数量组合。这条线称为预算线（budget line），也称为预算约束线、价格线。

假定某一消费者的固定收入为M，市场上商品X和商品Y的价格既定不变，分别为P_X和P_Y。如果消费者的全部收入都用于购买X和Y两种商品，其购买数量分别用X和Y表示，则能购买的X、Y的最大数量组合满足方程：

XP_X+YP_Y=M

或

式中：是图3-7中AB线的截距；是AB线的斜率。AB线向右下倾斜，故前面有负号。

预算线的位置取决于它的斜率及其纵截距，归根结底取决于消费者的收入和两种商品的价格。如果消费者的收入不变，两种商品的价格也不变，预算线的位置就是确定不变的。但从较长的时期来看，消费者的收入是可变的，商品的价格也不是固定的。当两者中的任何一者发生变化时，就会引起预算线的变化。假定两种商品的价格不变，消费者的收入可变。由于价格不变，所以价格比不变，决定了预算线的斜率不变；由于收入变化，所以截距会发生变化。收入的改变将只会引起预算线的平行移动，如图3-8所示。如果收入增加，纵截距增大，预算线AB将向右上方平行移动到A₁B₁，意味着消费者的购买力增加，可以购买更多的商品；反之，如果收入减少，则预算线AB向左下方平行移动到A₂B₂。

图3-8　收入的变化与预算线的移动

图3-9　商品价格变动与预算线的移动

假定消费者的收入不变，商品的价格可变。这又可以分多种情况讨论，如两种商品的价格同方向变化、两种商品的价格反方向变化、两种商品的价格同方向同幅度变化、两种商品的价格同方向不同幅度变化等。我们这里只分析一种商品价格发生变化而另一种商品价格不变的情况。如果消费者收入和商品Y的价格不变，而商品X的价格降低了，则预算线的斜率的绝对值P_X/P_Y就会变小，预算线将绕A点逆时针转动到AB″。反之，如果消费者收入和商品Y的价格不变，而商品X的价格上升了，则预算线的斜率的绝对值P_X/P_Y就会变大，预算线将以绕A点顺时针转动到AB′。如图3-9所示。

图3-10　双重约束的预算线

以上讲的预算线只是受货币收入和商品价格限制。实际上，消费除了花钱，还要花时间，因此，时间也会构成人们消费的一种约束。有人不是没有钱消费，而是没有那么多的时间消费。假定某人仅消费X和Y两种消费品，P_X=P_Y=4元，他仅有16元收入。若仅考虑收入和价格，他可以在4单位X和4单位Y之间选择。再假定他消费1单位X商品需要花3小时，消费1单位Y需要花5小时，同时假定他每天至少需要睡眠9小时，则至多只有15小时可以用来消费，那么事实上只能在5单位X和3单位Y之间加以选择。把收入、价格和时间都考虑进来的话，他事实上只能在3单位Y和4单位X之间加以选择。受到收入和时间双重约束的预算约束线如图3-10所示。

以上我们讨论了无差异曲线和预算约束线，现在我们暂时撇开时间约束，将两者结合起来，研究消费者如何使有限的收入取得最大的效用或者达到最大程度的满足，即消费者均衡问题。

图3-11　最大效用原则

如图3-11所示为预算约束线MN和数条无差异曲线U₁、U₂和U₃。由于有预算约束，消费者只能在OMN围成的三角形区域内进行选择，又由于假设消费者没有储蓄，所有收入均用于消费，那么消费者只是在MN线上寻找一个均衡点。在本书中，我们假定消费者是追求个人利益极大化的“理性人”，因此他总是试图尽可能地达到最高的效用水平。如果消费者选择U₃上的C点，虽然U₃曲线的效用水平高于U₂和U₁，但C点是消费者的收入无法承担的，超出了消费者选择的客观条件，消费者可望而不可即。如果消费者选择A点，A点在预算约束线上，是消费者收入可以承受的。在A点，消费者消费的食品数量是X_A，衣服数量是Y_A，得到的效用水平为U₁。但是，他还没有做到效用极大化，因为如果他沿着曲线向下移动，通过减少衣服消费量、增加食品消费量来改变商品组合，可以和更远的无差异曲线相交，从而提高自己的效用水平。同样的道理也适用于B点。消费者在B点的商品组合（X_B，Y_B）得到的效用同样为U₁，他可以沿着MN线向上移动，通过增加衣服消费量、减少食物消费量来和更远的无差异曲线相交，达到提高效用水平的目的。

从图3-11中可以看到，追求效用极大化的消费者的均衡点应该是预算约束线可能“碰”到的最高水平的无差异曲线的交点，也就是与预算约束线相切的那条无差异曲线U₂上的切点E。此时，消费者消费的食物数量为X^*，衣服数量为Y^*。这是因为，如果消费者在E点改变自己的组合，不论是通过减少衣服消费量、增加食品消费量的方法，还是通过增加衣服消费量、减少食品消费量的方法，都只能与效用水平较低的无差异曲线相交，降低了自己的效用水平。因此，在MN线上，E点代表了消费者能够达到的最高效用水平。所以，均衡点E是消费者的最优选择，消费者在约束条件的限制下达到了效用极大化，也就是在客观条件允许下使自己的主观愿望得到了最大限度的满足。

让我们来看一下消费者最优的选择——均衡点E有什么特点。由于E是预算约束线MN和无差异曲线U₂的切点，因此MN线和U₂线在E点的斜率是相同的。根据我们前面对无差异曲线特点的介绍， ，因此预算约束线斜率和无差异曲线斜率的绝对值相等，意味着：

即在消费者的均衡点上，两种商品的价格之比等于边际替代率，即等于两种商品的边际效用之比。可见，序数效用论和基数效用论分析结论是一致的。如果我们把商品的价格之比看作市场对商品的客观评价，而边际效用之比看作消费者对商品的主观评价，那么当客观评价与主观评价正好相符时，消费者达到了效用极大化。

如果消费者的偏好和收入既定，商品的价格不变，消费者均衡就是确定的，消费者将继续维持这种均衡状态。但消费者的收入不是固定不变的，商品的价格也会经常发生变化，这都将引起消费者均衡的变化。下面我们用比较静态分析的方法，分别考察消费者均衡购买量的变化与收入及价格变化之间的关系。

图3-12　收入—消费曲线

在消费者的偏好和商品的价格不变的条件下，收入的增减会引起预算线的平行移动。当收入增加时，预算线向右上方平移；当收入减少时，顶算线向左下方平移。预算线的上下平行移动会导致预算线和无差异曲线切点的变化，从而引起消费者均衡的变动。如图3-12所示，AB为初始状态的预算线，其与无差异曲线U相切于E点。当消费者的收入增加时，预算线AB向右上平行移动到A′B′，与位置较高的无差异曲线U′相切于E′点，即消费者的均衡点移动到了一个较高的位置E′。反之，当消费者的收入减少时，预算线AB向左下移动到A″B″，与位置较低的无差异曲线U″相切于点E″，即消费者的均衡点移动到了一个较低的位置E″。

我们可以想象，对于消费者来说，每一收入水平都有与之相适应的预算线。在消费者的收入连续变动的过程中，会有无数条预算线分别与相应的无差异曲线相切，从而得到一系列的消费者均衡点。将这些消费者均衡点连接起来，便得到收入—消费曲线。收入—消费曲线（income-consumption curve ），或称收入扩展线，表示在消费者偏好和商品价格不变的条件下，一系列最优商品组合随消费者收入变化而形成的轨迹。它反映了消费者对X、Y两种商品的最优选择是如何随收入变化而变化的。

图3-12中，E、E′和E″分别是三条预算线AB、A′B′和A″B″与三条无差异曲线U、U′和U″的切点，是消费者均衡点，将其连接起来得到的IC曲线就是收入—消费曲线。从收入—消费曲线可以推导出收入-需求曲线。收入-需求曲线是表示一种商品的均衡购买量与消费者收入之间变化关系的曲线。19世纪德国统计学家恩斯特•恩格尔，研究了消费者的收入与其所购买的商品之间的关系，率先提出了收入—需求曲线，因此收入—需求曲线通常也被称为恩格尔曲线（Angel curve）。

图3-13　恩格尔曲线及其推导

图3-13说明了恩格尔曲线的推导过程。图3-13（a）即前面的图3-12，只是用E标出了每条预算线代表的收入水平，从下到上依次为E″、E和E′。由于商品的价格不变，因此收入增加，商品的需求量也增加。与上面的收入水平相适应，商品X的需求量分别为X″、X和X′。图3-13（b）是以商品X的数量为横轴，以收入M为纵轴的坐标系。当消费者的收入为M″时，商品X的需求量是X″，可以在图（b）中找到一点F″。当消费者的收入为M′时，商品的需求量是X′，可以在图（b）中找到点F′。用同样的方法可以在图中找出F等其他各点。连接F″、F′和F等各点便可得到恩格尔曲线EC。

图3-14　价格—消费曲线和需求曲线

如果消费者收入不变，商品价格发生变动，购买量如何变动？我们可以通过图3-14来说明。 在图3-14中，若商品X的价格从P″_X 逐步下降到P_X和P′_X，预算线AB″将绕A点向外逆时针方向转动到AB和AB′，并分别与三条无差异曲线相切，把这些切点连接起来形成一条价格—消费曲线，即图3-14（a）中的PC曲线。然后用一个图形表示价格变化和消费者购买量之间的关系，即图3-14（b）中的D曲线，这条曲线就是消费者需求曲线。把消费者需求曲线水平加总，就得到这种商品的市场需求曲线。

需求曲线是指在其他因素保持不变时，消费者对应于商品的各种可能的价格，愿意并且能够购买的数量。那里的“其他因素”就是指消费者的偏好、收入和其他商品的价格等；“愿意并且能够购买的数量”就是消费者的最优购买数量。一般来说，价格下降，需求量增加。第二章分析需求函数时曾经说过，某商品价格下跌之所以会引起需求量增加，是替代效应和收入效应共同作用的结果。从替代效应来看，任何商品下降都会引起该商品需求量增加；但从收入效应来看，情况并不一定如此，因为商品价格下跌意味着消费者在该商品面前实际收入（购买力）增加了。若该商品是正常商品，实际收入增加就会增加对该商品的需求；若该商品是劣质商品，实际收入增加时，消费者就有条件消费好一些的商品，从而减少对该商品的需求。价格下跌究竟会不会增加对该商品的需求，要看替代效用是大于还是小于收入效应。如果大于，那么价格下跌会增加对该商品的需求；如果小于，那么价格下跌反而会减少对该商品的需求，这种商品就是吉芬商品。